Apollonius' sætning

I planimetri er Apollonius' sætning en formel, der udtrykker længden af medianen af en trekant i form af dens sider. Især hvis medianen i en trekant ABC er AD , så

AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2}).

Dette er et særligt tilfælde af Stewarts sætning . For en ligebenet trekant reduceres sætningen til Pythagoras sætning . Ud fra det faktum, at diagonalerne i et parallelogram halverer hinanden, kan det bevises, at sætningen svarer til parallelogrammets identitet .

Sætningen er opkaldt efter Apollonius af Perga .

Bevis

Sætningen kan bevises som et specialtilfælde af Stewarts sætning eller ved hjælp af vektorer (se parallelogramidentitet ). Det følgende er et uafhængigt bevis ved hjælp af cosinussætningen [1] .

Lad siderne af trekanten a , b , c og medianen d tegnes til side a i trekanten. Lad m være længden af segmenterne a dannet af medianen, det vil sige, m er halvdelen af a . Lad vinklerne mellem a og d være θ og θ′, hvor θ indeholder b og θ′ indeholder c . Så er θ′ vinklen ved siden af θ og cos θ′ = −cos θ. Cosinussætningen for θ og θ′ siger:

{\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2} -2dm\cos \theta '=\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}

Tilføjelse af disse ligninger, får vi

b^{2}+c^{2}=2m^{2}+2d^{2}

som krævet.

Se også

Noter

↑ Ifølge Godfrey & Siddons, 1908

Kilder

Charles Godfrey, Arthur Warry Siddons. Moderne geometri . - Universitetsforlaget, 1908. - S. 20.
Apollonius-sætning (engelsk) på PlanetMath-hjemmesiden .