Newton og Leibniz strides om prioritet

Newton og Leibniz' prioritetsstrid ( eng.  Leibniz–Newton calculus controversy , tysk  Prioritätsstreit ) er en strid om prioriteringen af ​​opdagelsen af ​​differential- og integralregning mellem Isaac Newton (1642–1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (17166). Newton skabte sin version af teorien allerede i 1665-1666, men udgav den først i 1704. Uafhængigt af ham udviklede Leibniz sin egen version af differentialregningen (siden 1675), selvom den oprindelige drivkraft til hans tanke sandsynligvis kom fra rygter om, at Newton allerede havde en sådan kalkulering, samt takket være videnskabelige samtaler i England og korrespondance med Newton . I modsætning til Newton offentliggjorde Leibniz straks sin version og promoverede efterfølgende sammen med Jacob og Johann Bernoulli denne opdagelse bredt i hele Europa. De fleste videnskabsmænd på kontinentet var ikke i tvivl om, at Leibniz havde opdaget analyse. Da Newton besluttede at offentliggøre sine skrifter om dette emne, opstod spørgsmålet om opdagelsens prioritet. Den voldsomme strid sluttede ikke med Leibniz' død og fortsatte gennem indsatsen fra tilhængere af hoveddeltagerne, og endte kun med Newtons død.

Modsatte synspunkter vedrørende Newtons eller Leibniz' prioritet blev udtrykt af matematikhistorikere indtil begyndelsen af ​​det 20. århundrede. Siden midten af ​​forrige århundrede er antallet af kendte kilder steget markant, og moderne forskere er nået frem til, at Newton og Leibniz gjorde deres opdagelser uafhængigt af hinanden. På spørgsmålet om, hvis bidrag til fremkomsten af ​​matematisk analyse var afgørende, tenderer matematikhistorikere enten til det kompromissynspunkt, at dette skete som et resultat af arbejdet fra mange generationer af matematikere, eller de anerkender Newtons lærers afgørende rolle. Isaac Barrow (1630-1677), hvis værker også var kendt af Leibniz.

Videnskabelig prioritet i det 17. århundrede

I det 17. århundrede var spørgsmålet om videnskabelig prioritet , som i dag, af stor betydning for videnskabsmænd. Men på det tidspunkt dukkede videnskabelige tidsskrifter netop op, og mekanismen til at fastsætte prioritet ved at offentliggøre oplysninger om opdagelsen, som senere blev almindeligt accepteret, var endnu ikke blevet dannet. Blandt de metoder, som videnskabsmænd brugte, var anagrammer , forseglede kuverter placeret et sikkert sted, korrespondance med andre videnskabsmænd eller privat kommunikation. Et brev til grundlæggeren af ​​det franske videnskabsakademi, Marin Mersenne , for en fransk videnskabsmand, eller til sekretæren for Royal Society of London, Henry Oldenburg , for engelsk, havde næsten status som en offentliggjort artikel. Opdageren blev ud over berømmelse skånet for behovet for at bevise, at hans resultat ikke blev opnået gennem plagiat . Prioritet kunne også have praktisk betydning, hvis den var forbundet med opfindelsen af ​​nye tekniske anordninger. En almindelig strategi for angrebsprioritet var at erklære en opdagelse eller opfindelse ikke for en større bedrift, men blot en forbedring, der bruger teknikker kendt af alle og derfor ikke kræver væsentlige færdigheder fra dens forfatter [1] .

En række højprofilerede stridigheder om 1600-tallets videnskabelige prioritet - en æra, som den amerikanske videnskabshistoriker D. Meli kaldte "the golden age of disputes om prioritet i stil med mudderkastning " - forbindes med navnet af Leibniz . Den første af disse fandt sted i begyndelsen af ​​1673, under hans første besøg i London , da han præsenterede sin metode til at tilnærme serier ved forskelle i tilstedeværelsen af ​​den berømte matematiker John Pell . Til Pells bemærkning om, at opdagelsen allerede var gjort af François Regnaud og offentliggjort i 1670 i Lyon af Gabriel Mouton , svarede Leibniz dagen efter. I et brev til Oldenburg skrev han, at han efter at have kigget på Moutons bog indrømmer, at Pell havde ret, men til sit forsvar kan han give sit udkast til noter, hvori der er nuancer, som ikke er opdaget af Renault og Mouton. Dermed blev Leibniz' ærlighed bevist, men denne sag blev senere tilbagekaldt til ham [komm. 1] . Ved samme besøg i London befandt Leibniz sig i den modsatte position. Den 1. februar 1673 demonstrerede han på et møde i Royal Society of London sin regnemaskine . Kuratoren for samfundets eksperimenter, Robert Hooke , undersøgte omhyggeligt enheden og fjernede endda bagcoveret. Et par dage senere, i Leibniz' fravær, kritiserede Hooke den tyske videnskabsmands maskine og udtalte, at han kunne have lavet en enklere model. Efter at have lært om dette, afviste Leibniz, der allerede var vendt tilbage til Paris, i et brev til Oldenburg kategorisk Hookes påstande og formulerede principperne for korrekt videnskabelig adfærd: andre opdagelser, for at tilskrive opdageren deres egne forbedringer og tilføjelser for ikke at vække mistanke om intellektuel ondskab, og ønsket om ægte generøsitet bør forfølge dem, i stedet for en falsk tørst efter uærlig vinding. Som en illustration af korrekt opførsel nævner Lebniz eksemplet med Nicolas Fabry de Peiresc og Pierre Gassendi , som lavede astronomiske observationer svarende til dem, der tidligere er foretaget af henholdsvis Galileo Galilei og Jan Hevelius . Efter at have erfaret, at de ikke var de første, der gjorde deres opdagelser, afleverede de franske videnskabsmænd deres data til opdagerne [3] .

Newtons tilgang til det prioriterede problem kan illustreres ved opdagelsen af ​​den omvendte kvadratlov anvendt på dynamikken i kroppe, der bevæger sig under påvirkning af tyngdekraften . Baseret på en analyse af Keplers love og hans egne beregninger foreslog Robert Hooke, at bevægelse under sådanne forhold skulle ske i baner svarende til elliptiske . Ude af stand til strengt at bevise sin påstand, rapporterede han det til Newton. Uden at indgå yderligere korrespondance med Hooke løste Newton dette problem, såvel som dets omvendte, ved at bevise, at den omvendte kvadratlov følger af banernes ellipticitet. Hans opdagelse blev fremsat i det berømte værk " Matematical Principles of Natural Philosophy " uden at angive navnet på Hooke. På opfordring fra astronomen Edmund Halley , til hvem manuskriptet blev indsendt til redigering og udgivelse, blev der inkluderet en sætning i teksten om, at overensstemmelsen mellem Keplers første lov og den omvendte kvadratiske lov blev "uafhængigt hævdet af Wren , Hooke og Halley". I korrespondance med Halley formulerede Newton sin vision om den nuværende situation [4] :

Matematikere, der opdager alt, fastslår alt og beviser alt, må nøjes med rollen som tørre regnemaskiner og arbejdere. Den anden, som ikke kan bevise noget, men kun hævder alt og griber alt i farten, tager al ære fra både sine forgængere og sine følgere ... Og nu må jeg indrømme, at jeg fik alt fra ham, og at jeg selv kun beregnet, bevist og udført alt et lastdyrs arbejde på denne store mands opfindelser.

Ifølge V. I. Arnold valgte Newton, der valgte mellem at nægte at offentliggøre sine opdagelser og konstant kæmpe for prioritet, begge dele [5] .

Baggrund

Opfindelse af differential- og integralregning

På tidspunktet for Newton og Leibniz, havde europæiske matematikere allerede ydet betydelige bidrag til dannelsen af ​​calculus ideer . Udviklingen af ​​den gamle " udmattelsesmetode " til beregning af arealer og rumfang blev udført af hollænderen Simon Stevin (1548-1620), italieneren Luca Valerio (1553-1618), tyskeren Johannes Kepler (1571-1630) . Sidstnævntes ideer påvirkede tilsyneladende - direkte eller gennem Galileo Galilei - " metoden af ​​udelelige "  udviklet af Bonaventura Cavalieri (1598-1647) [6] . Galileo arbejdede også på udviklingen af ​​spørgsmålet om begrebet uendeligt store og uendeligt små mængder [7] . I 1639 opnåede Cavalieri det vigtigste resultat ved at integrere magtfunktionen . Mellem 1636 og 1655, næsten uafhængigt af hinanden, blev denne bedrift gentaget i Frankrig af Gilles Roberval (1602-1675), Blaise Pascal (1623-1662), Pierre Fermat (1601-1665) og i England John Vallis (1616-1703) ) [8] . I 1626 kom Gregoire de Saint-Vincent , der udviklede "metoden til udmattelse", til ideen om at præsentere en kurve som en grænse indskrevet i en polygon eller beskrevet omkring en polygon, da han placerede sin præstation som en løsning til problemet med at kvadrere en cirkel , blev det ignoreret af de fleste af hans samtidige matematikere; efterfølgende blev hans ry genoprettet af Newton og Leibniz [9] . I sit værk “Treatise on the sinus of a quarter of a circle” (“Traité des sinus du quart de cercle”, 1659) var Pascal tæt på at etablere en sammenhæng mellem opgaven med at konstruere en tangent til en kurve og at beregne arealet under det. I dette værk er der givet et billede af en figur, der senere blev kendt som "differentialtrekanten" og illustrerer overgangen til grænsen, når inkrementerne af argumentet og funktionen har en tendens til nul. Pascal foretog dog, ligesom Willebrord Snell (1580-1626) i 1624, ikke denne overgang. I et værk udgivet i 1638 foreslog Pierre Fermat en metode til at bestemme maksima og minima, som i moderne terminologi går ud på at bestemme nulpunkterne i den første afledte. Ved at løse problemet med at finde tyngdepunktet for et parabolsk segment, kom Fermat til konklusionen om sammenhængen mellem problemerne med at finde en tangent og beregning af arealet [10] . På trods af at Fermat kun anvendte sine metoder til rationelle funktioner , kom han tættest på at opfinde calculus - med undtagelse af Isaac Barrow (1630-1677) [11] . Af stor betydning var udgivelsen i 1668 af bogen "Logarithmotechnia" af Nicholas Mercator (1620-1687), hvor potensrækkeudvidelsen af ​​den naturlige logaritme (" Mercator-serien ") blev givet, og dens anvendelse blev angivet til beregning af arealet under hyperbelen [12] .

Barrow er Newtons lærer [komm. 2]  - i sine matematiske konstruktioner graviterede han stærkt mod deres geometriske fortolkning. Hans metode til at beregne tangenter var baseret på resultaterne af kontinentale matematikere, såvel som englænderne James Gregory (1638-1675) og John Wallis. Han kendte sandsynligvis også Fermats arbejde med analyse, udgivet posthumt i 1679 [14] . Barrows hovedværk inden for analyse, Lectiones Geometricae, blev udgivet i 1670. I 1673 erhvervede Leibniz den, men læste ifølge ham ikke [15] .

Matematikhistorikere vurderer Newtons og Leibniz' rolle på forskellige måder i sammenhæng med deres forgængeres præstationer. Ifølge Edmund Hoppe (1928) kan der skelnes mellem to uafhængige linjer i den matematiske analyses historie - kinematisk , som fører til Newton gennem Platon , Archimedes , Galileo, Cavalieri og Barrow, og atomistisk , til Leibniz gennem Demokrit , Kepler , Fermat, Pascal og Huygens (1629-1695). Carl Boyers (1949) synspunkt er, at disse ideer lå i luften i midten af ​​1600-tallet og ventede på, at nogen skulle systematisere og generalisere dem [16] . Ifølge Margaret E. Baron (1969) skulle Barrow anerkendes som opdageren, og Newton og Leibniz gav kun hans ideer en algebraisk form [17] .

Newton

Der er bevaret et ret stort antal dokumenter vedrørende historien om Newtons opdagelse af differentialregning, som han kaldte fluxmetoden ( English  Method of Fluxions ) - hvad der senere blev grundlaget for moderne matematisk analyse [komm. 3] . I Newtons notesbog for 1699 skriver han, at han efter at have analyseret sine gamle udgiftsoptegnelser huskede, at han kort før jul 1664 erhvervede sig datidens vigtige matematiske værker - Frans van Schotens "Miscellanies" og Descartes' " Geometry " . I vinteren 1664/5 studerede han disse bøger. I denne periode opdagede Newton i Wallis ' skrifter metoden med uendelige serier. Om sommeren, da han flygtede fra pesten i sit hjemlige Woolsthorpe-ejendom , beregnede han med deres hjælp arealet af hyperbelen . Et par måneder senere var Newton i stand til at beregne derivater , og i sommeren 1665 fandt han ud af, at integration er det omvendte af differentiering ; Omkring dette tidspunkt introducerede Newton begrebet flux, der betegner ændringshastigheden i værdien af ​​en funktion. Selvbiografiske noter om dette emne blev skrevet i korrespondance med en fransk huguenot -flygtning i London , Pierre Demaizeau , som i 1718 begyndte at arbejde på en samling af breve fra videnskabsmænd "Samling af forskellige stykker om filosofi, naturreligion, historie, matematik osv. af herrerne Leibniz, Clarke, Newton og andre berømte forfattere". Talrige andre dokumenter bekræfter denne kronologi [20] .

