Skema (matematik)

Skema er en matematisk abstraktion , der giver dig mulighed for at forbinde algebraisk geometri , kommutativ algebra og differentialgeometri og overføre ideer fra et område til et andet. Primært tillader begrebet et skema en at overføre geometrisk intuition og geometriske konstruktioner såsom tensorfelter , bundter og differentialer til ringteori . Historisk set opstod skemateori med det formål at generalisere og forenkle den klassiske algebraiske geometri i den italienske skole fra det 19. århundrede, der beskæftiger sig med studiet af polynomialligninger .

Det vigtigste apparat i teorien om skemaer er teorien om kategorier , teorien om skiver , kommutativ og homologisk algebra .

I det følgende betyder ordet "ring" altid "en kommutativ associativ ring med enhed".

Historie og motivation for definitionen

Algebraiske geometre fra den italienske skole brugte det ret vage begreb om et " fælles punkt " til at bevise teoremer om algebraiske varianter . Det blev antaget, at udsagn, der er sande for et generelt punkt, er sande for alle punkter i manifolden, bortset fra et lille antal "særlige" punkter. Emmy Noether foreslog i 1920'erne en måde at præcisere dette koncept på: i koordinatringen af en algebraisk varietet (det vil sige i ringen af polynomielle funktioner på sorten), svarer maksimale idealer til punkter i sorten, og ikke-maksimale primidealer svarer til hinanden. til forskellige fælles punkter, et for hver undersort. Noether udviklede dog ikke denne tilgang.

I 1930'erne tog Wolfgang Krull det næste skridt: ved at tage en fuldstændig vilkårlig kommutativ ring, kan man overveje et sæt af dets primære idealer, give Zariski-topologien og udvikle geometrien af disse mere generelle objekter. Andre matematikere så ikke meningen med en så stor generalitet, og Krull opgav denne idé.

I 1950'erne begyndte Jean-Pierre Serre , Claude Chevallet og Masayoshi Nagata , for at komme tættere på at bevise Weyl-formodningerne , at bruge en lignende tilgang, idet de behandlede primære idealer som pointer. Ifølge Pierre Cartier blev ordet skema første gang brugt i 1956 på Chevalleys seminar [1] .

Efter dette gav Alexander Grothendieck en moderne definition af kredsløb, der opsummerede tidligere eksperimentelle forslag. Han definerer stadig spektret af en kommutativ ring som et sæt af primære idealer med Zariski-topologien, men forsyner det også med en bunke af ringe: hver åben delmængde af spektret er forbundet med en kommutativ ring, analogt med ringen af polynomium funktioner på dette sæt. De resulterende objekter er affine skemaer; generelle skemaer opnås ved at lime flere affine skemaer sammen, analogt med hvordan generelle algebraiske varianter opnås ved at lime affine varianter , og almindelige varianter ved at lime åbne delmængder . $\mathbb {R} ^{n}$

Mange har kritiseret denne definition for at være for generel: nogle skemaer i denne forstand har ikke en åbenlys geometrisk fortolkning. Men at tage disse ordninger i betragtning gør egenskaberne for kategorien af alle ordninger mere "rimelige". Derudover fører studiet af modulrum til skemaer, der ikke er "klassiske". Behovet for at overveje skemaer, der ikke i sig selv er algebraiske varianter (men er bygget af sorter), har ført til den gradvise vedtagelse af en ny definition.

Definition

Et af de grundlæggende begreber i skemateori er lokalt ringmærkede rum .

Et ringmærket rum er et topologisk rum , hvorpå der er givet en bunke af ringe, kaldet en struktur bunke . Et mellemrum siges at være lokalt ringmærket , hvis fiberen i skæret på hvert punkt er en lokal ring . Hovedobjekterne for undersøgelse i differentialgeometri og topologi er lokalt ringmærkede rum; i dette tilfælde fungerer den tilsvarende bunke af funktioner som en strukturel bunke . For eksempel svarer topologiske rum til en samling af kontinuerlige funktioner , glatte manifolder til en samling af glatte funktioner , komplekse manifolder til en samling af holomorfe funktioner . Udsagnet om, at bladet på skjoldet er en lokal ring betyder, at man for ethvert element i ringen af kæden kan bestemme dets værdier på hvert punkt, der hører til et eller andet felt , således at elementerne i kæden i strukturen faktisk kan betragtes som funktioner. Bemærk, at i det generelle tilfælde er en sådan "funktion" ikke bestemt af dens punktvise værdier, selvom der ikke er nogen analog til dette fænomen i klassisk geometri.

