Gitter (algebra)

Et gitter (tidligere blev udtrykket struktur brugt ) er et delvist ordnet sæt , hvor hver to-element-delmængde har både en nøjagtig øvre (sup) og en nøjagtig nedre (inf) grænse . Dette indebærer eksistensen af disse flader for alle ikke-tomme, endelige delmængder.

Eksempler

sættet af alle delmængder af et givet sæt, sorteret efter inklusion; for eksempel: , ; $\sup\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x,y\},\inf\{\{x\},\{x,y\}\} =\{x\}$ $\sup\{\{x\},\{y,z\}\}=\{x,y,z\},\inf\{\{x\},\{y,z\} \}=\emptyset$
ethvert lineært ordnet sæt ; og hvis , så ; $a\leqslant b$ $\sup(a,b)=b,\inf(a,b)=a$
mængden af alle underrum i vektorrummet ordnet efter inklusion, hvor er skæringspunktet og er summen af de tilsvarende underrum; $\inf$ $\op$
sættet af alle ikke-negative heltal , ordnet efter delelighed : hvis for nogle . Her - det mindste fælles multiplum og - den største fælles divisor af disse tal; $a\leqslant b$ $b=ac$ $c$ $\op$ $\inf$
reelle funktioner defineret på segmentet [0, 1] sorteret efter betingelsen hvis for alle . Her $f\leqslant g$ $f(t)\leqslant g(t)$ $t\in [0,1]$

\sup(f,g)=u

, hvor .

u(t)=\max(f(t),g(t))

Algebraisk definition

Et gitter kan også defineres som en universel algebra med to binære operationer (de er betegnet med og eller + og ∙), der opfylder følgende identiteter $\vee$ $\kile$

$a\vee a=a$
$a\wedge a=a$ ( idempotens )
$a\vee b=b\vee a$
$a\wedge b=b\wedge a$ ( kommutativitet )
$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$
$(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$ ( associativitet )
$a\wedge (a\vee b)=a$
$a\vee (a\kile b)=a$ ( absorption ).

Forbindelsen mellem disse to definitioner etableres ved hjælp af formlerne:

a\vee b=\sup(a,b)

a\wedge b=\inf(a,b)

og tilbage. Desuden er for alle elementer og følgende udsagn ækvivalente: $-en$ $b$

a\leqslant b

;

a\wedge b=a

;

a\vee b=b

Begreberne om isomorfi af gitter som universelle algebraer og som delvist ordnede mængder falder sammen. Imidlertid behøver et vilkårligt isotonkort af et gitter til et gitter ikke at være en homomorfi af disse gitter som universelle algebraer. $R$ $R'$

Undergitter

Et undergitter er en delmængde af gitterelementer, der er lukket under operationerne og . Eksempler på undergitter er enhver et-element-delmængde af gitteret, ideal , filter , interval . $+$ $\cdot$

Et undergitter kaldes konveks , hvis det følger af og at . Alle undergitter ovenfor er konvekse. $EN$ $a,b\in A$ $a<c<b$ $c\i A$

Enhver delmængde af kædeelementer er dens undergitter (ikke nødvendigvis konveks). Alle undergitter af et givet gitter, ordnet efter inklusionsrelationen, danner et gitter.

Historie

Udseendet af begrebet "gitter" refererer til midten af XIX århundrede. Det blev klart formuleret af R. Dedekind i værkerne fra 1894 og 1897 . Udtrykket "gitter", oversat som "struktur", blev introduceret af Birkhoff i 1933 . På nuværende tidspunkt er det i russisk terminologi (på grund af tvetydigheden af ordet "struktur") blevet erstattet af oversættelsen "gitter". Historisk set er gitterteoriens rolle forklaret af det faktum, at mange fakta vedrørende ringens idealer og sættet af normale undergrupper af gruppen ligner hinanden og kan bevises inden for rammerne af teorien om Dedekind-gitter . Som en uafhængig gren af algebra blev denne teori dannet i 30'erne af det XX århundrede. De vigtigste klasser af gitter, bortset fra Dedekind dem, er komplette gitter , distributive gitter og boolske algebraer .

Eksempler på ordnede sæt, der ikke er gitter

Diskret rækkefølge - to forskellige elementer er uforlignelige - vil kun være et gitter, hvis der kun er ét element.
Divisorerne for 36 uden 6 er {1, 2, 3, 12, 18, 36}. 2 og 3 har ikke en nøjagtig overside, og 12 og 18 har ikke en nøjagtig underside.

Se også

Litteratur

Birkhoff G. Strukturteori / Pr. fra engelsk. - M., 1952;
Skonyakov L. A. Elementer i teorien om strukturer. - M., 1970;
Zhitomirsky G. I. Bestilte sæt og gitter. - Saratov, 1981;
Gretzer G. Generel teori om gitter / Pr. fra engelsk. - M., 1982.