Almindelig differentialligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. januar 2022; checks kræver 2 redigeringer .

En almindelig differentialligning (ODE) er en differentialligning for en funktion af en variabel. (Dette er forskelligt fra en partiel differentialligning , hvor det ukendte er en funktion af flere variable.) Således er ODE'er ligninger af formen

F(x,y,y',y'',...,y^{{(n)}})=0,\qquad (1)

hvor er en ukendt funktion (evt. en vektorfunktion , så er som regel også en vektorfunktion med værdier i et rum af samme dimension ; i dette tilfælde taler man om et system af differentialligninger), afhængigt af den uafhængige variabel , primtallet betyder differentiering mhp . Tallet (rækkefølgen af den højeste afledede inkluderet i den givne ligning) kaldes rækkefølgen af differentialligningen (1). $y(x)$ $F$ $x$ $x$ $n$

Den uafhængige variabel fortolkes ofte (især i differentialligninger, der opstår i fysiske og andre naturvidenskabelige problemer) som tid , så den betegnes ofte med bogstavet . En variabel er en værdi (eller et sæt værdier, hvis det er en vektorfunktion), der ændrer sig over tid. For eksempel kan det betyde et sæt koordinater for et punkt i rummet; i dette tilfælde beskriver ligning (1) bevægelsen af et punkt i rummet, det vil sige ændringen i dets koordinater over tid. Den uafhængige variabel tager normalt reelle værdier, dog overvejes også differentialligninger, hvor variablen er kompleks (de såkaldte ligninger med kompleks tid ). $x$ $t$ $y$ $y$ $y$ $x$ $x$

Formens mest almindelige differentialligninger

y^{{(n)}}=f(x,y,y',y'',...,y^{{(n-1)}}),\qquad (2)

hvor den højeste afledte er udtrykt som en funktion af variable og afledte ordener mindre Sådanne differentialligninger kaldes normal eller opløst i forhold til den afledede . $y^{{(n)}}$ $x,$ $y$ ${\displaystyle y^{(i)))$ $n.$

I modsætning til ligninger af formen (2) kaldes differentialligninger af formen (1) ligninger, der ikke er løst med hensyn til de afledte eller implicitte differentialligninger.

Den klassiske løsning af differentialligningen (2) er en tidsdifferentierbar funktion , der opfylder ligningen på alle punkter i dens definitionsdomæne . Normalt er der et helt sæt af sådanne funktioner, og for at vælge en af dem er det nødvendigt at pålægge den en yderligere betingelse . Startbetingelsen for ligning (2) er betingelsen $n$ $y(x)$

y(x_{0})=y_{0},\ y'(x_{0})=y_{0}^{{(1)}},y''(x_{0})=y_{0} ^{{(2)}},\,\ldots ,\,y^{{(n-1)}}(x_{0})=y_{0}^{{(n-1)}},\ qquad(3)

hvor er en eller anden fast værdi af den uafhængige variabel (et fast tidspunkt af tid), og og er henholdsvis de faste værdier af funktionen og alle dens afledte op til rækkefølgen inklusive. Differentialligningen (2) sammen med startbetingelsen (3) kaldes startproblemet eller Cauchy-problemet : $x_{0}$ $y_0$ $y_{0}^{{(i)}}$ $y$ $n-1$

\left\{{\begin{array}{lcl}y^{{(n)}}=f(x,y,y',y'',...,y^{{(n-1)} }),\\{}\\y(x_{0})=y_{0},\ y'(x_{0})=y_{0}^{{(1)}},y''(x_ {0})=y_{0}^{{(2)}},\,\ldots ,\,y^{{(n-1)}}(x_{0})=y_{0}^{{ (n-1)}}.\end{array}}\right.

