Kurve af anden orden

Kurve af anden orden - stedet for punkter i planet, hvis rektangulære koordinater opfylder formens ligning

a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

hvor mindst en af koefficienterne er forskellig fra nul. En andenordenskurve er således et specialtilfælde af en algebraisk kurve . $a_{11},~a_{12},~a_{22}$

Historie

Kurver af anden orden blev først studeret af Menechmus , en elev af Eudoxus [1] [2] . Hans arbejde var som følger: Hvis du tager to skærende linjer og roterer dem rundt om halveringslinjen af vinklen dannet af dem, får du en kegleoverflade . Hvis vi skærer denne overflade med et plan , så opnås forskellige geometriske former i sektionen, nemlig ellipse , cirkel , parabel , hyperbel og flere degenererede figurer (se nedenfor).

Denne videnskabelige viden fandt dog først anvendelse i det 17. århundrede, da det blev kendt, at planeterne bevæger sig langs elliptiske baner, og et kanonprojektil flyver langs en parabolsk. Endnu senere blev det kendt, at hvis du giver kroppen den første rumhastighed , så vil den bevæge sig i en cirkel rundt om Jorden, med en stigning i denne hastighed - langs en ellipse , når den anden rumhastighed nås - langs en parabel , og med en hastighed større end den anden rumhastighed - langs en hyperbole .

Invarianter

Kurvens form afhænger af fire invarianter :

invarianter under rotation og forskydning af koordinatsystemet :
- $I_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23} &a_{33}\end{vmatrix}}$ (også omtalt som ) $\Delta$
- $I_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{ 12}^{2}$ (også omtalt som ) $D$
- $I_{1}={\text{tr}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11} +a_{22}$ (også omtalt som ) $jeg$
invariant med hensyn til rotationen af koordinatsystemet (semi-invariant):
- $K={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23} \\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}$ (også omtalt som ) $B$

Det nogle gange stødte udtryk "kurveinvariant" er unøjagtigt. Hvis vi multiplicerer ligningen med et ikke-nul tal k, får vi en ligning, der definerer den samme kurve. I dette tilfælde vil værdierne af invarianterne ændre sig. etc. $\Delta '=\Delta k^{3},D'=Dk^{2}$

Klassificering af kurver af anden orden med hensyn til værdierne af invarianter

Kurve	Ligningen	Invarianter
Ellipse	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$I_{2}\neq 0$	$I_{2}>0$	$I_{1}I_{3}<0$
Punkt (et par imaginære skærende linjer)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$			$I_{3}=0$
imaginær ellipse	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$			$I_{1}I_{3}>0$
Hyperbel	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$I_{2}<0$	$I_{3}\neq 0$
Et par skærende linjer	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$		$I_{2}<0$	$I_{3}=0$
Parabel	$y^{2}=2px$	$I_{2}=0$		$I_{3}\neq 0$
Par parallelle linjer	$x^{2}-d^{2}=0$			$I_{3}=0$	$K_{1}<0$
Lige	$x^2=0$				$K_{1}=0$
Par imaginære parallelle linjer	$x^{2}+d^{2}=0$				$K_{1}>0$

Ikke-degenererede kurver

En kurve af anden orden kaldes ikke -degenereret , hvis følgende muligheder kan forekomme: $\Delta\ne0.$

En andenordens ikke-degenereret kurve kaldes central if $D\ikke=0$
- ellipse - forudsat og ; $D>0$ $\Delta\cdot I<0$
  - et særligt tilfælde af en ellipse - en cirkel - forudsat at eller $I^2=4D$ $a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;$
- imaginær ellipse (ikke et eneste reelt punkt) - forudsat og $D>0$ $\Delta\cdot I>0;$
- hyperbole - forudsat $D<0;$
En andenordens ikke-degenereret kurve kaldes ikke-central if $D=0$
- parabel - underlagt $D=0.$

Degenererede kurver

En andenordenskurve kaldes degenereret , hvis . Følgende muligheder kan opstå: $\Delta=0$

reelle punkt i skæringspunktet mellem to imaginære linjer (degenereret ellipse ) - forudsat $D>0;$
et par rigtige skærende linjer (degenereret hyperbel ) - forudsat $D<0;$
degenereret parabel - forudsat $D=0:$
- et par rigtige parallelle linjer - under betingelsen $B<0;$
- en reel linje (to sammenlagte parallelle linjer ) - forudsat $B=0;$
- et par imaginære parallelle linjer (ikke et enkelt reelt punkt) - forudsat $B>0.$

Karakteristisk andengradsform og karakteristisk ligning

Mange vigtige egenskaber ved andenordenskurver kan studeres ved hjælp af den karakteristiske andengradsform svarende til kurvens ligning

F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.

Så for eksempel viser en ikke-degenereret kurve sig at være en reel ellipse , en imaginær ellipse , en hyperbel eller en parabel , afhængig af om det er en positiv bestemt, negativ bestemt, ubestemt eller semibestemt kvadratisk form, som etableres vha. rødderne til den karakteristiske ligning: $\venstre(\Delta\ne0\højre)$ $F_0(x,\,y)$

\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0

eller

\lambda^2 - I\lambda + D = 0.

