Euler-Maclaurin formel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. april 2016; checks kræver 7 redigeringer .

Euler-Maclaurin summationsformlen er en formel, der gør det muligt at udtrykke diskrete summer af funktionsværdier i form af integraler af en funktion. Især opnås mange asymptotiske udvidelser af summer netop i form af denne formel.

Formlen blev fundet uafhængigt af Leonhard Euler i 1732 og af Colin Maclaurin omkring 1735 (og blev senere generaliseret til Darboux's formel). Euler fik denne formel, da han skulle beregne en langsomt konvergent række, og Maclaurin brugte den til at beregne integraler.

Formel

Euler-Maclaurin formlen har formen:

\sum \limits _{a\leqslant k<b}f(k)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1 }^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{(k-1)}(x)\right|_{a}^{b}+R_{m},

hvor

R_{m}=(-1)^{m+1}\int \limits _{a}^{b}{\frac {B_{m}(\{x\})}{m!} }f^{(m)}(x)dx,

her — naturlige, — Bernoulli-tal , — glat nok funktion til at have afledte , — Bernoulli-polynomium , — brøkdel af x . I det tilfælde, hvor den er lille, får vi en god tilnærmelse til summen. $a\leqslant b,m$ $B_{k}$ $f(x)$ $f'(x),\ldots ,f^{(m)}(x)$ $B_{m}(t)$ $\{x\}$ $R_m$

Bernoulli polynomier er defineret rekursivt som $B_{n}(x),n=0,1,2,\ldots$

B_{0}(x)=1,

B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),\ \int \limits _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0,n\in \ mathbb {N} .

Udtrykket kaldes den periodiske Bernoulli-funktion. $B_{n}(\{x\})=P_{n}(x)$

Resten

Det resterende udtryk R kan let udtrykkes i form af : $P_n(x)$

R=-\int \limits _{a}^{b}f^{(2p)}(x){\frac {P_{2p}(x)}{(2p)!}}dx,

eller den ækvivalente måde opnået ved at integrere med dele, forudsat at den er differentierbar igen, og huske at de ulige Bernoulli-tal er lig med nul: ${\displaystyle f^{(2p)))$

R=\int \limits _{a}^{b}f^{(2p+1)}(x){\frac {P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1 )!}}dx.

hvor . Det kan man vise $n \geqslant 0$

\left|B_{n}(x)\right|\leqslant {\frac {2n!}{(2\pi )^{n))}\zeta (n),

hvor betegner Riemann zeta-funktionen . Ligestilling opnås for selv n og . Ved at bruge denne ulighed estimeres det resterende led som $\zeta$ $x=0$

\left|R\right|\leqslant {\frac {2\zeta (2p)}{(2\pi )^{2p))}\int \limits _{a}^{b}\left| f^{(2p)}(x)\right|dx

Bevis

Operatørovervejelser

Før beviset er det praktisk at overveje højere ordens overvejelser (på grund af Lagrange), hvorfor en sådan formel holder. Lad være en forskelsoperator, vær en summeringsoperator , vær en differentieringsoperator og vær en integrationsoperator. Så er operatoren invers til , og er invers til . Det kan udtrykkes ved hjælp af Taylor-formlen: $\Delta$ $\Sigma$ $D$ $\int$ $\Delta$ $\Sigma$ $D$ $\int$ $\Delta$ $D$

\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)={\frac {f'(x)}{1!}}+{\frac {f''(x)}{ 2!}}+{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots =\left({\frac {D}{1!}}+{\frac {D^{2} }{2!}}+{\frac {D^{3}}{3!}}+\ldots \right)f(x)=(e^{D}-1)f(x),

de der. og derefter , og siden , dengang $\Delta =e^{D}-1$ $\Sigma =\Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1))$ ${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum \limits _{k\geqslant 0}B_{k}{\frac {z^{k}}{k!)} }$

\sum ={\frac {B_{0}}{D}}+{\frac {B_{1}}{1!}}+{\frac {B_{2}}{2!}}D+ {\frac {B_{3}}{3!}}D^{2}+\ldots =\int +\sum \limits _{k\geqslant 1}{\frac {B_{k}}{k!} }D^{k-1}.

Ved at anvende denne operatorrelation på får vi den ønskede formel, men uden resten. $f(x)$

Denne konklusion er rent formel og vedrører ikke spørgsmål om konvergens.

Resten bevis

Det er tilstrækkeligt at bevise formlen for , da vi kan opdele ethvert segment med heltalsgrænser i segmenter af længde 1 og flytte dem til . For , formlen ser ud $a=0,b=1$ $[a;b]$ $[0;1]$ $a=0,b=1$

f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k} }{k!}}f^{(k-1)}(x)\right|_{0}^{1}+(-1)^{(m+1)}\int \limits _{0} ^{1}{\frac {B_{m}(x)}{m!}}f^{(m)}(x)dx.

Beviset vil blive udført ved induktion på m .

Grundlag. kl . Ved at integrere efter dele får vi: $m=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2))$ $u(x)=f(x),v(x)=x-{\frac {1}{2))$

f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx-{\frac {1}{2}}(f(1)-f(0))+\int \limits _{0}^{1}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)f'(x)dx.

Trin. Induktionstrinnet svarer til at bevise ligheden , det vil sige, at du skal bevise det $R_{m-1}=\venstre.{\frac {B_{m}}{m!}}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1} +R_{m}$

\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=m\int \limits _{0 }^{1}B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int \limits _{0}^{1}B_{m}(x)f^{( m)}(x)dx.

Her er integrations-for-parts-formlen igen anvendelig for : , så formlen er korrekt på grund af det faktum, at $u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_{m}(x)$ $B_{m}'(x)=mB_{m-1}(x)$

\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=\left.B_{m}( x)f^{(m-1)}(x)\højre|_{0}^{1},

det vil sige , og det er sandt, da vi for ulige m har . $(-1)^{m}B_{m}=B_{m}(1)=B_{m}(0)$ $B_{m}=0,$

Ansøgning

Summen af potenser

Lad os beregne summen af grader . Lad , derefter og , ved at beregne integralerne, får vi: ${\displaystyle \sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1))$ ${\displaystyle f(x)=x^{m-1))$ $f^{(m)}(x)=0$ $R_{m}=0$

\sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}={\frac {1}{m))\sum \limits _{k=0}^{m}{\ binom {m}{k}}B_{k}(b^{mk}-a^{mk}).

Omvendt kvadratsum

Beregn sum

1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}\cdots =\sum \limits _{n=1} ^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.

Euler beregnede denne sum til 20 decimaler ved hjælp af et lille antal udtryk i Euler-Maclaurin formlen i 1735. Dette har sandsynligvis overbevist ham om, at denne sum er lig med , hvilket han beviste samme år. [1] [2] ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Numerisk integration

Euler-Maclaurin formlen kan også bruges til detaljeret fejlanalyse af numeriske integrationsmetoder. Den forklarer den høje ydeevne af den trapezformede metode på jævne periodiske funktioner og bruges i visse ekstrapolationsmetoder . Clenshaw-Curtis-kvadraturen ændrer i det væsentlige variablerne ved at udtrykke et vilkårligt integral i form af integraler af periodiske funktioner, for hvilke Euler-Maclaurin-tilnærmelsen er særlig nøjagtig (i dette særlige tilfælde tages Euler-Maclaurin-formlen i form af en diskret cosinustransformation ). Denne teknik kaldes transformationen til en periodisk funktion.

Et asymptotisk udtryk for summen

For at beregne det asymptotiske udtryk for en sum eller serie bruges den følgende form for Euler-Maclaurin formlen oftest:

\sum \limits _{n=a}^{b}f(n)\sim \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(a)+f (b)}{2}}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1) }(b)-f^{(2k-1)}(a)\højre),

hvor a , b er heltal. Ofte forbliver formlen gyldig, selv når grænserne for enten forlænges eller begge dele. I mange tilfælde kan integralet på højre side beregnes i lukket form i form af elementære funktioner , selvom summen på venstre side ikke kan udtrykkes sådan. Så kan alle led i den asymptotiske række udtrykkes i form af elementære funktioner. For eksempel, $a\to -\infty$ $b\to +\infty$

\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2))}\sim \underbrace {\int \limits _{0}^ {+\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \limits _{t=1}^{+\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.

Her er venstre side , kaldet førsteordens polygammafunktion , defineret som ; gammafunktionen er , hvis z er naturlig. Det opnåede resultat er en asymptotisk udvidelse af . Dette udtryk bruges som udgangspunkt for at opnå et skøn over den nøjagtige fejl i Stirlings faktorformel . $\psi ^{(1)}(z)$ $\psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$ $\Gamma(z)$ $(z-1)!$ $\psi ^{(1)}(z)$

Approksimation for harmoniske tal

Vi formoder , da og så får vi ${\displaystyle f(x)=x^{-1))$ $f^{(m)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})$

\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum \limits _ {k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+ 2 )n^{2m+2}}},

hvor . Herfra kan man relativt hurtigt beregne Eulers konstant . $0<\theta _{m,n}<1$ $\gamma$

Stirlings tilnærmelse til den faktorielle

Vi formoder , da og så får vi $f(x)=\ln x$ ${\displaystyle f'(x)=x^{-1},f^{(m+1)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1))$

\sum \limits _{k=1}^{n}\ln k=n\ln n-n+\sigma -{\frac {\ln n}{2))+\sum \limits _{k =1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}-\phi _{m,n}{\frac {B_{2m+2 }}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}}},

hvor egentlig . Tager vi eksponentialet fra begge dele, får vi Stirling-formlen . $\sigma =\ln {\sqrt {2\pi }}$

Noter

↑ David J. Pengelley, "Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula" Arkiveret 9. august 2017 på Wayback Machine , i: Robert Bradley og Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002) ) , Euler Society, 2003.
↑ K. P. Kokhas. Summen af inverse kvadrater // Matem. oplysning .. - 2004. - Udgave. 8 . — S. 142–163 .

Litteratur

Graham R., Knut D. , Patashnik O. Concrete Mathematics. — M .: Mir, 1998. — 703 s. — ISBN 5-03-001793-3 .
Fikhtengol'ts GM Kapitel 12. § 6. Omsluttende og asymptotiske serier. Euler-Maclaurin formel // Forløb af differential- og integralregning. - 7. udg., stereotype. - M. : Nauka, 1969. - T. 2. - S. 531-551. - 800 sek.