Tegn på trekanters lighed (sætning)

Test for trekanters lighed er en af de grundlæggende teoremer i geometri.

En trekant på det euklidiske plan kan defineres entydigt (op til kongruens ) af følgende trillinger af grundelementer: [1]

$-en$ , , (lighed på to sider og vinklen mellem dem); $b$ $\gamma$
$-en$ , , (lighed i side og to tilstødende vinkler); $\beta$ $\gamma$
$-en$ , , (lighed på tre sider). $b$ $c$

Der er funktioner til retvinklede trekanter , hvoraf nogle er exceptionelle:

langs benet og hypotenusen (dvs. i tilfælde af en retvinklet trekant er det ikke nødvendigt, at en kendt vinkel (nemlig en ret linje) ligger mellem de kendte sider);
på to ben;
langs benet og spids vinkel;
hypotenus og spids vinkel.

Et ekstra tegn: trekanter er lige, hvis de har to sider og en vinkel modsat den største af disse sider [2] .

I sfærisk geometri og i Lobachevskys geometri er der et tegn på, at trekanter er lige store i tre vinkler.

Tegnet for lighed på to sider og vinklen mellem dem

Klassisk bevis fra skolens læseplan

Sætning: hvis to sider og vinklen indesluttet mellem dem, i henholdsvis en trekant, er lig med to sider og vinklen indesluttet mellem dem, i en anden trekant, så er sådanne trekanter ens .

Givet: Bevis: Bevis: Overlæg med , så punktet falder på og siden falder sammen med . Så, på grund af ligheden mellem disse sider, vil punktet falde sammen med a på grund af vinklernes lighed, og siden vil falde sammen med , og på sin side, på grund af ligheden mellem disse sider, vil punktet falde sammen med , så side vil falde sammen med (da to punkter kun kan forbindes med en ret linje) . Så falder trekanterne sammen, hvilket betyder, at de er lige store. $AB=A_{1}B_{1},\quad AC=A_{1}C_{1},\quad \angle A=\angle A_{1}.$

$\triangle ABC=\triangle A1B1C1.$

$\Delta ABC$ ${\displaystyle \Delta A_{1}B_{1}C_{1))$ $EN$ $A_{1}$ $AC$ $A_{1}C_{1}$ $C$ $C_{1},$ $EN$ $A_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $B$ $B_1$ $CB$ $C_{1}B_{1}$

Bemærk

Kravet om, at vinklen skal ligge mellem siderne er væsentlig, for hvis den kendte vinkel derimod ligger modsat den kendte side, så kan en anden, ukendt vinkel, som ligger modsat resten af den kendte side, tvetydigt bestemmes af sinussætning : hvis sinus af vinklen er lig med en eller anden værdi, så er sinus for den tilstødende også.

Tegnet for lighed på to vinkler og siden mellem dem

Klassisk bevis fra skolens læseplan

Sætning: Hvis to vinkler og den side, der støder op til dem i en trekant, er henholdsvis lig med to vinkler og den side, der støder op til dem i en anden trekant, så er sådanne trekanter lig .

Givet: Bevis: Bevis: $BC=B_{1}C_{1},\quad \angle C=\angle C_{1},\angle B=\angle B_{1}.$

$\triangle ABC=\triangle A1B1C1$

Bemærk

I modsætning til det første kriterium kan 2. kriterium omformuleres, så begge kendte vinkler ikke støder op til en kendt side, og takket være vinkelsumsætningen forbliver lighedskriteriet sandt.

Tegn på lighed på tre sider

Noter

↑ Geometri ifølge Kiselyov Arkiveret 1. marts 2021 på Wayback Machine , § 41.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 219.

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. — M .: Nauka, 1978.

Se også

Tegn på lighed mellem trekanter