Reduceret polynomium

I algebraen af ​​komplekse tal er et reduceret polynomium et polynomium i én variabel med en enhedsledende koefficient [1] . Den ledende koefficient for et polynomium er multiplikatoren for et monomial af højeste grad [2] . Følgelig har det reducerede polynomium med hensyn til én variabel x formen

hvor a n −1 , …, a 0 er koefficienterne.

Polynomiel reduktion

I mængden af ​​komplekse tal er der et element 1 ( en ), neutralt med hensyn til multiplikation, og når de lægges til, subtraheres, ganges og divideres med et ikke-nul tal, opnås altid et komplekst tal, dvs. dette sæt er et felt , hvilket betyder, at ethvert polynomium kan reduceres på dette felt til det reducerede polynomium, hvis rødder ville forblive de samme, ved at dividere med den førende koefficient. I henhold til algebras grundlæggende sætning og Bezouts sætning kan ethvert komplekst polynomium dekomponeres som et n ( x  −  x 1 )...( x  −  x n ), hvor x 1 , …, x n alle er rødder til polynomiet , idet tages hensyn til deres mangfoldighed , og a n viser sig at være den førende faktor. Hvis man gør et hvilket som helst polynomium af én variabel til et reduceret polynomium, kan det derfor repræsenteres som ( x  −  x 1 )...( x  −  x n ). Det viser sig således, at inden for komplekse tal er det reducerede polynomium, som under hensyntagen til multipliciteten, har de samme rødder som det oprindelige, entydigt defineret.

Ejendom

Lukning under multiplikation

Mængden af ​​alle reducerede polynomier (med koefficienter over en eller anden ring og med variabel x ) er lukket under multiplikation, det vil sige, at produktet af reducerede polynomier altid er et reduceret polynomium.

Heltal algebraiske tal

Et algebraisk heltal er et tal, der kan være roden til et eller andet reduceret polynomium med heltalskoefficienter [3] . Heltal algebraiske tal, groft sagt, generaliserer heltal efter det samme princip, som rationelle tal generaliseres til algebraiske tal : hvis det algebraiske tal har den første potens , så er det rationelt, og hvis hele tallet er algebraisk, så er det heltal . Skabelon:Sfb .

Minimalt polynomium

Algebraiske tal, som er "rationelle" generaliseringer af algebraiske heltal, er tal, der kan repræsenteres som rødderne af et polynomium med rationelle koefficienter, der ikke er identisk lig med nul. Der er uendeligt mange sådanne polynomier: de kan dannes ved at gange det oprindelige polynomium med en koefficient, der ikke er nul , såvel som med en lineær faktor.

Blandt alle disse polynomier er det "mest optimale" det minimale polynomium. Det minimale polynomium (med koefficienter fra et felt, der indeholder en) af et algebraisk tal er det reducerede polynomium af den mindste grad.

Noter

  1. ↑ Vinberg, 2013 , s. 99.
  2. ↑ Vinberg, 2013 , s. 91.
  3. ↑ Vinberg, 2013 , s. 385.

Litteratur

Vinberg E.B. Algebra kursus. - 2., slettet .. - MTsNMO, 2013. - 590 s. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .