Vector felt flow

Et vektorfelts flow er et udtryk, der bruges i matematik om to forskellige begreber:

strømmen af et vektorfelt gennem en overflade , er dette koncept også meget brugt i fysik, især i elektrodynamik ;

faseflow - strømmen af et vektorfelt - en én-parameter familie af diffeomorfismer defineret af en differentialligning . ${\vec A}$ $\Gamma _{t}$ ${\vec {A}}(\Gamma _{t}(x))=d\Gamma _{t}(x)/dt$

Det første af disse begreber er præsenteret nedenfor ( en separat artikel er afsat til det andet ).

Flow af et vektorfelt gennem en overflade

Et vektorfelts flow gennem en overflade er et overfladeintegral af den anden slags over overfladen . Per definition, $S$

{\displaystyle {{\Phi }_{F))=\iint \limits _{S}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS))

hvor er et vektorfelt (en vektorfunktion af et vektorargument - et punkt i rummet), er en enhedsvektor med en positiv normal til overfladen (den positive retning er valgt betinget for en orienterbar overflade, men er den samme for alle punkter - det vil sige for en differentierbar overflade - så den er kontinuert; for ikke-orienterbar overflade er dette ikke vigtigt, da flowet igennem det altid er nul), er et element i overfladen. ${\mathbf {F}}={\mathbf {F(X)))$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {n}$ $dS$

I det tredimensionelle tilfælde , og overfladen er en almindelig todimensionel overflade. ${\mathbf {X}}=(x,y,z),{\mathbf {F}}={\mathbf {F(X)))=\venstre(F_{{x}}({\mathbf {X }}),F_{{y}}({\mathbf {X}}),F_{{z}}({\mathbf {X}})\right)$

Nogle gange bruges betegnelsen

d\mathbf {S} =\mathbf {n} \,dS

så skrives flowet som

{{\Phi }_{{F}}}=\iint \limits _{{S}}{{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {S}}}

Strømningens dimension er størrelsen af mængden ganget med en kvadratmeter (i SI ). $\mathbf {F}$

Nogle fysiske eksempler

Fra hydrodynamik

Lad bevægelsen af en inkompressibel væske af enhedstæthed i rummet være givet af vektorfeltet for strømningshastigheden . Så vil mængden af væske, der strømmer per tidsenhed gennem overfladen , være lig med strømmen af vektorfeltet . ${\mathbf {v}}={\mathbf {v}}(x,y,z)$ $S$ $\mathbf{v}$

Hvis massefylden er lig med , så vil massen af væske, der strømmer gennem overfladen pr. tidsenhed, være lig med strømningen af størrelsen : $\rho$ $\rho \mathbf {v}$

{\frac {dM}{dt}}={{\Phi }_{\rho \mathbf {v} }}=\iint \limits _{S}{\rho \mathbf {v} \cdot d \mathbf {S} }

. Fra elektrodynamik

I elektrodynamikkens grundlæggende ligninger - Maxwells ligninger - er der flux af den elektriske induktionsvektor og den magnetiske induktionsvektor

{{\Phi }_{D))=\iint \limits _{S}{\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} }\quad

og .

\quad {{\Phi }_{B}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }

Disse fluxer er nemlig, hvis de beregnes for en lukket overflade, lig med ladningen inde i overfladen:

\oint \limits _{S}{\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} }=Q\quad

og ,

\quad \oint \limits _{S}{\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }=0

hvor er den elektriske ladning , og vektorfluxen er nul, da magnetiske ladninger ikke eksisterer. $Q$ $\mathbf {B}$

Et andet eksempel fra elektrodynamik. Elektrisk strøm er en strømtæthedsvektorfeltflux :

I=\iint \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}

gennem tværsnittet af den strømførende leder.

Om begrebet fluxtæthed

Hvis vektorfeltet, hvis flux beregnes, er karakteriseret ved overførslen af en skalar størrelse (f.eks. masse i eksemplet med væske eller ladning i eksemplet med strøm; andre mulige tilfælde er energioverførsel , spinoverførsel ), så felt kaldes i denne sammenhæng fluxtætheden . I sådanne tilfælde har den en struktur , hvor angiver densiteten af den overførte mængde (masse i kg / m 3 , ladning i C / m 3 , energi i J / m 3 osv.), og er overførselshastigheden. Hvis der ikke overføres noget (som for streamen , ), giver et sådant navn ikke mening. $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F} =\rho _{f}\mathbf {v}$ ${\displaystyle \rho _{f))$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {B}$

Vector felt flow

Flow af et vektorfelt gennem en overflade

Nogle fysiske eksempler

Se også