Mange Vitali
Vitali-sættet er det første eksempel på et sæt reelle tal , der ikke har Lebesgue-mål . Dette eksempel, som er blevet en klassiker, blev beskrevet af den italienske matematiker Giuseppe Vitali i 1905. [en]
Historie
Et år før Vitalis artikel, i 1904, publicerede Henri Lebesgue Lectures on Integration and Finding Primitive Functions, hvor han skitserede sin måleteori og udtrykte håb om, at den ville være anvendelig på ethvert begrænset sæt af reelle tal. Opdagelsen af Vitali-sættet viste, at dette håb ikke var berettiget. Efterfølgende blev andre modeksempler opdaget , men deres konstruktion er altid i det væsentlige baseret på valgaksiomet .
Konstruktion
Overvej følgende ækvivalensrelation på intervallet : hvis forskellen er rationel . Som sædvanlig opdeler denne ækvivalensrelation intervallet i ækvivalensklasser, som hver har en tællig kardinalitet, men deres antal har en kontinuumskardinalitet . Yderligere vælger vi fra hver ækvivalensklasse en repræsentant - et punkt (her bruger vi valgaksiomet ). Så vil det resulterende sæt af repræsentanter være umålelige.
![[0,\;1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2421e6dd8ecf6af6a9a44ebe41ff776dcf98d68e)
Faktisk, hvis vi forskyder et tælleligt antal gange med alle rationelle tal fra intervallet , så vil foreningen indeholde hele segmentet , men samtidig vil det være indeholdt i segmentet . I dette tilfælde vil de "forskudte kopier" af sættet ikke krydse hinanden, hvilket direkte følger af konstruktionen af og .
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971caee396752d8bf56711f55d2c3b1207d4a236)
![{\displaystyle [-1,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b328607efcb680d283c480e4845d34b684636)
Antag, at det er Lebesgue målbart , så er 2 muligheder mulige.
- Målet E er lig med nul. Så vil målet for intervallet , som en tællig forening af sæt af mål nul, også være lig med nul.
- Målingen E er større end nul. Så konkluderer vi på samme måde, at målet for intervallet , på grund af den tællelige additivitet af Lebesgue-målet, vil være uendeligt.
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
I begge tilfælde opstår der en modsigelse. Vitali-sættet er således ikke Lebesgue-målbart.
Noter
- ↑ Vitali, Giuseppe . Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta (italiensk) // Bologna, Tip. Gamberini og Parmeggiani: dagbog. — 1905.
Litteratur
- Brylevskaya L. I. Om måleproblemets historie i første halvdel af det 20. århundrede // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1986. - Nr. 30 . - S. 97-112 .
- Gelbaum, B., Olmsted, J. Modeksempler i analyse = Modeksempler i analyse. — M. : LKI, 2007. — 258 s. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .
- Yashchenko IV Paradokser i teorien om mængder. Serie "Library" Mathematical Education "", Issue 20, 2002. ISBN 5-94057-003-8