Thales' sætning om proportionale segmenter

Thales ' sætning er en planimetrisætning om et sæt parallelle sekanter til et par linjer.

Formuleringer

Hvis der på en af de to rette linjer lægges flere successivt lige store segmenter til side og gennem deres ender tegnes parallelle linjer, der skærer den anden rette linje, så vil de afskære segmenter, der er lig med hinanden på den anden rette linje.

En mere generel formulering, også kaldet proportionalsegmentsætningen

Parallelle sekanter danner proportionale segmenter på lige linjer :

{\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}= {\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.

Noter

Der er ingen begrænsninger for den gensidige opstilling af sekanter i sætningen (det gælder både for skærende linjer og for parallelle). Det er heller ikke ligegyldigt, hvor linjestykkerne er.

Thales-sætningen er et specialtilfælde af proportionalsegmentsætningen, da lige store segmenter kan betragtes som proportionale segmenter med en proportionalitetskoefficient lig med 1.

Bevis i tilfælde af ikke-parallelle linjer

Overvej en variant med uforbundne par af segmenter: lad vinklen skæres af lige linjer og samtidig . $AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}$ $AB=CD$

Tegn gennem punkter og lige linjer parallelt med den anden side af vinklen. og . Ifølge parallelogram-egenskaben: og . $EN$ $C$ $AB_{2}B_{1}A_{1}$ $CD_{2}D_{1}C_{1}$ $AB_{2}=A_{1}B_{1}$ $CD_{2}=C_{1}D_{1}$
Trekanter og er lige på grundlag af den anden test for trekanters lighed $\bigtriangleup ABB_{2}$ $\bigtriangleup CDD_{2}$

Bevis ved parallelle linjer

Lad os tegne en linje BC . Vinklerne ABC og BCD er ens som indre krydsninger under parallelle linjer AB og CD og sekant BC , og vinkler ACB og CBD er lig med indre krydser liggende under parallelle linjer AC og BD og sekant BC . Derefter, ifølge det andet kriterium for trekanters lighed, er trekanter ABC og DCB kongruente. Det følger heraf, at AC = BD og AB = CD . ■

Historie

Denne teorem tilskrives den græske matematiker og filosof Thales fra Milet . Ifølge legenden beregnede Thales af Milet højden af Cheops-pyramiden ved at måle længden af dens skygge på jorden og længden af skyggen af en pind af kendt højde. Det tidligste kendte skriftlige bevis for denne sætning er givet i Euklids Principia ( forslag 2 i Bog VI).

Variationer og generaliseringer

Omvendt sætning

Hvis der i Thales-sætningen starter lige store segmenter fra toppunktet (denne formulering bruges ofte i skolelitteraturen), så vil den omvendte sætning også vise sig at være sand. For krydsende sekanter er den formuleret som følger:

Hvis linjer, der skærer to andre linjer (parallelle eller ej) afskærer lige store (eller proportionale) segmenter på dem begge, startende fra toppunktet, så er sådanne linjer parallelle.

Således (se fig.) af det faktum, at , følger det, at . ${\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots$ $A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots$

Hvis sekanterne er parallelle, så er det nødvendigt at kræve, at segmenterne på begge sekanter er lig med hinanden, ellers bliver dette udsagn falsk (et modeksempel er en trapezformet gennemskåret af en linje, der går gennem basernes midtpunkter).

Denne teorem bruges i navigation: en kollision af skibe, der bevæger sig med konstant hastighed, er uundgåelig, hvis retningen fra et skib til et andet opretholdes.

Sollertinskys lemma

Følgende udsagn er dobbelt til Sollertinskys lemma :

Lade være en projektiv overensstemmelse mellem punkterne på linjen og linjen . Så vil sættet af linjer være sættet af tangenter til et eller andet (muligvis degenereret) keglesnit . $f$ $l$ $m$ $Xf(X)$

I tilfældet med Thales-sætningen vil keglen være et uendeligt punkt svarende til retningen af parallelle linjer.

Denne erklæring er til gengæld et begrænsende tilfælde af følgende erklæring:

Lad være en projektiv transformation af en kegle. Så vil konvolutten af sættet af linjer være en kegleformet (muligvis degenereret). $f$ $Xf(X)$

I kultur

Den argentinske komediemusikgruppe Les Luthiers præsenterede en sang dedikeret til teoremet [1] ;

Yoshikage Kira fra mangaen JoJo's Bizarre Adventure brugte en teorem midt i en kamp til at beregne afstanden til et mål.

Se også

Thales' sætning om en vinkel baseret på diameteren af en cirkel

Noter

↑ Les Luthiers, Teorema de Thales, Aqui Les Luthiers på YouTube

Litteratur

Geometri ifølge Kiselyov , § 188.

Atanasyan L.S. et al. Geometry 7-9. - Ed. 3. - M . : Uddannelse, 1992.