I slutningen af ​​oktober begyndte Newton og et par uger senere afsluttede et kort essay "Hvordan man tegner tangenter til mekaniske linjer", hvori han udviklede ideen om at repræsentere en funktion i kartesiske koordinater . Kort efter, i et dokument dateret 13. november 1665, formulerer han en regel for beregning af den afledte funktion af en funktion af mange variable, en præstation gentaget af Leibniz 19 år senere. Det næste kendte manuskript relateret til dette problem stammer fra maj 1666, hvor Newton forbinder begrebet flux med bevægelseshastigheden. I oktober samme år blev alle tidligere værker kombineret til en afhandling [21] . Skrevet i 1669, artiklen De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ("Om analyse af ligninger af uendelige serier"), udgivet i 1711 [22] , valgte Newton ikke at offentliggøre. Han videresendte denne artikel til sin lærer og ven Isaac Barrow , som viste den i juli 1669 til matematikeren John Collins (1625-1683), der med Richard Westfalls ord , fungerede som en "matematisk impresario". "støtte det matematiske samfund i England og Europa [23] . Sidstnævnte lavede en kopi af den og sendte originalen til Newton. Denne tilgang var i tråd med datidens skikke - af forskellige årsager havde videnskabsmænd ikke travlt med at udgive deres værker. I sådanne tilfælde blev disse værker kun meddelt til de nærmeste venner eller blev deponeret i lærde samfund; nogle gange var endda essensen af ​​arbejdet, hovedformlen, skjult i form af et anagram [24] . Denne artikel, der er vigtig for udviklingen af ​​differentieringsmetoder, indeholdt imidlertid ikke indikationer af fluksionsmetoden og var faktisk ubrugelig i den videre debat om prioritering [25] . En afhandling dedikeret specifikt til denne metode, Treatise on the Methods of Series and Fluxion (1671), blev udgivet efter Newtons død i 1736. Den blev ikke afsluttet, men dens eksistens er registreret i Newtons korrespondance [22] . Den 10. december 1672 skrev Newton et brev til Collins, som supplerede hans værk "De analysi", hvori Newton indrømmede, at de formler, han udledte, svarede til dem, der tidligere blev opnået af Rene de Sluz (1622-1685) og Johann Hudde ( 1628-1704), og i Udviklingen af ​​sin metode fulgte han anvisningerne fra Fermat , Gregory og Barrow [26] [27] [28] :

Jeg fik et hint om [fluxion]-metoden fra Fermats metode til at reducere tangenter; ved at anvende det direkte på abstrakte ligninger og omvendt, gjorde jeg det generelt. Mr. Gregory og Dr. Barrow brugte og forbedrede denne metode til at tegne tangenter. En af mine artikler tjente som en mulighed for Dr. Barrow til at vise mig sin metode til tangenter, før han inkluderede den i forelæsning 10 om geometri. For jeg er den ven, han nævner der.

Selvom Newton således kunne bevise sin prioritet ved hjælp af overlevende dokumenter, var hans værker ikke kendt af en bred kreds af videnskabsmænd i begyndelsen af ​​det 18. århundrede. Grunden til, at han ikke deponerede sine fund i Royal Society eller University of Cambridges arkiver, var den samme grund til, at han offentliggjorde sin farveteori med en forsinkelse. I 1676 skrev Newton til Leibniz gennem Henry Oldenburg [29] :

... efter at jeg sendte et brev til dig angående det katadioptriske teleskop, hvori jeg kort forklarede min idé om lysets natur, fik en uventet omstændighed mig til hastigt at skrive til dig om trykningen af ​​dette brev. Og de talrige anmodninger, der på samme tid opstod under påvirkning af forskellige breve (opstilling af indsigelser og andet), forhindrede mig fuldstændig i at opfylde min hensigt og førte til, at jeg begyndte at bebrejde mig selv med uforsigtighed, og at jeg i jagten på en skygge Jeg ville først miste sådan en væsentlig ting som din ro i sindet.

Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] …da jeg havde sendt dig et brev i anledning af reflekterende teleskop, hvori jeg kort forklarede mine ideer om lysets natur, fik noget uforudset mig til at vurdere det nødvendigt at skrive i hast til dig om trykningen af ​​det brev. Og så blev der med det samme hyppige afbrydelser skabt af breve fra forskellige mennesker fyldt med indvendinger og andre ting, som ganske ændrede mit sind og fik mig til at kalde mig selv uforsigtig, fordi jeg for at fange en skygge havde ofret min fred, en virkelig væsentlig ting.

Ifølge den engelske videnskabshistoriker Alfred Hall var Newton ikke helt oprigtig i disse forklaringer og var snarere simpelthen ikke klar til at præsentere sine ideer for det generelle videnskabelige samfund og udvikle dem yderligere i et konkurrencepræget miljø [30] . Der er også en opfattelse af, at Newton på det tidspunkt ikke kunne løse de logiske modsætninger forbundet med begrebet en uendelig størrelse [31] . Den sovjetiske biograf af Newton, S. I. Vavilov , mener, at matematik spillede en understøttende rolle for den engelske videnskabsmand, og præsentationen af ​​"principperne" i en ny stil ville ikke tilføje noget til den videnskabelige værdi af hans hovedværk, men ville gøre det uforståeligt for de fleste videnskabsmænd og udsætter det for yderligere angreb [32] .

I 1684, da Leibniz' første værk om differentialregning blev offentliggjort, havde Newton stadig intet seriøst matematisk værk forberedt til udgivelse, og hans næste skridt i denne retning blev forbundet med David Gregory (1659-1708), som på grundlag af upublicerede værker af hans onkel James Gregory (1638-1675) gjorde store fremskridt i teknikken til at summere serier. Gregory sendte sin artikel "A Geometrical Essay on the Measuring of Figure" til Newton i juni 1684, fordi han havde hørt, at han havde gjort nogle opdagelser inden for dette område af matematik. Faktisk gengav Gregory delvist konklusionerne fra Newtons værk De analysi fra 1669. Uden at ville beskæftige sig med dette spørgsmål, begrænsede Newton sig til udsagnet om, at alt rapporteret af Gregory var kendt for ham for mindst 10 år siden, om hvilket korrespondancen med Leibniz er blevet bevaret. I nogen tid tog Newton matematik op, men artiklen "Specimens of a Universal System of Mathematics" skrevet i denne periode blev aldrig offentliggjort. Newton brugte de næste to år på at arbejde på sit hovedværk, Principia Mathematica of Natural Philosophy [33] . To år senere udledte Gregory hovedsætningen om beregningen af ​​arealer af figurer afgrænset af kurver efter at have modtaget fra den skotske matematiker John Craig (en elev og ven af ​​Newton) den samme information, som blev rapporteret til Leibniz i det andet brev af 1676 (se nedenfor). På trods af Craigs advarsel om, at dette resultat var identisk med Newtons, offentliggjorde Gregory sin teorem uden at nævne Newtons navn. Newton modtog ikke umiddelbart information om dette papir, men i 1691 skrev Gregory et brev til Newton og bad om hjælp til at udgive "sin" sætning. Newton begyndte at skrive et formelt svar til Gregory og begyndte snart at arbejde på en separat afhandling om kvadraturer. I 1692 var et værk kaldet "De quadratura curvarum" næsten klar, og Nicola Fatio de Duillier så det , men som i andre tilfælde kom det ikke til udgivelse. Delvist blev "De quadratura curvarum" udgivet som en del af " Optik " i 1704, da ideen om integration allerede havde mistet sin nyhed [34] .

Leibniz

I begyndelsen af ​​1670'erne var Leibniz ny inden for moderne udvikling inden for matematik, og selvom han var begejstret for denne videnskab, var hans hovedinteresser forbundet med filosofi , logik og retspraksis [35] . I begyndelsen af ​​1673 besøgte Leibniz London første gang som en del af Mainz ambassade [36] . England på det tidspunkt tiltrak ham især med berømmelsen af ​​sine bemærkelsesværdige matematikere og kemikere, hvis samlingssted ikke var længe før det etablerede Royal Society of London . Mens Leibniz stadig var i Mainz , indgik han korrespondance med sin landsmand Henry Oldenburg , som havde posten som sekretær for selskabet. Leibniz lærte ham nu at kende personligt og gennem ham flere andre medlemmer af samfundet, herunder kemikeren Robert Boyle . Leibniz besøgte dog ikke Oxford , hvor John Wallis boede , eller Cambridge , hvor Isaac Newton og Isaac Barrow boede . Der var heller ikke noget møde med John Collins, som var syg på det tidspunkt [37] . Af matematikerne mødtes Leibniz tilsyneladende kun med John Pell [38] . Den 29. januar deltog han i et møde i Selskabet, hvor de Sluzes brev om tangenter blev læst . Ved samme besøg blev Leibniz, som demonstrerede sin mekaniske lommeregner, valgt til Fellow of the Royal Society [40] . Blandt de matematiske bøger, som Leibniz erhvervede i London, var Barrows forelæsninger, og der er forskellige meninger om den indflydelse, de havde på ham. Ifølge Leibniz selv læste han ikke dette værk overfyldt med diagrammer og svært at forstå [15] . Ifølge A. Hall skummede han gennem bogen, men ved at analysere Leibniz' geometriske konstruktioner kom den tyske matematikhistoriker Karl Gerhardt til den konklusion, at han lånte hovedideen fra Barrow [41] [komm. 4] .

Sandsynligvis, allerede før turen til London, mødte Leibniz personligt nogle matematikere, som han tidligere kun havde korresponderet med. Blandt dem var franskmændene Antoine Arnault og Pierre de Carcavy og hollænderen Christian Huygens . Sidstnævnte præsenterede ham for sit nyligt offentliggjorte arbejde om penduler Horologium Oscillatorium . Erkendelsen af, at hans matematiske uddannelse ikke var nok til at forstå Huygens arbejde, fik Leibniz til at studere matematik i dybden [43] . Ret hurtigt modtog han betydelige resultater på konstruktionen af ​​uendelige serier til beregning af arealet af en cirkel, på grundlag af hvilken teorien om differential- og integralregning blev skabt [44] . Fremskridtet af dette arbejde kendes fra korrespondancen mellem Leibniz og Oldenburg, udgivet i 1849, der både fungerede som Leibniz' direkte korrespondent og som mellemmand i korrespondancen med Collins. Umiddelbart efter sin tilbagevenden til Paris mødtes Leibniz med den franske matematiker Jacques Ozanam (1640-1718), med hvem han diskuterede løsningen af ​​ligninger. I den forbindelse havde han nye spørgsmål, som Leibniz stillede Oldenburg. Den 16. marts 1673 fik han svar, og i et brev modtaget den 16. april 1673 berettede Collins gennem Oldenburg detaljeret om engelske matematikeres bedrifter [45] . I dette brev optrådte Newtons navn tre gange, herunder som opfinderen af ​​en generel metode til at beregne arealer af enhver figur og bestemme deres tyngdepunkter ved hjælp af uendelige rækker. Måske fra dette brev lærte Leibniz først navnet på Newton, selvom det er muligt, at de tidligere havde kommunikeret om teleskopet opfundet af Newton og andre spørgsmål relateret til optik. Senere udviklede Leibniz' matematiske færdigheder hurtigt. Ved at fortsætte sine matematiske studier under Huygens vejledning opnåede han nye interessante resultater i summeringen af ​​uendelige rækker, især i slutningen af ​​1673 udtrykket [komm. 5] . På trods af at James Gregory angiveligt tidligere har bevist umuligheden af ​​at løse problemet med at kvadrere cirklen algebraisk, betragtede Leibniz og Huygens denne nedbrydning som en indikation på eksistensen af ​​en sådan løsning; dette blev også nævnt i breve til Oldenburg [47] . I den løbende korrespondance søgte Leibniz i tidens ånd at finde ud af mere, end han selv rapporterede [40] . Ofte lagde Leibniz vægt på ordene "Jeg informerer dig", hvis han ønskede, at Oldenburg skulle hemmeligholde denne eller hin nyhed om de resultater, han havde opnået. Det kan ses af korrespondancen, at Leibniz' forskning foregik fuldstændig uafhængigt af de resultater, som Newton opnåede, og at Leibniz gik til det fælles mål på en helt anden måde. Af korrespondancen kan det sluttes, at Leibniz ikke kendte Collins under sin første rejse til London og ikke kunne modtage Newtons manuskript fra ham, desuden at Leibniz slet intet vidste om indholdet af dette værk [48] .

Et brev med en erklæring om resultatet på sammenlægningen af ​​den " cirkulære serie " kom til Oldenburg i oktober 1674, og med udgangspunkt i ham fik Leibniz' korrespondance med engelske matematikere en mere seriøs karakter [49] . Den 8. december skrev Oldenburg et forsigtigt svar, hvori han antydede Leibniz om ikke at have store forhåbninger til hans prioritet på dette område. På dette tidspunkt var de begge i en vanskelig situation - Oldenburg vidste ikke præcis, hvad Gregory og Newton havde opnået i denne sag, og Leibniz kunne være i en tvetydig position, hvis han offentliggjorde sit resultat. Samtidig har der for nylig været en prioritetskonflikt mellem Wallis og Huygens, som følge af, at sidstnævnte blev udelukket fra Royal Society. Efterfølgende var prioriteringen af ​​at åbne den "cirkulære serie" et af punkterne i Newtons anklage mod Leibniz, eftersom Newton hævdede, at han havde gjort sin opdagelse allerede i 1669, og Collins blev informeret om det lidt senere. Gennem Collins blev denne serie gjort kendt for Sluys i Frankrig og Gregory. Selvom Leibniz opdagede sin serie uafhængigt, var han i stand til at lære om den fra flere kilder. I 1675 trådte Leibniz' korrespondance med Oldenburg således ind på scenen, da den holdt op med at bringe ny information til sine deltagere. Da Leibniz i et af sine breve spurgte, om nogen af ​​de engelske matematikere kunne beregne længden af ​​en bue af en ellipse eller en hyperbel , ventede Oldenburg tre måneder, før han svarede, at de kunne, men kun cirka , dog med en given nøjagtighed - men mere detaljerede oplysninger kan gives af amatørmatematikeren (1651-1708),Chirnhaus . Briterne antog formentlig, at Leibniz kunne få et detaljeret billede af tingenes tilstand i engelsk matematik fra Tschirnhaus. Men at dømme efter Leibniz' noter var hans kontakt med Tschirnhaus i Paris meget kort og vedrørte først matematikken i november 1675 [50] . I slutningen af ​​1675 forberedte Leibniz sig på at rejse til Hannover og var ved at udgive sine matematiske værker. På baggrund af krigen mellem Frankrig og Holland blev hans forhold til Huygens mere kompliceret. Samtidig er der et bemærkelsesværdigt brev, hvori Leibniz til Oldenburg skitserer sit begreb om metavidenskab , designet til at besvare alle spørgsmål, hvori hans differentielle metode vil træde i stedet [51] .