Et affint skema er et lokalt ringmærket rum, som er isomorft i forhold til spektret af en eller anden ring med dens tilsvarende strukturelle bunke . Disse definitioner giver os mulighed for at betragte enhver åben undergruppe som et skema, mens identiteten for affine skemaer gælder , hvilket betyder ækvivalensen af de geometriske og algebraiske visninger på ringen (nemlig enhver ring kan associeres med et affint skema og affine ordningen kan entydigt gendanne den originale ring). ${\mathrm {Spec.}}\;A$ ${\mathcal {O}}_{{{\mathrm {Spec}}\;A}}({\mathrm {Spec}}\;A)=A$

Et skema er et lokalt ringmærket rum , der kan dækkes af åbne sæt , således at hver , sammen med begrænsningen af strukturen til det, er en affin ordning. Denne definition kan forstås på forskellige måder: man kan overveje, at hvert punkt i skemaet har et naboskab , som er et affint skema, og man kan også tænke på skemaet som et resultat af at lime et sæt affine skemaer sammen, i overensstemmelse med skærets struktur. $(X,{\mathcal O}_{X})$ $U_{i}$ $U_{i}$ ${\mathcal O}_{X}$

Kategori af ordninger

Skemaer danner en kategori, hvis morfismer er morfismer af skemaer som lokalt ringmærkede rum .

Konstruktionen, der forsyner spektret med en strukturel skive, definerer en kontravariant funktion :

{\mathrm {Spec}}\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Aff}}

fra kategorien ringe til kategorien affine ordninger. Der er også en omvendt kontravariant funktion:

{\mathcal {O}}\colon {\mathrm {Aff}}\to {\mathrm {CRing}}

( global sektionsfunktion ),

som tildeler et lokalt ringmærket rum ringen af dets strukturelle hylster. Dette funktionspar definerer kategoriækvivalensen . Den globale sektionsfunktion kan defineres for vilkårlige skemaer, da ethvert skema er et lokalt ringmærket rum. I denne almenhed er spektrumfunktøren rigtigt konjugeret til den globale sektionsfunktion: $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ ${\mathrm {CRing^{{op))))\simeq {\mathrm {Aff}}$

{\mathrm {Hom}}_{{{\rm {Skemes}}}}(X,\;{\mathrm {Spec}}\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\rm {CRing^{{op))))))({\mathcal {O}}(X),\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{({\rm {CRing}}}}( A,\;{\mathcal {O}}(X))

Spektret antages at være rigtigt konjugeret, da sammenklæbning af affine skemaer kan generere skemaer, der ikke er affine. Limningen af kredsløb med et tomt underkredsløb er en kogrænse i kategorien kredsløb. Da det er cocomplete , ville enhver limning af affine skemaer under betingelse af venstre konjugation af spektret være affin, og en ikke-triviel (kan ikke reduceres til ringteori) teori om skemaer kunne simpelthen ikke eksistere. I lyset af det nævnte bemærker vi også, at selvom diagrammet over limning af affine skemaer ved en underordning ligger i den fuldstændige kategori af affine skemaer, skal dens grænse beregnes i en større kategori, kategorien for alle skemaer. Dette er et lærerigt eksempel på, at en kategori- nesting -funktionor ikke er forpligtet til at bevare grænser. ${\mathrm {CRing}}^{{op}}$

Eksistensen af adjoint-funktionerne ovenfor giver os mulighed for at beskrive morfismer fra et vilkårligt skema til et affint skema ved hjælp af ringhomomorfismer . For eksempel, da er det oprindelige objekt for kategorien af kommutative ringe, er det terminale objekt for kategorien af skemaer. $\mathbb {Z}$ ${\mathrm {Spec.}}\;{\mathbb Z}$

Kategorien af skemaer har endelige produkter , men man skal være forsigtig, når man bruger dem, da det topologiske rum svarende til skemaet ikke altid er isomorft med det topologiske rum , men ofte har "flere" punkter. For eksempel, hvis K er et felt med ni elementer , så: $(X,{\mathcal O}_{X})\ gange (Y,{\mathcal O}_{Y})$ $X\ gange Y$

{\mathrm {Spec}}\;K\times {\mathrm {Spec}}\;K\cong {\mathrm {Spec}}\;K\otimes _{({\mathbb Z}}}K\cong { \mathrm {Spec}}\;K\ gange K

—

består af to punkter, mens Spec K består af et punkt (nulidealet).

For en fast ordning S har kategorien af ordninger over S også fiberprodukter, og af den kendsgerning, at den har et terminalobjekt S , følger det, at alle endelige grænser eksisterer i den , dvs. kategorien af ordninger over en given ordning er endeligt komplet .

Anden definition af skemaer

I algebraisk geometri er skemaer normalt defineret på den måde, der er beskrevet ovenfor. Men i nogle af dens anvendelser (for eksempel i teorien om lineære algebraiske grupper ) er en anden tilgang mere nyttig, som er meget mere abstrakt og kræver et godt kendskab til kategoriteori. På dette sprog defineres et skema ikke som et geometrisk objekt, men som en funktion fra kategorien ringe. Vi vil ikke overveje denne tilgang i detaljer her, se bogen [2] for detaljer .

Et affint skema er en repræsentativ funktion : ${\mathrm {Spec.}}\;A$ ${\mathrm {Spec}}\;A\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$

({\mathrm {Spec}}\;A)(R)={\text{Hom}}(A,R)

Blandt alle funktioner skiller en særlig vigtig og let at studere klasse kaldet skemaer ud. Et skema er nemlig en funktor , der er en bunke af sæt med hensyn til Grothendieck-topologien genereret af Zariski-åbne epimorfier af ringe og dækket af Zariski-åbne kortlægninger af affine skemaer i kategorien af funktorer . Ordninger, der ikke er affine, er ikke-repræsenterbare funktioner i kategorien ringe. En skemamorfisme er defineret som en naturlig transformation af de tilsvarende funktioner. Ifølge Yonedas lemma , $x$ $X\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$ $\venstre[{\mathcal {R}}ing;{\mathcal {S}}et\right]$

X(A)=\venstre[(A;\cdot );X\right]=\venstre[{\mathrm {Spec}}A;X\right]

Dette udsagn etablerer en forbindelse med den geometriske teori om skemaer givet ovenfor, da den grundlæggende sætning om morfismer af skemaer siger, at funktoren

Y\colon {\mathrm {Skemes}}\to \left[{\mathrm {Aff}}^{{op}};{\mathrm {Set}}\right]

Y(X)=\venstre(\cdot ;X\højre)

er ret ensartet . Desuden er billedet af indlejringen præcis de funktioner på affine skemaer, der opfylder ovenstående betingelser.

Eksempler

Den affine linje er en glemsom funktion , der tildeler hver ring sit emnesæt. Strukturen af ringen på den definerer strukturen af ringen på sættet for ethvert skema , derfor kaldes det ringen af funktioner på . Den affine linje er et affint skema, det svarer til spektret af polynomialringen . $O$ $O\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$ $[X;O]$ $x$ $[X;O]$ $x$ $\mathbb{Z } [T]$
Grassmannian ( er dimensionen af Grassmannian) er en funktion, der tildeler en ring sættet af direkte rangordninger i modulet . Pilen viser til displayet . Især er et n-dimensionelt projektivt rum , er en projektiv linje . $G_{{r,n}}$ $n$ $R$ $P$ $r$ $R^{{r+n}}$ $\phi :R\til S$ $P\mapsto P\otimes _{R}S$ $\mathbb {P} _{n}=G_{1,n}$ $\mathbb {P} _{1}$

Noter

↑ Et skema i betydningen Chevalley er et specialtilfælde af det moderne skema: dets definition virker kun for irreducerbare manifolds. Se Cartier, Pierre , En gal dags arbejde: fra Grothendieck til Connes og Kontsevich. Udviklingen af begreber om rum og symmetri. — Tyr. amer. Matematik. Soc., 38 (2001), nr. 4, s. 398.
↑ M. Demazure, P. Gabriel. Introduktion til algebraisk geometri og algebraiske grupper. - North-Holland Publishing Company, 1980. - 357 s. - ISBN 0-444-85443-6 .

Litteratur

Mumford D. The Red Book of Varieties and Schemes. — M .: MTSNMO , 2007. — 296 s. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebraisk Geometri = Algebraisk Geometri. — M .: Mir , 1981. — 597 s.
Shafarevich I. R. Grundlæggende om algebraisk geometri. - 2. udg. - M . : Nauka , 1988. - V. 2. Schemes. Komplekse manifolder. — 304 s. - 5900 eksemplarer. - ISBN 5-02-014412-4 .
David Eisenbud; Joe Harris . Skemas geometri. Springer-Verlag, 1998 - ISBN 0-387-98637-5 .