Simpson formel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. december 2019; checks kræver 19 redigeringer .

Simpson-formlen (også Newton -Simpson [1] ) henviser til numeriske integrationsteknikker . Det blev opkaldt efter den britiske matematiker Thomas Simpson (1710-1761).

Essensen af metoden ligger i tilnærmelsen af integranden på segmentet ved et interpolationspolynomium af anden grad , det vil sige tilnærmelsen af grafen for funktionen på segmentet med en parabel. Simpsons metode har en fejlrækkefølge på 4 og en algebraisk nøjagtighedsrækkefølge på 3. $[a,b]$ $p_{2}(x)$

Formel

Simpsons formel er integralet af et interpolationspolynomium af anden grad på et segment : $[a,b]$

{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\int \limits _{{a}}^{{b}}{p_{2}(x)}dx}= {\frac {ba}{6}}{\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)},

hvor , og er værdierne af funktionen i de tilsvarende punkter (i enderne af segmentet og i dets midte). $f(a)$ $f((a+b)/2)$ $f(b)$

Nøjagtighed

Forudsat at funktionen på segmentet har en fjerde afledet , er fejlen ifølge formlen fundet af Giuseppe Peano lig med: $f(x)$ $[a,b]$ $E(f)$

E(f)=-{\frac {(ba)^{5}}{2880}}{{f^{{(4)}}(\zeta ))),\ \ \ \zeta \in [a, b].

På grund af det faktum, at værdien ofte er ukendt, bruges følgende ulighed til at estimere fejlen: $\zeta$

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)^{5}}{2880}}\max \limits _{{x\in [a,b]}}{\left|f ^{{(4)}}(x)\right|}.

Repræsentation i form af Runge-Kutta-metoden

Simpsons formel kan repræsenteres som en tabel over Runge-Kutta-metoden som følger:

{\begin{array}{c|ccc}0&&&\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&&\\1&-1&2&\\\hline &{\frac { 1}{6}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{6}}\end{array}}

Sammensat formel (Cotes formel)

For en mere nøjagtig beregning af integralet opdeles intervallet i elementære segmenter af samme længde, og Simpsons formel anvendes på sammensatte segmenter. Hvert sammensat segment består af et tilstødende par elementære segmenter. Værdien af det oprindelige integral er summen af integrationsresultaterne på de sammensatte segmenter: $[a,b]$ $N=2n$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+2\sum _{j= 1}^{N/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{N/2}f(x_{2j-1})+f(x_{N}) \ret],

hvor er trinstørrelsen, og er de skiftende grænser og midtpunkter for de sammensatte segmenter, som Simpson-formlen anvendes på. Et lignende sammensat segment består af to elementære segmenter . Hvis vi således trækker paralleller med den simple Simpson-formel, bliver midten af segmentet, som Simpson-formlen anvendes på, i dette tilfælde .

h={\frac {ba}{N}}

x_{j}=a+jh

[x_{j-1},x_{j+1}]

[x_{j-1},x_{j}],[x_{j},x_{j+1}]

x_{j}

Normalt, for et ensartet gitter, skrives denne formel i anden notation (segmentet er opdelt i segmenter) i formen

[a,b]

N

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+ 2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{{N-1)))+f(x_{N}){\bigg ] }.

Formlen kan også skrives ved kun at bruge de kendte værdier af funktionen, det vil sige værdierne af noderne:

{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}\cdot \sum _{{k=1,2}}^{{N- 1}}\venstre[f(x_{{k-1}})+4f(x_{k})+f(x_{{k+1}})\højre]

hvor betyder, at indekset ændres fra et med et trin lig med to.

k=1,2

Den samlede fejl under integration over et segment med et trin (i dette tilfælde især , ) bestemmes af formlen [2] : $E(f)$ $[a,b]$ $x_{i}-x_{{i-1}}=h$ $x_{0}=a$ $x_{N}=b$

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{2880}}h^{4}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(4)}}(x)|