Eksistens- og unikhedssætningen for en løsning til en almindelig differentialligning beskriver mængden af alle løsninger til en almindelig differentialligning. Det er den vigtigste teoretiske position i studiet af almindelige differentialligninger. [en]

Picard-sætningen siger, at under tilstrækkelig generelle begrænsninger på funktionen på højre side af ligning (2), har Cauchy-problemet for denne ligning en unik løsning defineret på et interval af tidsaksen, der indeholder startværdien (dette interval, generelt set , falder muligvis ikke sammen med hele aksen). De vigtigste opgaver og resultater af teorien om differentialligninger: eksistensen og unikheden af løsningen af forskellige problemer for ODE'er, metoder til løsning af de enkleste ODE'er , en kvalitativ undersøgelse af løsninger til ODE'er uden at finde deres eksplicitte form. $f$ $x$ $x_{0}$

Historie

Differentialligninger fandt man allerede i I. Newtons og G. Leibniz ' værker ; udtrykket "differentialligninger" tilhører Leibniz. Når Newton opretter kalkulationen for "fluxions" og "fluent", stillede han to opgaver: at bestemme forholdet mellem fluktuationer fra et givet forhold mellem flydende; ved hjælp af en given ligning, der indeholder fluxer, find forholdet mellem fluenterne. Fra et moderne synspunkt refererer det første af disse problemer (beregning af deres afledte fra funktioner) til differentialregning, og det andet er indholdet af teorien om almindelige differentialligninger. Problemet med at finde det ubestemte integral F(x) af funktionen f(x) blev af Newton betragtet som et særligt tilfælde af hans andet problem. En sådan tilgang var ganske berettiget for Newton som skaberen af grundlaget for matematisk naturvidenskab: i et meget stort antal tilfælde udtrykkes naturlovene, der styrer visse processer, i form af differentialligninger, og beregningen af strømmen af disse processer reduceres til at løse en differentialligning. [2]

Newtons hovedopdagelse, den han anså det for nødvendigt at klassificere og kun udgivet som et anagram, er følgende: "Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvere fluxiones invenire et vice versa." Oversat til moderne matematisk sprog betyder dette: "Det er nyttigt at løse differentialligninger." På nuværende tidspunkt er teorien om differentialligninger et svært at observere konglomerat af en lang række forskellige ideer og metoder, yderst anvendelig til alle slags anvendelser og konstant stimulerende teoretisk forskning i alle matematiske afdelinger. [3] [4]

Eksempler

En af de enkleste anvendelser af differentialligninger er løsningen af det ikke-trivielle problem med at finde et legemes bane ud fra kendte accelerationsprojektioner. For eksempel er accelerationen af et legeme ifølge Newtons anden lov proportional med summen af de virkende kræfter; den tilsvarende differentialligning har formen . Ved at kende de virkende kræfter (højre side), kan du løse denne ligning og, givet startbetingelserne (koordinater og hastighed på det indledende tidspunkt), finde punktets bane. $m{\ddot {x}}=F(x,t)$
Differentialligningen definerer sammen med startbetingelsen eksponenten : . Hvis det angiver tid, så beskriver denne funktion for eksempel væksten af en befolkning under forhold med ubegrænsede ressourcer, såvel som mange andre ting. $y'=y$ $y(0)=1$ $y(x)=e^{x}$ $x$
Løsningen af differentialligningen , hvis højre side ikke afhænger af den ukendte funktion, er det ubestemte integral $y'=f(x)$

y(x)=\int \!f(x)\,dx+C,

hvor er en vilkårlig konstant. $C$

Første ordens differentialligninger

Separable variable ligninger

En differentialligning kaldes en ligning med adskillelige (adskillende) variable, hvis dens højre side kan repræsenteres som . Så i tilfælde af , den generelle løsning af ligningen er . ${\dot {y}}=f(x,y)$ $y'=f_{1}(x)f_{2}(y)$ $f_{2}(y)\neq 0$ $\int \!{\frac {dy}{f_{2}(y)}}=\int \!f_{1}(x)\,dx$

Eksempler på fysiske problemer, der fører til ligninger med adskillelige variable Kropsafkøling