I maj 1675 ankom en ung tysk videnskabsmand, Ehrenfried von Tschirnhaus, til England, som mødte mange videnskabelige berømtheder der, og tog omkring september til Paris, hvor han kom meget tæt på Leibniz og studerede matematik med ham [52] . I 1725, altså efter Tschirnhaus død, blev den første anklage fremsat om, at Leibniz havde modtaget fra ham Newtons berømte brev til Collins, skrevet i 1672 [53] . I nogen tid blev Leibniz' korrespondance med engelske matematikere afbrudt. I oktober 1675 døde James Gregory, Collins var i en vanskelig stilling og var bange for at miste sit job (hvilket skete i sommeren det følgende år), Oldenburg var involveret i en strid mellem Newton og kontinentale kritikere af hans teori om lys [ 54] , og Newton selv viede det meste af sin tid til sine alkymistiske bestræbelser . Som et resultat af den kommercielle fiasko i Barrows bog, nægtede boghandlere at arbejde med matematikere uden økonomisk input fra dem, hvilket gjorde det problematisk for nye bøger at komme ind i branchen. Leibniz' korrespondance med Oldenburg og Collins blev genoptaget i maj 1676 på initiativ af briterne. Det nye brev indeholdt serieudvidelser for sinus og cosinus , som blev sendt til ham et år tidligere, hvilket Leibniz tilsyneladende havde glemt. I det mindste bad han om bevis for deres konklusion, som blev sendt til ham. I efteråret 1676 accepterede Leibniz hertugen af ​​Hannover , Ernst August, tilbud om at overtage sin bibliotekars plads og forlod Paris, hvor han havde boet siden 1672. Han rejste til Hannover via England og Holland [55] og tilbragte en uge i London i oktober 1676 [56] . På dette tidspunkt var Leibniz' engelske korrespondenter meget begejstrede for ham. Collins skrev om "den dejlige hr. Leibniz "; Oldenburg talte også om ham med entusiasme [57] .

Newton og Leibniz

Efter Collins og Oldenburg lærte af Leibniz' fornyede interesse for matematik i maj 1676, begyndte de at indsamle dokumenter og breve i deres besiddelse til videresendelse. Pakken indeholdt rapporter, der var tilgængelige for Collins om Gregory og andre engelske matematikeres præstationer i løbet af de sidste par årtier - den såkaldte "Historiola" på 50 sider. I mellemtiden henledte Oldenburg Newtons opmærksomhed på Leibniz' succeser, hvilket resulterede i, at Newton skrev et brev gennem ham til Leibniz, hvori han blandt andet annoncerede sit binomiale . Oldenburg sendte brevet den 26. juli og nævnte samtidig for første gang Newtons brev til Collins af 10. december 1672. Newtons første brev til Leibniz - 11 sider på latin - blev udgivet i tredje bind af John Wallis ' Mathematical Works med den forkerte dato for afsendelse - 6. juli. Efterfølgende gentog Newton denne fejl gentagne gange og bebrejdede Leibniz at han havde studeret brevet i tre uger, før han gav et svar. Newton troede også fejlagtigt, at Historiolaen med dette brev blev videresendt til Leibniz (så blev den sendt i en forkortet og unøjagtig oversættelse til latin) [58] , og således arbejdede Leibniz med dette omfangsrige dokument hele sommeren, inden han tog til London. Faktisk modtog Leibniz brevet den 16. august og sendte dagen efter et detaljeret svar til Newton, hvori han fortalte ham om den differentialregning, han havde opfundet, uden dog at give detaljer [59] . Med hensyn til hvor ærlig Newton var i dette brev, er der modsatrettede synspunkter: Leibniz' biograf Josef Hofmann mener, at Newton gjorde alt for ikke at fortælle Leibniz det vigtigste om hans metode til fluksioner, mens Alfred Hall tilskriver manglen på nogle detaljer til det faktum, at Newton på dette tidspunkt simpelthen ikke havde ordentligt forberedt papirer om dette emne [60] .

I oktober 1676 rejste Leibniz for anden gang til London, hvor han tilbragte omkring en uge. Så nåede han at se essayet "De Analisi", som Newton skrev i 1669, og lave uddrag af det, som blev fundet i Leibniz' udaterede papirer. Men i dette uddrag bruger Leibniz overalt sine egne tegn på integral- og differentialregning, hvilket kan tyde på, at han stiftede bekendtskab med Newtons arbejde, efter at han lavede sin opfindelse. Han har muligvis modtaget den fra Oldenburg under sin anden rejse til London. På denne korte tur mødte Leibniz endelig Collins og modtog den fulde version af Historiola . Newtons andet brev til Leibniz, en kort afhandling på 19 sider, blev afsluttet den 24. oktober, men Leibniz havde ikke tid til at modtage det. Den lå i Oldenburg indtil foråret næste år, indtil han fandt lejlighed til at sende den til Hannover . I dette brev informerer Newton Leibniz om sin opfindelse uden at gå i detaljer. Hovedformlen rapporteres som et anagram . Som svar på dette brev udlægger Leibniz gennem Oldenburg grundlaget for sin differentialregning for ham, uden dog at informere om hans bekendtskab med arbejdet fra 1669 og algoritmen til beregning af integraler [62] [63] . I november 1676 fandt en korrespondance sted mellem Newton og Collins. Collins forsøgte uden held at overbevise Newton om at udgive sine værker om matematisk analyse, som svar på hvilket Newton forsikrede om overlegenheden af ​​hans metode i forhold til den opfundet af Leibniz. Et par måneder senere informerede Collins Newton om Leibniz' besøg, og at Gregorys papirer blev diskuteret. Det faktum, at Leibniz så Newtons papirer, holdt Collins tavs og døde i november 1683 uden at informere [komm. 6] . Newton svarede ikke på Leibniz' brev, og i august 1678 døde Oldenburg, og i det næste årti holdt videnskabsmænd op med at kommunikere [65] .

