Graden af transcendens er det maksimale antal algebraisk uafhængige elementer i feltudvidelsen . Graden af transcendens gør det muligt at måle udvidelsens størrelse.
Lad være en udvidelse af et felt til et felt. Overvej alle mulige algebraisk uafhængige delmængder af et felt over et felt . Graden af transcendens af en given udvidelse er defineret som den største kardinalitet blandt sådanne delmængder.
Normalt betegnet eller
Hvis der ikke er nogen algebraisk uafhængige elementer i det udvidede felt , så er deres sæt tomt , og graden af transcendens er lig med nul. Transcendensgrad nul betyder således, at den givne udvidelse er algebraisk . Hvis graden af transcendens ikke er nul, så er der " transcendentale " (ikke algebraiske med hensyn til det oprindelige felt) elementer.
En delmængde af kaldes et transcendensgrundlag for en udvidelse, hvis:
Det kan påvises, at der for enhver given udvidelse af feltet eksisterer transcendensbaser ( valgaksiomet er brugt i beviset ), og alle har den samme kardinalitet, lig med graden af transcendens. Transcendensbaser er et nyttigt værktøj til at bevise forskellige eksistenssætninger om felthomomorfismer .
En feltudvidelse siges at være rent transcendental , hvis der eksisterer en delmængde af algebraisk uafhængige over elementer, således at
Hvis vi har en todobbelt forlængelse af feltet: så er graden af transcendens lig med den (mængdeteoretiske) sum af transcendensgraderne og Transcendensgrundlaget opnås ved at kombinere transcendensgrundlaget for og