Rødderne til denne ligning er egenværdierne af den reelle symmetriske matrix

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

og er som en konsekvens altid reelle [3] .

Diametre og centrum af en kurve af anden orden

Diameteren af en kurve af anden orden er stedet for midtpunkterne af de parallelle akkorder i denne kurve. Diameteren opnået på denne måde kaldes konjugatet af disse akkorder eller deres retning. Diameteren konjugat til akkorderne, der danner en vinkel med den positive retning af aksen Ox , bestemmes af ligningen: $\theta$

$\left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\right) \cos\theta + \left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\right) \ sin\theta = 0.$

Hvis betingelsen er opfyldt, skærer alle kurvens diametre på et punkt - midten , og selve kurven kaldes central . Ellers ( ) er alle diametre af kurven enten parallelle eller ens. $D\ne0,$ $D=0$

Centerkoordinaterne bestemmes af ligningssystemet: $\venstre(x_0,\;y_0\højre)$

$\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{cases}$

Løsning af dette system med hensyn til og få: $x_{0}$ $y_0,$

$\begin{align} x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22} \end{vmatrix} = \frac{ a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\ y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D} \end{align}\;\;\; (D\ne0).$

Hvis kurven er central, vil en flytning af oprindelsen til dens centrum bringe ligningen til formen

$a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\ søjle x = x - x_0,\;\;\;\bjælke y = y - y_0,$

hvor er koordinaterne i forhold til det nye system. $\bar x,\;\bar y$

Hovedakser og toppunkter for en andenordenskurve

Hovedaksen for en kurve af anden orden er dens diameter, vinkelret på akkorderne konjugeret med den. Denne diameter er kurvens symmetriakse. Hver central kurve har enten to indbyrdes vinkelrette akser, eller alle diametre er hovedakser. I sidstnævnte tilfælde er kurven en cirkel. Ikke-centrale kurver har kun én hovedakse. Hovedaksens skæringspunkter med selve kurven kaldes dens toppunkter . $\venstre(D\ne0\højre)$ $\venstre(D=0\højre)$

Normalernes retningscosinus til hovedakserne opfylder ligningerne

$\begin{cases} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22 } - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{cases},$

hvor er en ikke-nul rod af den karakteristiske ligning. Retningen af hovedakserne og deres konjugerede akkorder kaldes kurvens hovedretninger . Vinklen mellem den positive retning af Ox- aksen og hver af de to hovedretninger er givet ved $\lambda$

$\operatorname{tg}2\phi = \operatorname{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.$

Af alle slags andenordenskurver er det kun cirklen, der har ubestemte hovedretninger.

Ligninger

Generel ligning i matrixform

Kurvens generelle ligning kan skrives på matrixform

{\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0

eller

x^{T}Ax=0

Kanonisk form

Ved at indføre et nyt koordinatsystem kan man bringe ligningerne for andenordenskurver til den kanoniske standardform (se tabellen ovenfor). Parametrene for de kanoniske ligninger er meget enkelt udtrykt i form af invarianterne af kurvens oprindelige ligning og rødderne til den karakteristiske ligning (se afsnittet "Karakteristisk andengradsform og karakteristisk ligning" ovenfor). $\Delta,\;D,\;I$ $\lambda_1 \geqslant \lambda_2$

Kommentar. Når du skifter til den kanoniske form af en ligning, kan det være nødvendigt at gange ligningen med et ikke-nul tal. Derfor kan de numeriske værdier af invarianterne i den kanoniske ligning afvige fra værdierne af invarianterne for den oprindelige ligning. Tegnene på og forbliver uændrede . $\Delta \cdot I\;$ $D$

For den centrale kurve i den kanoniske form er dens centrum i oprindelsen. $\venstre(x_0,\;y_0\højre)$

Gennem excentricitet

Den kanoniske ligning af enhver ikke-degenereret kurve af anden orden kan reduceres til formen ved en passende transformation af oprindelsen

$y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\ \ (p>0).$

I dette tilfælde passerer kurven gennem oprindelsen af det nye koordinatsystem, og Ox - aksen er kurvens symmetriakse. Denne ligning udtrykker det faktum, at en ikke-degenereret kurve af anden orden er stedet for punkter, hvis afstandsforhold ( excentricitet ) fra et givet punkt ( fokus ) og fra en given ret linje ( directrix ) er konstant . Derudover er kurven for , en cirkel, for , en ellipse, for , en parabel og for , en hyperbel. $\varepsilon \geqslant 0$ $\varepsilon = 0$ $\varepsilon < 1$ $\varepsilon=1$ $\varepsilon > 1$

Ligningen for en kurves retningslinje er udtrykt ved ligningen og koordinaterne for fokus . Direkteretningen er vinkelret på symmetriaksen, der går gennem fokus og kurvens toppunkt ( brændpunktsakse ). Afstanden mellem fokus og retningslinjen er $x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)},$ $x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y=0.$ $\frac{p}{\varepsilon}.$

Hvis kurven af anden orden er central (ellipse eller hyperbel), så den rette linje

$x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a$

er symmetriaksen, og derfor har kurven to brændpunkter og to retningslinjer.

Parameteren kaldes fokal-parameteren og er lig med halvdelen af akkordens længde gennem fokus og vinkelret på fokalaksen ( brændeakkord ). $s$

Polære koordinater

Hvis vi tager fokus for en ikke-degenereret kurve af anden orden som polen for det polære koordinatsystem , og dens symmetriakse som den polære akse, så i polære koordinater , vil kurvens ligning se ud $\venstre(\rho,\phi\højre)$ $\rho$ $\phi$

$\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.$

En kurve defineret af dens fem punkter

En andenordenskurve er fuldstændig bestemt af dens fem punkter, hvis ikke fire af dem ligger på den samme rette linje. Ligning for en kurve, der går gennem punkter og $\venstre( x_1, y_1 \right),$ $\venstre( x_2, y_2 \right),$ $\venstre( x_3, y_3 \right),$ $\venstre( x_4, y_4 \højre)$ $\venstre( x_5, y_5\højre):$

$\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

En kurve givet ved fem punkter degenererer, hvis og kun hvis tre af de givne punkter ligger på den samme rette linje.

Tangenter og normaler

Ligningen for tangenten til kurven af anden orden ved dets punkt har formen: $f(x,y)$ $\venstre(x_1, y_1\højre)$

$\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0.$

Ligningen for normalen til en andenordenskurve i et punkt har formen $\venstre(x_1, y_1\højre)$

${\frac {x-x_{{1}}}{a_{{11}}x_{{1}}+a_{{12}}y_{{1}}+a_{{13}}}}={ \frac {y-y_{{1}}}{a_{{12}}x_{{1}}+a_{{22}}y_{{1}}+a_{{23}}}}.$

Polakker og polarer

Ligningen

\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0

ud over tangenten definerer en ret linje, kaldet den polære af et punkt i forhold til en kurve af anden orden, uanset om dette punkt ligger på kurven eller ej. Punktet kaldes denne linjes pol . Polaren af et punkt i en kurve er dets tangent på det punkt. $\venstre(x_1, y_1\højre)$ $\venstre(x_1, y_1\højre)$

Sætning om poler og polarer:

Hvis en ret linje trukket gennem polen skærer polaren i et punkt og en andenordenskurve ved punkter og derefter punkterne og harmonisk adskiller segmentet , dvs. betingelsen $P,$ $Q,$ $R_{1}$ $R_2,$ $P$ $Q$ $R_1R_2,$
$\frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.$
Hvis et punkt ligger på en bestemt linje, så passerer dets polar gennem denne linjes pol. Hvis en linje går gennem et punkt, så ligger dens pol på det punkts polar.
Diameteren af en kurve af anden orden er polær for punktet ved uendeligheden, gennem hvilken akkorderne konjugeret til den passerer, og kurvens centrum er polen på linjen ved uendelig.
Fokus for en kurve er midten af en blyant, der har den egenskab, at stangen på en hvilken som helst af dens linjer hører til linjen af denne blyant vinkelret på den. Instruktøren er fokuspolen.

Især af disse udtalelser følger det, at:

hvis to tangenter til kurven kan trækkes gennem et punkt, så passerer dette punkts polære gennem tangentpunkterne;
tangenterne til kurven ved enderne af diameteren er parallelle med akkorderne konjugeret til den;
skæringspunktet for tangenterne til kurven ved enderne af en hvilken som helst af dens akkorder, der passerer gennem fokus, ligger på retningslinjen;
hver akkord, der passerer gennem fokus, er vinkelret på linjen tegnet gennem dens fokus og skæringspunktet for tangenterne ved enderne af akkorden.

Sætninger relateret til kurver af anden orden

Pascals sætning : skæringspunkterne for modsatte sider af en sekskant indskrevet i en andenordens kurve ligger på samme linje .
Brianchons sætning : Diagonaler, der passerer gennem modsatte spidser af en sekskant, der er afgrænset omkring en andenordenskurve, skærer hinanden i et punkt .

Se også

Litteratur

Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Kapitel II (Kurver af anden orden) // Geometri. - M . : Nauka, 1990. - S. 32-57.
Akopyan A.V., Zaslavsky A.A. Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - M. : MNTsMO, 2007.
Prasolov V.V., Tikhomirov V.M. Geometri. - M. : MNTsMO, 2007.
Korn G., Korn T. Kurver af anden orden (keglesnit) // Håndbog i matematik. - 4. udgave. - M . : Nauka, 1978. - S. 64-69.

Noter

↑ Rosenfeld B. A. Apollonius fra Perga Arkiveret 12. november 2015 på Wayback Machine . — M. : MTsNMO, 2004. — S. 32.
↑ John J. O'Connor og Edmund F. Robertson . Menaechmus (engelsk) er en biografi på MacTutor- arkivet .
↑ Korn G., Korn T. 2.4-5. Karakteristisk andengradsform og karakteristisk ligning // Håndbog i matematik. - 4. udgave. - M . : Nauka, 1978. - S. 64.