Hvis det er umuligt at estimere fejlen ved at bruge maksimum af den fjerde afledede (f.eks. eksisterer den ikke i et givet interval eller har en tendens til uendelig), kan et grovere estimat bruges:

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{288}}h^{3}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(3)}}(x)|

Verifikation af Simpsons sammensatte formel i tilfælde af integration af smalle toppe

Simpsons sammensatte formel fejler fejltesten i tilfælde af smalle (lille antal point pr. top) toplignende funktioner, idet den er meget mindre effektiv [3] end trapezreglen. Nemlig for at opnå samme fejl som i tilfældet med trapezreglen, kræver Simpsons sammensatte regel 1,8 gange flere point. Simpsons sammensatte regelintegral kan dekomponeres i en superposition af to integraler: 2/3 af trapezintegralet med trin h og 1/3 af den centrale rektangelregel med trin 2h, og fejlen i Simpsons sammensatte regel svarer til den anden semester. Det er muligt at konstruere en tilfredsstillende modifikation af Simpsons regel ved at tage et gennemsnit af skemaerne i denne regel, opnået med en forskydning af summeringsrammen med et punkt, og følgende regler opnås [3] :

∫ -en b f ( x ) d x ≈ h 24 [ − f ( x − en ) + 12 f ( x 0 ) + 25 f ( x en ) + 24 ∑ jeg = 2 n − 2 f ( x jeg ) + 25 f ( x n − en ) + 12 f ( x n ) − f ( x n + en ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\venstre[-f(x_{-1})+12f(x_{0 })+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\højre]}

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\venstre[-f(x_{-1})+12f(x_{0 })+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\højre]

hvor der bruges værdier, der går ud over grænsen for integrationsintervallet, eller ∫ -en b f ( x ) d x ≈ h 24 [ 9 f ( x 0 ) + 28 f ( x en ) + 23 f ( x 2 ) + 24 ∑ jeg = 3 n − 3 f ( x jeg ) + 23 f ( x n − 2 ) + 28 f ( x n − en ) + 9 f ( x n ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\right]}

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\right]

hvor værdier uden for integrationsintervallet ikke bruges. Anvendelsen af den anden af reglerne på en sektion på tre point genererer Simpsons regel 1/3, til en sektion på 4 point - 3/8.

I disse regler er vægten af punkter inden for integrationsintervallet lig med én, forskelle observeres kun i slutningen af afsnittet. Disse regler kan forbindes med Euler-Maclaurin-formlen , forudsat at den første afledte tages i betragtning og kaldes Euler-Maclaurin-reglerne af første orden [3] . Forskellen mellem reglerne ligger i den måde, den første afledede beregnes på ved kanten af integrationsintervallet. Forskellen mellem de første afledede ved kanterne af integrationssektionen tager højde for bidraget fra den anden afledede til integralet af funktionen. Euler-Maclaurin-formlen kan bruges på samme måde som de første ordensregler ovenfor til at konstruere integrationsregler af tredje, femte og højere orden.

Se også

Noter

↑ Newton-Simpson-formel (utilgængeligt link) . Hentet 14. august 2009. Arkiveret fra originalen 22. maj 2010. (ubestemt)
↑ Numeriske metoder / N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, G. M. Kobelkov. - 4. udg. - M. : BINOM, Laboratory of Knowledge, 2006. - S. 122. - 636 s. — ISBN 5-94774-396-5 .
↑ 1 2 3 Sammenligning af integrationsregler i tilfælde af meget smalle kromatografiske toppe // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. — 2018-08-15. — Bd. 179 . — S. 22–30 . — ISSN 0169-7439 . - doi : 10.1016/j.chemolab.2018.06.001 .

Litteratur

Kostomarov DP , Favorskiy AP Indledende forelæsninger om numeriske metoder . M.: Logos, 2004. 184 s. ISBN 5-94010-286-7
Petrov IB , Lobanov AI Forelæsninger om beregningsmatematik . M.: Intuit, Binom, 2006. 523 s. ISBN 5-94774-542-9

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler