Multioperatørgruppe

En multioperatorgruppe er en vilkårlig algebra , udstyret med en gruppestruktur, der generaliserer begreberne for en gruppe , en ring , en krop , en operatørgruppe (som igen generaliserer moduler over ringe , især vektorrum ) .

Indført i 1956 af den engelske matematiker Philip Higgins [1] [2] som den mest universelle struktur, hvor enhver kongruens er repræsenteret ved en nedbrydning til cosets i idealer , og for hvilken begrebet en kommutator kan defineres .

Andre eksempler på multioperatorgrupper er nærring og nærfelt . Vi studerer også specielle universelle klasser af multioperatorgrupper - multioperatorringe og multioperatoralgebraer .

Definitioner

En multi-operator gruppe eller -gruppe er en algebra , der danner en gruppe , desuden for enhver -ary operation , , det vil sige, danner et undersystem i . Det antages, at en del af signaturen ikke indeholder nul-operationer. Nogle gange kaldes en multioperatorgruppe af dens ekstra signatur - -gruppe. $\Sigma$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $\langle G, +, -, 0$ $n$ $\sigma \i \Sigma$ $\sigma(0, \prikker, 0) = 0$ $\{0\}$ $\mathfrak G$ $\Sigma$ $\Sigma$

En normal undergruppe af en gruppe kaldes et ideal for en multioperatorgruppe, hvis for enhver -ær operation , vilkårlig ( ) og alle elementer i formen: $N$ $\langle G, +, -, 0$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \i \Sigma$ $g_i \i G$ $1 \leqslant i \leqslant n$ $en \i N$

-\sigma(g_1, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, g_{i-1}, a+g_i, g_{i+1}, \dots, g_n)

genejet . Notationen kan bruges analogt med notationen for en normal undergruppe og et ideal for en ring. En multioperatorgruppe kaldes simpel , hvis den kun har to idealer - selve gruppen og nul-undergruppen. $N$ $N \triangleleft \mathfrak G$

Kommutatoren af elementer i en gruppe med flere operatører er defineret som et element , betegnet med . $g_{1},g_{2}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $-g_1 - g_2 + g_1 + g_2$ $[g_1, g_2]$

Kommutatoren for en multioperatorgruppe er en ideel, der genereres af alle kommutatorer og elementer i formen: $[g, h]$

-\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})-\sigma (h_{1},\dots ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\dots ,g_{n}+h_{n})

for enhver -ær operation fra den ekstra signatur af multioperatorgruppen. $n$ $\sigma \i \Sigma$

Egenskaber for et ideal

For grupper falder idealet om en multioperatorgruppe sammen med begrebet en normal undergruppe , og for ringe og strukturer baseret på dem med begrebet et tosidet ideal .

Ethvert ideal for en multioperatorgruppe er dens undersystem . Skæringspunktet mellem et hvilket som helst system af idealer i multioperatorgruppen er igen dets ideal, desuden falder dette ideal sammen med undergruppen af gruppen genereret af disse idealer. $\{N_i \mid i \in I\}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $N = \bigcap N_i$ $\langle G, +, -, 0$

Hovedegenskaben ved et ideal er, at enhver kongruens på en multioperatorgruppe beskrives ved udvidelser til cosets med hensyn til et ideal, med andre ord kan man tale om et kvotientsystem af en multioperatorgruppe (multioperatorkvotientgruppe) som en konstruktion, der genererer en ny multioperatorgruppe fra sit ideal.

Særlige klasser af multioperatorgrupper

En multioperatorring er en multioperatorgruppe, hvis additivgruppe er Abelian , og hver operation er distributiv med hensyn til gruppeaddition: $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \i \Sigma$

\sigma(g_1, \dots, g_i + h_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, h_i, \dots, g_n)

for enhver . $g_i, h_i \i G$

En multioperatoralgebra er en multioperatorring, alle unære operationer af hvis yderligere signatur danner et felt , desuden er strukturen et vektorrum over dette felt, og for alle aritetsoperationer større end én og vilkårlige elementer har vi : $\Sigma$ $\Sigma_1$ $\lambda \i \Sigma_1$ $n$ $\sigma \i \Sigma \setminus \Sigma_1$ $g_i \i G$

\lambda \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(\lambda g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, \lambda g_i, \dots , g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, \lambda g_n

Ligesom andre multioperatorstrukturer identificeres det ofte i teksten med en ekstra signatur: multioperator -algebra $\Sigma$ (i dette tilfælde og for at undgå tvetydighed mellem en algebra over en ring , hvoraf det er en speciel generalisering, og en algebra i universel forstand ).

Idealerne for multioperatorringe og algebraer er undergrupper , hvor tilstedeværelsen af et element medfører indholdet i dem af alle elementer i formen [3] . $N \trianglevenstre G$ $g_i \i N$ $\sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) \i N$

Noter

↑ PJ Higgins. Grupper med flere operatører // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Bd. 6 , nr. 3 . - S. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh, 1973 , s. 114.
↑ General Algebra, 1991 , s. 357.

Litteratur

A.G. Kurosh . Grupper med multioperatorer // Forelæsninger om generel algebra. - 2. udg. - M . : Nauka, 1973. - S. 114-124. - 400 sek. — 30.000 eksemplarer.
Artamonov V. A. . Kapitel VI. Universal Algebraer // Generel Algebra / Udg. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. - 480 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 25.000 eksemplarer. — ISBN 5-9221-0400-4 .
I. M. Vinogradov. Multioperatorgruppe // Matematisk leksikon. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)