Ligesom Newton var Leibniz langsom til at sprede ordet om sine opdagelser. Indtil udgivelsen af ​​Leibniz' artikel " En ny metode til maxima og minima, samt tangenter og en simpel metode til at beregne dem " i tidsskriftet Acta eruditorum i oktober 1684, vidste næsten ingen om hans præstationer. Denne korte og lidet forståede artikel, som skitserede de grundlæggende regler for differentiering [66] , blev efterfulgt af en række andre om samme emne [67] . Da dette tidsskrift ikke var blandt de vigtigste matematiske publikationer af sin tid, og da ingen kunne have gættet Newtons interesse for denne Leibniz-publikation, tog dets rejse fra Leipzig til Cambridge omkring et år. Newton forstod straks vigtigheden af ​​artiklen og sammenlignede den med korrespondancen fra 1676, det var indlysende for ham, at "metoden til fluksioner" og "differentialregning" afspejler den samme matematiske idé [68] . I Principia Mathematica , udgivet i 1687, anvendte Newton fluksionsmetoden kun én gang, da han beviste Lemma II i den anden bog ("Øjeblikket for et produkt er lig med summen af ​​de enkelte producenters momenter ganget med eksponenterne for deres potenser og koefficienter” [69] ), svarende til regeldifferentieringen af ​​værker . I det følgende bliver "øjeblikke" praktisk talt ikke brugt, og en mulig forklaring på introduktionen af ​​dette lemma er tilføjelsen af ​​en selvbiografisk bemærkning [70] :

I breve, som jeg udvekslede for omkring ti år siden med den meget dygtige matematiker G. W. Leibniz, informerede jeg ham om, at jeg havde en metode til at bestemme maksima og minima, tegne tangenter og løse lignende spørgsmål, der er lige anvendelig både for termer af rationelle og og irrationelle, og Jeg skjulte det ved at omarrangere bogstaverne i følgende sætning: "data aequatione quotcumque fluentes quantitates involveente fluxiones invenire et vice verca" (når der gives en ligning, der indeholder et vilkårligt antal variable størrelser, find fluxer og omvendt). Den mest berømte mand svarede mig, at han også angreb en sådan metode, og meddelte mig sin metode, som viste sig næppe at være anderledes end min, og da kun i formler og formler.

I 1687 hævdede Newton således ikke at forklare Leibniz' resultater med oplysninger modtaget fra ham. Ved "omvendt" blev her forstået integrationen omvendt til differentiering , det vil sige metoden til at beregne arealer af figurer afgrænset af kurver - Newton, ifølge ovenstående citat, informerede heller ikke Leibniz. Newton tog ikke flere skridt for at beskytte sin prioritet. Ifølge bemærkningen fra den engelske videnskabshistoriker Tom Whiteside havde Newton på dette tidspunkt ikke nok beslutsomhed, efter at have vist, at han ville have undgået store bekymringer et kvart århundrede senere [71] .

Udvidelse af differentialregningen

Udgivet i 1684 fik artiklen "En ny metode for maksimum og minima" ikke anerkendelse, og selv apologeterne for den nye metode, brødrene Bernoulli , kaldte den "mystisk" [66] . I sin næste artikel om integration i 1686 oplistede Leibniz (i modsætning til den forrige) sine forgængere, herunder Newton, men talte meget vagt: "Newton nærmede sig opdagelsen af ​​kvadraturer ved hjælp af uendelige rækker ikke kun fuldstændigt uafhængigt, men han supplerede metoden generelt. i en sådan grad, at udgivelsen af ​​hans værker, som endnu ikke er gennemført, utvivlsomt ville være årsag til nye store succeser inden for videnskaben” [72] . Samme sted fortæller Leibniz, at nogle af hans ideer allerede er blevet brugt, dog med fejl. Ifølge A. R. Hall taler vi om den skotske matematiker John Craig , som modtog et tidsskriftsnummer fra David Gregory og i modsætning til sidstnævnte forstod fordelene ved Leibniz' algoritme. I denne periode var Craig optaget af problemet med at bestemme områderne af figurer, og han henledte opmærksomheden på nytten af ​​integraler til at løse dette problem. Tilsyneladende vidste Crag ikke om Newtons bidrag til udviklingen af ​​differentialregning [73] . Selvom Craig skrev flere bøger ved hjælp af den nye metode, gav han ikke væsentlige bidrag til teorien. I 1687, to år efter Craig, blev den schweiziske matematiker Jacob Bernoulli (1655-1705), som sammen med sin bror Johann (1667-1748) arbejdede med matematiske analyser, opmærksom på Leibniz' papir. På dette tidspunkt var brødrene allerede bekendt med Wallis og Barrows infinitesimalregning . I sin selvbiografi skrevet mange år senere skrev Johann Bernoulli, at det tog ham og hans bror flere dage at beskæftige sig med Leibniz' nye metode. I 1690 udgav Jacob Bernoulli et papir, hvori han anvendte Leibniz-metoden på en isokron kurve, og året efter løste Johann køreledningsproblemet [74] . I begyndelsen af ​​1690'erne indgik Bernoulli-brødrene en korrespondance med Leibniz. I modsætning til Newton og Leibniz havde de et stort antal studerende i forskellige lande. I efteråret 1691 ankom Johann Bernoulli til Paris . Der blev han varmt modtaget af kartesianeren Nicolas Malebranches kreds af intellektuelle , som blev interesseret i Leibniz' metode til at bestemme kurvernes krumning. I Paris underskrev Bernoulli Jr. en kontrakt om at undervise i matematik til Marquis L'Hopital (1661-1704). Markisen skrev til gengæld i slutningen af ​​1692 et brev til Leibniz, hvoraf det fulgte, at han allerede i slutningen af ​​1688 havde stiftet bekendtskab med en artikel af en tysk matematiker. Under sin periode i Paris lærte Bernoulli Leibniz-metoden til flere medlemmer af Malebranche-kredsen: præsten Louis Byzance og matematikerne Charles René Reynaud , Pierre de Montmort og Pierre Varignon . I 1696 udgav L'Hopital, som Bernoulli, som havde forladt Frankrig, fortsatte med at undervise ved korrespondance, den første lærebog i matematisk analyse, der dækkede spørgsmålene om differentiering. Bogen var en stor succes og styrkede markisens berømmelse som matematiker. Det er nu fastslået, at dens tekst hovedsageligt blev skrevet af Johann Bernoulli. Den anden del af lærebogen, som skulle tale om integration, udkom først i 1742. Den malebranchist Pierre Varignon, som opretholdt forbindelser med både Leibniz og Newton, blev den mest konsekvente fortaler for den nye teori [75] .

Selvom udbredelsen af ​​analyseideerne var ret hurtig, var der kritikere. Deres indvendinger var baseret på usikkerheden i det logiske grundlag for infinitesimalregningen. Leibniz, selv om han gjorde bestræbelser på at bygge et pålideligt matematisk grundlag for sin teori, i det hele taget så på problemet mere enkelt end Newton, det vigtigste er, at teorien virkede. Vejledende i denne henseende var Christian Huygens ' reaktion , til hvem Leibniz i en række breve skitserede principperne for sin analyse. Den ældre hollandske matematiker reagerede ret koldt på Leibniz' beskeder. Han udviklede selv en lignende teori, men planlagde ikke at offentliggøre den, da han ikke var i stand til at bevise den strengt. Huygens anså de tilgange, der blev rapporteret til ham fra London af schweizeren Nicola Fatio de Duillier (1664-1753), som beskæftigede sig med integrationsproblemer, som mere lovende. Selvom Huygens aldrig var enig i, at Leibniz' arbejde åbnede en ny æra i matematikken, anerkendte han i et af sine sidste breve betydningen af ​​den tyske matematikers præstation [76] . Som A. Hall bemærker, havde ingen af ​​deres tids tre største matematikere - Huygens, Newton og Leibniz - ikke en misforståelse om mulighederne og betydningen af ​​teorien om matematisk analyse, men de vurderede forskelligt arten af ​​denne opdagelse. Var det, som Huygens og Newton troede, en evolutionær udvikling af tidligere eksisterende metoder, eller noget helt nyt? Efterfølgende citerede Leibniz Huygens' tilståelse som et af de stærkeste beviser på hans prioritet. Newton afviste dette bevis, fordi Huygens efter hans mening ikke havde noget kendskab til analyseteorien [77] .

Efter Huygens' død i 1695 blev Leibniz den almindeligt anerkendte leder af den kontinentale matematiske skole. Newton havde en lignende stilling i England, men han udgav ikke sit arbejde og helligede sig public service og alkymistisk forskning. Kontinentale matematikeres præstationer i England var praktisk talt ukendte, men i 1696 blev der på initiativ af Johann Bernoulli afholdt en konkurrence blandt de førende europæiske matematikere. Han foreslog problemet med at bestemme den kurve, langs hvilken kroppen under påvirkning af tyngdekraften hurtigst vil glide fra et punkt til et andet - problemet med brachistochrone . I England blev opgaven sendt til Newton og Wallis. Leibniz løste problemet den dag, han modtog det, men var ikke i stand til at fastslå, at løsningen beskrev en cykloid . Ifølge Newton tog hans indsats også lidt tid [komm. 7] . Senere, sammenfattende resultaterne af konkurrencen, udnævnte Leibniz også Jacob Bernoulli og L'Hopital (som fik hjælp fra Johann Bernoulli) blandt dem, der gav det rigtige svar. Løsningen af ​​dette problem krævede viden om matematisk analyse, og som Newton havde mistanke om, blev problemet sendt til ham for at bevise den lavere styrke af hans fluksionsmetode [79] .

Konfliktens forløb

Første anklager: 1691-1711

Overgangen af ​​konflikten mellem Newton og Leibniz til det offentlige rum skyldtes den schweiziske matematiker Nicola Fatio de Duillier . Som 18-årig ankom denne indfødte fra Basel til Paris, hvor han arbejdede ved Giovanni Cassini- observatoriet . To år senere beskrev de sammen fænomenet stjernetegnslyset . I 1686 mødte Fatio de Duilliers Jacob Bernoulli og Christian Huygens . Sammen med sidstnævnte var han engageret i studiet af tangenter. I begyndelsen af ​​1687 ankom Fatio de Duillier til London, hvor han mødte mange engelske matematikere. Året efter blev han optaget i Royal Society , på et af hvis møder han mødte Newton. Et venskab udviklede sig hurtigt mellem dem så tæt, at den amerikanske historiker Frank Manuel retrospektivt mistænkte "en stærk homoseksuel følelse" i det [80] 81] . Fatio de Duillier havde lejlighed til at gøre sig bekendt med Newtons afhandling De quadratura curvarum, som var ved at blive klargjort til udgivelse. Da han endnu tidligere, gennem Huygens, lærte om Leibniz' arbejde inden for analyse, blev det indlysende for ham, at både matematikeres tilgange til at løse problemer med differentiering og integration falder sammen op til notation . Den 28. december 1691 skrev Fatio de Duillier et brev til Huygens, hvori Leibniz første gang blev anklaget for plagiat. I februar det følgende år udvikler han dette tema og peger på korrespondancen mellem Newton og Leibniz [82] . Samtidig opfordrede John Vallis , som var tilhænger af at opretholde Englands videnskabelige prioritet, Newton til at offentliggøre sine matematiske undersøgelser og breve fra 1676. Da han intet havde opnået, inkluderede han en omtale af fluksionsmetoden i andet bind af hans matematiske værker i 1693. Samme sted skitserede Wallis sin version af prioritet: Leibniz' metode ligner Newtons, selvom det er dens forringede kopi; begge er baseret på Barrow-metoden, som igen går tilbage til teorien om uendelige serier udviklet af Wallis selv. Ikke desto mindre, ifølge A. Hall, mente Newton indtil 1695 ikke, at hans rettigheder som opdager blev krænket. Desuden fornyede Newton og Leibniz i denne periode deres korrespondance, og Leibniz bad selv Newton om at udgive en forbedret udgave af Principia . I 1696 stiftede Leibniz bekendtskab med Wallis' arbejde og bemærkede, at Newtons metode var i overensstemmelse med hans [83] . Johann Bernoulli studerede også Wallis' bog og kom til en anden konklusion, at Newton kunne have skabt sin metode baseret på Leibniz' analyse. Han delte sine tanker med Leibniz, som først ikke var klar til at støtte denne afhandling [84] .