Lad — kropstemperatur — omgivelsestemperatur ( ). Lad - mængden af varme , - specifik varmekapacitet . Derefter udtrykkes mængden af varme, der overføres til miljøet før temperaturudligningen, med formlen , eller i differentialform . På den anden side kan varmeoverførselshastigheden udtrykkes som , hvor er en vis proportionalitetskoefficient. Ved at eliminere disse to ligninger får vi en ligning med adskillelige variable: $T$ $T_{0}$ $T>T_{0}$ $Q$ $c$ $Q=mc(T-T_{0})$ $dQ=mc\,dT$ $dQ=-k(T-T_{0})\,dt$ $k$ $dQ$

mc\,dT=-k(T-T_{0})\,dt

Den generelle løsning på denne ligning er familien af funktioner . $T=T_{0}+Ce^{{-{\frac {kt}{mc))))$

Homogene ligninger

En differentialligning kaldes homogen , hvis er en homogen funktion af grad nul. En funktion kaldes homogen grad, hvis lighed gælder for nogen . ${\dot {y}}=f(x,y)$ $f(x,y)$ $f(x,y)$ $k$ $\lambda>0$ $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{k}f(x,y)$

Substitutionen reducerer for en homogen ligning til en ligning med adskillelige variable: $y(x)=xz(x)$ $x>0$

f(x,xz)=x^{0}f(1,z)=f(1,z)

{\dot {y}}=x{\dot {z}}+z

Substituerer vi den oprindelige ligning, får vi:

{\dot {z}}={\frac {1}{x}}(f(1,z)-z)

som er en adskillelig variabel ligning.

Kvasi-homogene ligninger

En differentialligning kaldes kvasi- homogen, hvis relationen gælder for en hvilken som helst . ${\dot {y}}=f(x,y)$ $\lambda>0$ $f\left(\lambda ^{\alpha }x,\lambda ^{\beta}y\right)=\lambda ^{\beta -\alpha }f(x,y)$

Denne ligning løses ved at erstatte : $y=z^{\frac {\beta }{\alpha }}$

{\dot {z}}={\frac {\alpha }{\beta }}\left(z^{{-{\frac {1}{\alpha }}}}\right)^{{\beta - \alpha }}f\left(x,z^{{\frac {\beta }{\alpha }}}\right)

I kraft af kvasi-homogenitet, indstilling , opnår vi: ${\displaystyle \lambda =z^{-{\frac {1}{\alpha ))))$

\left(z^{{-{\frac {1}{\alpha }}}}\right)^{{\beta -\alpha }}f\left(x,z^({\frac {\beta} {\alpha ))}\right)=f\venstre({\frac {x}{z)),1\højre)

{\dot {z}}={\frac {\alpha }{\beta }}f\left({\frac {x}{z}},1\right)

hvilket åbenbart er en homogen ligning.

Lineære ligninger

En differentialligning kaldes lineær og kan løses ved tre metoder: integrationsfaktormetoden, konstantvariationsmetoden eller Bernoulli-metoden. $y'+a(x)y=b(x)$

Integrationsfaktormetode

Lad en funktion være givet - en integrerende faktor, i form: $\mu (x)$

{\displaystyle \mu (x)=e^{\int \!a(x)\,dx))

Gang begge sider af den oprindelige ligning med , vi får: $\mu (x)$

{\dot {y}}e^{\int \!a(x)\,dx}+ya(x)e^{\int \!a(x)\,dx}=b(x) \mu(x)

Det er let at se, at venstre side er den afledede af funktionen med hensyn til . Så ligningen kan omskrives: $\mu (x)y(x)$ $x$

(\mu (x)y(x))'=b(x)\mu (x)

Lad os integrere:

y(x)\mu (x)=\int \!b(x)\mu (x)\,dx+C

Så løsningen til den lineære ligning ville være:

y(x)=e^{-\int \!a(x)\,dx}\left(\int \!b(x)\mu (x)\,dx+C\right)

Konstant variationsmetode (Lagrange-metoden)

Overvej en homogen ligning . Det er klart, at dette er en ligning med adskillelige variabler, dens løsning: ${\dot {y}}+a(x)y=0$

{\displaystyle y(x)=ce^{-\int \!a(x)\,dx))

Løsninger af den oprindelige ligning vil blive søgt i form:

{\displaystyle y(x)=c(x)e^{-\int \!a(x)\,dx))

Substitution af den resulterende løsning i den oprindelige ligning:

{\dot {c}}=b(x)e^{\int \!a(x)\,dx}

vi får:

c(x)=c_{1}+\int \!b(x)e^{\int \!a(x)\,dx}\,dx

hvor er en vilkårlig konstant. $c_{1}$

Således kan løsningen af den oprindelige ligning opnås ved at erstatte den homogene ligning i løsningen: $c(x)$

y(x)=e^{{-\int \!a(x)\,dx}}\venstre(c_{1}+\int \!b(x)e^{{\int \!a(x )\,dx}}\,dx\right)

Bernoullis ligning

Differentialligningen kaldes Bernoulli-ligningen (for eller vi opnår en inhomogen eller homogen lineær ligning). At er et særligt tilfælde af Riccati-ligningen . Opkaldt efter Jacob Bernoulli , som offentliggjorde denne ligning i 1695 . Løsningsmetoden ved hjælp af en erstatning, der reducerer denne ligning til en lineær, blev fundet af hans bror Johann Bernoulli i 1697 . ${\dot {y}}+a(x)y=b(x)y^{n}$ $n=0$ $n=1$ $n=2$

Binomial differentialligning

Dette er en formligning

\left(y'\right)^{m}=f(x,y),

hvor er et naturligt tal , og er et polynomium i to variable [5] .

m

f(x,y)

Litteratur

Tutorials

Arnold V. I. Almindelige differentialligninger, - Enhver udgave.
Arnold V. I. Yderligere kapitler i teorien om almindelige differentialligninger, - Enhver

udgave.

Arnold V. I. Geometriske metoder i teorien om almindelige differentialligninger, - Enhver udgave.
Arnold V. I. , Ilyashenko Yu. S. Almindelige differentialligninger, — Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderne sandsynlighed måtte. Fundam. retning, 1985, bind 1.
Petrovsky I. G. Forelæsninger om teorien om almindelige differentialligninger, - Enhver udgave.
Pontryagin L. S. Almindelige differentialligninger, - Enhver udgave.
Stepanov V.V. Forløb af differentialligninger, - Enhver udgave.
Tricomi F. Differentialligninger, - Enhver udgave.
Filippov A. F. Introduktion til teorien om differentialligninger, - Enhver udgave.
Philips G. Differentialligninger, - Enhver udgave.
Hartman F. Almindelige differentialligninger, - Enhver udgave.
Elsgolts L. E. Differentialligninger og variationsregningen, - Enhver udgave.
Zaitsev, V. F. , Polyanin, A. D. Almindelige differentialligninger på 2 timer, del 1 . - M. : Yurayt Publishing House, 2022. - 385 s. - (Videregående uddannelse). - ISBN 978-5-534-02685-6 .
Zaitsev, V. F. , Polyanin, A. D. Almindelige differentialligninger på 2 timer, del 2 . - M . : Yurayt Publishing House, 2022. - 196 s. - (Videregående uddannelse). - ISBN 978-5-534-02690-0 .

Opgavebøger

Filippov A. F. Samling af opgaver om differentialligninger, - Enhver udgave.

Referencer

Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, - Enhver udgave.
Zaitsev V. F., Polyanin A. D. Håndbog for almindelige differentialligninger, - Enhver udgave.

Noter

↑ L.S. Pontryagin Differentialligninger og deres anvendelser. - M. , Nauka , 1988. - c. femten
↑ [bse.sci-lib.com/article029636.html TSB. Differentialligninger.]
↑ Arnold V. I. Yderligere kapitler i teorien om almindelige differentialligninger.
↑ Arnold V. I. Geometriske metoder i teorien om almindelige differentialligninger.
↑ Zwillinger, D. Handbook of differential Equations (ubestemt) . - 3. udgave .. - Boston, MA: Academic Press , 1997. - S. 120.

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NDL : 00574993 NKC : ph123625

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner