Eksistens- og unikhedssætning for en løsning af en almindelig differentialligning

Eksistens- og unikhedssætningen for en løsning til en almindelig differentialligning er en sætning, der beskriver mængden af alle løsninger til en almindelig differentialligning . Det er den vigtigste teoretiske position i studiet af almindelige differentialligninger. [en]

Den siger, at for hver begyndelsesværdi fra definitionsdomænet eksisterer der altid en løsning på ligningen med disse begyndelsesværdier, defineret på et interval, der indeholder punktet . Hvis der er to løsninger med de samme begyndelsesværdier , som hver er defineret på sit eget interval indeholdende , så falder disse løsninger sammen på den fælles del af disse intervaller . [2] ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi }}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$

Ordlyd

Overvej en almindelig differentialligning (ODE) , hvor er en vektor, , er en vektorfunktion af en vektor og en skalar , tegnet betyder den afledede med hensyn til . Funktionerne og alle deres partielle afledte er definerede og kontinuerte på et åbent sæt . ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})$ ${\vec {f}}(x,{\vec {y}})=(f_{1}(x,{\vec {y}}),...,f_{n}(x, {\vec {y))))$ ${\vec {y}}$ $x$ ${\dot {y}}$ $y$ $x$ ${\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}(x,y_{1},...,y_{n})}{\partial y_{j))))$ $i,j=1,...,n$ $\Gamma$

Så for hvert punkt , kaldet opløsningens begyndelsesværdier , er der en løsning til ODE , defineret på et eller andet interval, der indeholder punktet og opfylder betingelsen , kaldet løsningens begyndelsesbetingelser . $x_{0},{\vec {y_{0}}}\in \Gamma$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi }}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(x_{0})={\vec {y_{0))))$

Hvis der er to løsninger til ODE , , defineret på deres egne intervaller af værdier af variablen , der indeholder et punkt og sådan, at , så falder disse løsninger sammen, uanset hvor de er defineret. Det vil sige, at for startværdierne defineres en unik løsning , der opfylder startbetingelsen . [3] [4] ${\vec {y}}={\vec {\psi }}(x)$ ${\vec {y}}={\vec {\chi }}(x)$ $x$ $x_{{0}}$ ${\vec {\psi }}(x_{0})={\vec {\chi }}(x_{0})={\vec {y_{0}}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\vec {\varphi }}(x_{0},{\vec {y_{0}}},x_{0})={\vec {y_{0}}}$

Funktionen og dens partielle afledninger afhænger kontinuerligt af variablerne . ${\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\frac {{\vec {\varphi }}f_{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\partial y_{0}}}$ $i=1,...,n$ $x,{\vec {y_{0}}},x_{0}$

Blandede derivater eksisterer , er kontinuerte i og afhænger ikke af rækkefølgen af differentiering. [3] ${\frac {\partial ^{2}\varphi _{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\partial x\partial ^{j}y_ {0}}}$ $i,j=1,...,n$ ${\displaystyle t,{\vec {x_{0))))$

Se også

Peanos teorem

Noter

↑ Pontryagin, 1988 , s. femten.
↑ Pontryagin, 1988 , s. 17-18.
↑ 1 2 Pontryagin, 1988 , s. 16-17.
↑ P.I. Lizorkin Kursus af differential- og integralligninger med yderligere analysekapitler. - M. , Nauka , 1981. - s. 86

Litteratur

L.S. Pontryagin . Differentialligninger og deres anvendelser. — M .: Nauka , 1988. — 208 s.