Grad af transcendens

Graden af transcendens er det maksimale antal algebraisk uafhængige elementer i feltudvidelsen . Graden af transcendens gør det muligt at måle udvidelsens størrelse.

Definition

Lad være en udvidelse af et felt til et felt. Overvej alle mulige algebraisk uafhængige delmængder af et felt over et felt . Graden af transcendens af en given udvidelse er defineret som den største kardinalitet blandt sådanne delmængder. $L/K$ $K$ $L.$ $L$ $K.$

Normalt betegnet eller $\mathrm {trdeg} _{K}L$ $\mathrm {trdeg} (L/K).$

Noter

Hvis der ikke er nogen algebraisk uafhængige elementer i det udvidede felt , så er deres sæt tomt , og graden af transcendens er lig med nul. Transcendensgrad nul betyder således, at den givne udvidelse er algebraisk . Hvis graden af transcendens ikke er nul, så er der " transcendentale " (ikke algebraiske med hensyn til det oprindelige felt) elementer. $L$ $L$

Relaterede begreber

En delmængde af kaldes et transcendensgrundlag for en udvidelse, hvis: $S$ $L$ $L/K,$

elementer er algebraisk uafhængige over $S$ $K;$
grundlaget er komplet, dvs. det er en algebraisk udvidelse af feltet opnået ved at tilføje elementer til feltet $L$ $K(S),$ $S$ $K.$

Det kan påvises, at der for enhver given udvidelse af feltet eksisterer transcendensbaser ( valgaksiomet er brugt i beviset ), og alle har den samme kardinalitet, lig med graden af transcendens. Transcendensbaser er et nyttigt værktøj til at bevise forskellige eksistenssætninger om felthomomorfismer .

En feltudvidelse siges at være rent transcendental , hvis der eksisterer en delmængde af algebraisk uafhængige over elementer, således at $L/K$ $L$ $S$ $K$ $K(S)=L.$

Eksempler

For udvidelsen af feltet af rationelle tal til feltet af reelle tal, er graden af transcendens et kontinuum . Dette følger af det faktum, at mængden af algebraiske tal kan tælles . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
Feltet med variables rationelle funktioner over feltet er en ren transcendental forlængelse. $n$ $K(x_{1}\dots x_{n})$ $K$ $K.$ $n,$ $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}.$
Feltet er en forlængelse af feltet med grad af transcendens 1, fordi det er et algebraisk tal og er transcendentalt . $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),\pi )$ $\mathbb {Q}$ ${\sqrt 2}$ $\pi$
Feltet er også en forlængelse af feltet ; dets grad af transcendens er ikke defineret (enten 1 eller 2), da det ikke vides, om konstanterne og er algebraisk uafhængige. $\mathbb {Q} (\pi ,e)$ $\mathbb {Q} ,$ $\pi$ $e$

Egenskaber

Hvis vi har en todobbelt forlængelse af feltet: så er graden af transcendens lig med den (mængdeteoretiske) sum af transcendensgraderne og Transcendensgrundlaget opnås ved at kombinere transcendensgrundlaget for og $M\supset L\supset K,$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Polynomier og felter. Ordnede grupper. Moskva: Nauka, 1965.
Van der Waerden . Algebra. Definitioner, sætninger, formler . - Sankt Petersborg. : Lan, 2004. - 624 s. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arkiveret4. marts 2016 påWayback Machine
Zarissky O. , Samuel P. Commutative Algebra, bind 1. M: Foreign Literature, 1963.
Leng S. Algebra. M: Mir, 1967.