Lebesgue mål

Lebesgue-målet på er et mål , der generaliserer begreberne om længden af et segment , arealet af en figur og volumenet af en krop til et vilkårligt dimensionelt euklidisk rum . Mere formelt er Lebesgue-målet en udvidelse af Jordan-målet til en bredere klasse af sæt [1] . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Især Lebesgue-målet for et segment på den reelle linje er lig med dets længde, Lebesgue-målet for en polygon på planet er lig med dets areal.

Det blev introduceret af den franske matematiker Henri Lebesgue i 1902 i sit afhandlingsarbejde.

Konstruktion på en lige linje

Ekstern foranstaltning

For en vilkårlig delmængde af den reelle linje kan man finde vilkårligt mange forskellige systemer fra et endeligt eller tælleligt antal intervaller, hvis forening indeholder mængden . Sådanne systemer kalder vi belægninger . Da summen af længderne af de intervaller, der udgør ethvert omslag, er en ikke-negativ værdi, er den afgrænset nedefra, og derfor har længdesættet af alle omslag et infimum . Dette ansigt, afhængigt af sættet , kaldes det ydre mål : $E$ $E$ $E$

m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.

Muligheder for at udpege en ekstern foranstaltning:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.

Det ydre mål for ethvert interval falder sammen med dets længde, hvilket er en konsekvens af den tællelige additivitet af Lebesgue-målet ved halvering af intervaller, segmenter og halvintervaller. For at være mere præcis giver denne tællelige additivitet , mens den modsatte ulighed faktisk er indlysende og følger direkte af definitionen af det ydre mål. Desuden kan man give et eksempel på et mål på en algebra, således at det ydre mål for et sæt fra denne algebra er strengt taget mindre end dets oprindelige mål. $m(a,b)\leqslant m^{*}(a,b)$

Egenskaber for ydermål

(monotone) $E_{1}\subseteq E_{2}\Rightarrow m^{*}E_{1}\leqslant m^{*}E_{2}.$
(tællelig semi-additivitet) $E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\Rightarrow m^{*}E\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }m^{*} E_{k}.$
$\forall E,\ \varepsilon >0\ \exists G\supseteq E\colon m^{*}G\leqslant m^{*}E+\varepsilon$ , hvor er et åbent sæt . Det er faktisk tilstrækkeligt at tage summen af de intervaller, der udgør dækningen , således at . Eksistensen af en sådan dækning følger af definitionen af den mindste nedre grænse. $G$ $G$ $E$ $\textstyle \sum _{i}\Delta _{i}\leqslant m^{*}E+\varepsilon$

Intern foranstaltning

Hvis mængden er afgrænset, så er det indre mål af mængden forskellen mellem længden af det indeholdende segment og det ydre mål for komplementet i : $E$ $E$ $[a,\;b]$ $E$ $E$ $[a,\;b]$

m_*E=(ba)-m^*([a,\;b]\setminus E).

For ubundne sæt er defineret som den mindste øvre grænse over alle segmenter . $m_*E$ $(ba)-m^*([a,\;b]\setminus E)$ $[a,\;b]$

Målbare sæt

Et sæt kaldes Lebesgue målbart , hvis dets ydre og indre mål er lige store. Så kaldes den samlede værdi af sidstnævnte mængdens Lebesgue-mål og betegnes med , , , eller . $mig$ $\mu E$ $|E|$ $\lambda(E)$ $\operatørnavn {mes} E$

Et eksempel på et umålbart sæt

Et eksempel på et Lebesgue-umåleligt sæt blev konstrueret af J. Vitali i 1905. Overvej følgende ækvivalensrelation på intervallet : hvis forskellen er rationel . Yderligere vælger vi fra hver ækvivalensklasse en repræsentant - et punkt (her bruger vi valgaksiomet ). Så vil det resulterende sæt af repræsentanter være umålelige. $\sim$ $[0, 1]$ $x\sim y$ $xy$ $E$

Faktisk, hvis vi forskyder et tælleligt antal gange med alle rationelle tal i intervallet , vil foreningen indeholde hele segmentet , men samtidig vil det være indeholdt i segmentet . I dette tilfælde vil de "forskudte kopier" af sættet ikke krydse hinanden, hvilket direkte følger af konstruktionen af og . $E$ $[-1,1]$ $[0, 1]$ $[-1,2]$ $E$ $\sim$ $E$

Derfor, under hensyntagen til den tællelige additivitet af Lebesgue-målet,

1=\mu {\big (}[0;1]{\big )}\leqslant \mu {\bigg (}\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}{\ bigg )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})\leqslant \mu {\big (}[-1;2]{\big )}=3.

Men hvis det konstruerede sæt er målbart, er dette umuligt: alt skyldes invariansegenskaben af Lebesgue-målet (målet for mængden ændres ikke med et skift), og dermed summen af rækken $E$ $\mu (E_{n})=\mu (E)$

\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})

enten uendelig (hvis ) eller lig med nul (hvis ); Der er ingen tredje. $\mu (E)>0$ $\mu (E)=0$

I begge tilfælde opnår vi en modsigelse, og derfor er mængden umådelig; det vil sige, at målefunktionen ikke gælder for. $E$ $E$

Bemærk, at konstruktionen af dette, såvel som ethvert andet eksempel på et ikke-målbart sæt på et segment, ville være umuligt uden at acceptere det valgte aksiom (det ville være umuligt at vælge en repræsentant i hver ækvivalensklasse).

Egenskaber

Lebesgue-foranstaltningen opfylder følgende to betingelser:
- Målingen af en enhedsterning er lig med én.
- Målene for kongruente mængder er lig med hinanden.

desuden

Målbare mængder danner en maksimal (ved inklusion) klasse af sæt, hvorpå disse to betingelser definerer et enkelt mål.

Historie

I sine Lectures on Integration and the Search for Primitive Functions (1904) udtalte Henri Lebesgue , at hans mål var at finde et (ikke-negativt) mål på den reelle linje, der ville eksistere for alle afgrænsede sæt og opfylde tre betingelser:

Kongruente mængder har samme mål (det vil sige, at målet er invariant under translation og symmetri).
Foranstaltningen er tælleligt additiv .
Målingen af intervallet (0, 1) er 1.

Lebesgues konstruktion dækkede en stor klasse af sæt af reelle tal og definerede et sæt af målbare funktioner , bredere end sættet af analytiske funktioner . Desuden tillod enhver målbar funktion brugen af mange analytiske metoder. På dette tidspunkt var der allerede en generel måleteori udviklet af E. Borel (1898), og de første værker af Lebesgue var baseret på Borel-teorien. Men i Lebesgues afhandling (1902) blev målteori i det væsentlige generaliseret til "Lebesgue-målet". Lebesgue definerede begreberne afgrænsede målbare funktioner og integraler for dem, beviste, at alle "almindelige" afgrænsede funktioner studeret i analyse er målbare, og at klassen af målbare funktioner er lukket under grundlæggende analytiske operationer, herunder driften af passage til grænsen . I 1904 generaliserede Lebesgue sin teori ved at fjerne begrænsningsbetingelsen for en funktion.

Allerede det næste år (1905) viste J. Vitali , at et mål, der opfylder de tre ovenstående betingelser, ikke dækker alle afgrænsede reelle mængder: han konstruerede en mængde , der ikke har et mål med de angivne egenskaber. Desuden beviste Hausdorff i 1914, at selvom vi erstatter kravet om tællig additivitet med en svagere betingelse for endelig additivitet, finder vi stadig afgrænsede ikke-målbare mængder i tredimensionelt rum. For en lige linje, som Banach opdagede i 1923, eksisterer en universel endelig additiv foranstaltning og er ikke engang unik [2] .

Lebesgues forskning fandt et bredt videnskabeligt svar, de blev videreført og udviklet af mange matematikere: E. Borel , M. Ries , J. Vitali , M. R. Fréchet , N. N. Luzin , D. F. Egorov og andre. Konvergensbegrebet blev introduceret efter mål ( 1909).

Lebesgues værker havde en anden vigtig begrebsmæssig betydning: de var fuldstændig baseret på Cantors mængdeteori , som var kontroversiel i disse år , og frugtbarheden af Lebesgues teori tjente som et stærkt argument for at acceptere mængdeteori som grundlaget for matematik.

Se også

Litteratur

Brylevskaya L. I. Om måleproblemets historie i første halvdel af det 20. århundrede // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1986. - Nr. 30 . - S. 97-112 .
Vulikh BZ Et kort kursus i teorien om funktioner for en reel variabel (introduktion til teorien om integralet). — M .: Nauka, 1973. — 352 s.
Gelbaum, B., Olmsted, J. Modeksempler i analyse = Modeksempler i analyse. — M. : LKI, 2007. — 258 s. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .

Noter

↑ Mål // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 636-645. — 1184 s.
↑ Brylevskaya L.I., 1986 , s. 100.

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler