Segre vedhæftet fil

Segre-indlejringen bruges i projektiv geometri til at behandle det direkte produkt af to projektive rum som en projektiv manifold . Opkaldt efter den italienske matematiker Beniamino Segre [1] .

Definition

Segre-kortlægningen er defineret som kortlægningen

\sigma :P^{n}\ gange P^{m}\til P^{{(n+1)(m+1)-1}},\

som sender et ordnet par af punkter til et punkt, hvis homogene koordinater er de parvise produkter af de homogene koordinater af de oprindelige punkter (skrevet i leksikografisk rækkefølge ):

\sigma :([x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}],[y_{0}:y_{1}:\cdots :y_{m}])\mapsto [x_{0 }y_{0}:x_{0}y_{1}:\cdots :x_{i}y_{j}:\cdots :x_{n}y_{m}].\

Billedet af denne kortlægning er en projektiv sort kaldet en Segre sort .

Beskrivelse på sproget for lineær algebra

Ifølge tensorproduktets universelle egenskab er der for vektorrummene U og V (over det samme felt k ) en naturlig afbildning fra deres kartesiske produkt til tensorproduktet :

\varphi :U\gange V\til U\otider V.\

Som regel er denne kortlægning ikke injektiv , fordi for enhver , og ikke-nul $u\i U$ $v\in V$ $c\in k,$

\varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{{-1}}v=\varphi (cu,c^{{-1}}v).\

Kortlægningen inducerer en morfisme af projektiviseringer af de tilsvarende lineære rum: $\varphi$

\sigma :P(U)\ gange P(V)\til P(U\o gange V).\

Denne morfisme er ikke kun en injektiv kortlægning i betydningen mængdeteori , den er også en lukket fordybelse i betydningen algebraisk geometri (dette betyder, at billedet af en kortlægning kan gives som et systems nullersæt af polynomialligninger). Dette forklarer årsagerne til, at denne kortlægning kaldes Segre-indlejringen .

Det er let at beregne dimensionerne af de tilsvarende rum: hvis da og siden projektivisering reducerer dimensionerne med én, svarer dette tilfælde til kortlægningen ${\mathrm {dim}}\;U=n+1,\;{\mathrm {dim}}\;V=m+1,$ ${\mathrm {dim}}\;(U\otimes V)=mn+m+n+1,$ ${\mathbb P}^{n}\ gange {\mathbb P}^{m}\til {\mathbb P}^{{nm+n+m)).$

Egenskaber

Hvis vi betegner de homogene koordinater på billedet af Segre-indlejringen som og skriver dem som en matrix , så vil Segre-manifolden indeholde nøjagtigt "matricer" af rang 1, det vil sige matricer, hvor alle mindreårige af størrelse er lig med nul. Således er Segre-manifolden defineret som sættet af fælles nuller af formens ligninger $z_{{ij}}$ $2 gange 2$

z_{{i,j}}z_{{k,l}}-z_{{i,l}}z_{{k,j}},\

hvor

i\neq k,j\neq l.

Fibrene i en Segre-manifold (det vil sige sæt af formen eller for et fast punkt ) er lineære underrum af billedet. $\sigma (\cdot ,p)$ $\sigma (p,\cdot )$ $s$

Eksempler

Quadric

I tilfældet n = m = 1 er Segre-kortlægningen indlejringen af produktet af den projektive linje og sig selv i et tredimensionelt projektivt rum. I homogene koordinater er billedet af denne kortlægning mængden af løsninger af den algebraiske ligning

\det \left({\begin{matrix}z_{0}&z_{1}\\z_{2}&z_{3}\end{matrix}}\right)=z_{0}z_{3}-z_{ 1}z_{2}=0.

I et komplekst projektivt rum er en Segre-varietet således en almindelig quadric uden singulariteter. I et rigtigt projektivt rum er dette en quadric af signatur i affine koordinater; det svarer til en et-arks hyperboloid og en hyperbolsk paraboloid . Begge disse kvadrikker er eksempler på regerede overflader . $(2.2),$

Veronese sort

Billedet af diagonalen under Segre-kortlægningen er en veronesisk variation af grad to: $\Delta \subset P^{n}\ gange P^{n}$

\nu _{2}:P^{n}\til P^{{n^{2}+2n}}.\

Noter

↑ Segre indlejring // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 1101.

Litteratur

Harris J. Algebraisk geometri. Indledende kursus. — M.: MTsNMO, 2005.
Hassett, Brendan (2007) Introduction to Algebraic Geometry, side 154, Cambridge University Press - ISBN 978-0-521-87094-8 .