I slutningen af ​​1690'erne, i det kontinentale Europa, kendte ingen som før til Newtons præstationer og i endnu højere grad om deres kronologi. Scholia til Lemma II i Elementerne gik ikke ubemærket hen, men for eksempel P. Varignon forstod det på den måde, at Newton var bekendt med Leibniz' analyse. I 1699 udgav Wallis det tredje bind af hans skrifter, som indeholdt både breve fra 1676, såvel som tidligere dokumenter, der beviser fremskridtene i Newtons forskning. Samme år udgav Fatio de Duillier afhandlingen Lineae brevissimi descentus investigatio geometrica duplex (Dobbelt geometrisk undersøgelse af linjen med korteste afstamning), hvori han vendte tilbage til 1696 brachistochrone problem . På dette tidspunkt havde han ikke opretholdt forholdet til Newton i seks år, og der er ingen grund til at tro, at han på en eller anden måde var involveret i fremkomsten af ​​dette værk - men Leibniz, som kendte til deres venskab, var sikker på dette [85] . I sin undersøgelse anklagede Fatio de Duillier Leibniz direkte for plagiat. Efter at have modtaget en kopi af artiklen fra L'Hospital [86] offentliggjorde han til gengæld en anonym anmeldelse i Acta eruditorum , hvori han afviste disse beskyldninger og erklærede, at han kun var bekendt med Newtons metode til tangenter. Samtidig kritiserede Leibniz anonymt løsningen af ​​køreledningsproblemet demonstreret af David Gregory . Selvom denne beslutning faktisk var fejlagtig, gik Leibniz videre og trak i Gregorys skikkelse konklusioner om fejlslutningen af ​​teorierne om matematikere fra den newtonske skole. Forfatteren af ​​Leibniz i disse to artikler blev bevist i 1711, hvilket alvorligt påvirkede hans omdømme. I 1701 blev en liste over fejl i Newtons Principia offentliggjort, og selv om listen faktisk blev udarbejdet af Newton selv og givet til Huygens af Fatio de Duillier, mentes Leibniz i England at være involveret . I et sådant miljø lovede Newton i 1702 sine venner at udgive " Optik " og yderligere to matematiske afhandlinger ("De quadratura curvarum" og "Enumeratio linearum tertii ordinis"), som blev afsluttet to år senere. I forordet påpegede han, at disse værker går tilbage til hans noter fra 1670'erne, længe kendt af Leibniz. Ifølge Newton blev fluxionsmetoden, der blev brugt i De quadratura til at beregne kvadraturer, udviklet af ham så tidligt som i 1665. I januar 1705 dukkede en anonym anmeldelse op i Acta eruditorum, som nu vides at være skrevet af Leibniz (Leibniz selv indrømmede det aldrig, men Newton var sikker på sit forfatterskab). Denne gennemgang hævdede, at Newtons fluksioner svarede til det koncept, der blev brugt af den franske matematiker Honore Fabry (1607-1688) og den tidligere metode fra Cavalieri [88] , og Newtons resultater blev forklaret i form af Leibniz-differentialer. Selvom der ikke var nogen eksplicit anklage om plagiat, blev det af mange (inklusive Newton) opfattet som sådan [89] . I oktober 1708 tilbageviste Newtons studerende John Keill insinuationer i en artikel "On the Laws of Centripetal Force":

Alle [disse teorier] følger den nu meget berømte aritmetik af fluxer, som hr. Newton uden tvivl var den første, der opfandt, som enhver, der læser hans breve udgivet af Wallis, let kan genkende; den samme aritmetik, under en anden titel og med en anden notation, blev imidlertid senere udgivet i Acta eruditorum af hr. Leibniz.

Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] Alle disse [forslag] følger af den nu meget berømte Arithmetic of Fluxions, som Mr. Newton, hævet over enhver tvivl, først opfundet, som enhver, der læser hans Breve udgivet af Wallis, let kan afgøre; den samme aritmetik under et andet navn og med en anden notation blev senere offentliggjort i Acta eruditorum, dog af Hr. Leibniz

Caills grunde til at vælge at komme til Newtons forsvar er ikke klare [90] . Det kan antages, at denne tale var relateret til den bredere kontekst af uenigheder mellem britiske og kontinentale videnskabsmænd om kræfternes natur og universets struktur [91] . Et nummer af The Philosophical Transactions of the Royal Society med denne artikel blev offentliggjort i 1709 [komm. 8] , og Newton hævdede senere at have været uvidende om denne passage af Caill. Men i betragtning af at papiret blev foreløbigt læst på et møde i Royal Society den 3. november 1708, er dette usandsynligt. Det skal bemærkes, at Caill var tæt på Newtons Oxford-vennekreds. Det vides ikke, hvornår Leibniz læste Caills artikel, men han sendte et officielt protestbrev til Royal Society i marts 1711 [93] .

Forberedelser til krig: 1711-1713

Caill gav faktisk udtryk for den generelle mening, der var fremherskende i det videnskabelige samfund i England. Således skrev fysikeren George Cheney i sit værk "The Inverse Method of Fluxions", udgivet i 1703, at der i løbet af de sidste 20-30 år ikke er dukket noget op i matematikken, som ikke ville være en gentagelse eller en triviel konsekvens af Newtons tidligere opdagelse. . Cheneys fremmedfjendske synspunkter, som tilskrev alle sin tids videnskabelige resultater til briterne og dæmpede kontinentale videnskabsmænds resultater, blev bemærket af Johann Bernoulli, som rangerede Cheney og hans lignende blandt "Newtons aber." Leibniz' holdning til engelske videnskabsmænd blev også mere negativ, og siden dengang dukker temaet om at forklejne Newtons præstationer i hans korrespondance [94] . I de næste 5 år afstod parterne fra åben kamp. Leibniz gik ikke ind i et skænderi med Cheney og Fatio de Duillier, Newton fik administrativ vægt - han stod i spidsen for Mint , Royal Society og blev ridder [95] . Siden 1708 er John Collins -arkivet blevet diskuteret , indeholdende Newtons tidlige værker, som ikke tidligere var kendt af det generelle videnskabelige samfund, herunder De analysi fra 1669. Der var også breve, hvoraf det fulgte, at Leibniz kendte til dette værk - som han aldrig nævnte. Den 31. januar 1711, to måneder før modtagelsen af ​​Leibniz' brev, blev uddrag fra dette arkiv præsenteret på et møde i Royal Society af Dr. Richard Meade . Udvælgelsen af ​​materialer og introduktionen, der gik forud for dem, efterlod ingen tvivl om Newtons prioritet [96] . Leibniz udtalte i sin anonyme gennemgang af De analysi uden at sige noget om datoer, at essensen af ​​metoden præsenteret i denne afhandling er udviklingen af ​​Archimedes' metoder til udmattelse og Fermats infinitesimals . Samtidig talte Leibniz i offentlige udtalelser altid om Newton med stor respekt. Indtil 1711 afstod begge parter i konflikten således fra direkte angreb på hinanden, idet de handlede gennem deres tilhængere [97] .

Et brev,  der modbeviste Keills "uforskammede anklager" blev modtaget af Royal Society den 4. marts 1711. Heri udtrykte Leibniz sin frygt for, at disse beskyldninger ville blive gentaget af uærlige mennesker, hvilket ville skade hans omdømme. Da de begge (Leibniz og Keill) var medlemmer af Selskabet, krævede Leibniz, at der blev givet en officiel tilbagetrækning. Under Newtons formandskab blev der afholdt et møde i selskabet den 22. marts, hvor brevet blev oplæst. Ifølge protokollen blev Selskabets sekretær, Hans Sloane , pålagt at udarbejde et svar, men dette dokument har ikke overlevet, og det er usandsynligt, at det overhovedet er blevet skrevet. To uger senere (15. april) blev sagen igen behandlet og igen ledet af Newton; Keill ankom til dette møde fra Oxford . Referatet af mødet erklærede, at Leibniz i 1705-udgaven af ​​Acta eruditorum fremsatte en falsk erklæring om essensen af ​​Newtons matematiske præstationer og deres sande forfatterskab, hvilket blev påpeget på det tidspunkt af Caill. En uge senere lavede Newton et efterskrift, hvori han nævnte sine breve til Collins. Der er bevaret dokumenter, der vidner om den voldelige aktivitet i disse uger - deltagerne i begivenhederne udvekslede breve, Newton genlæste sine gamle dokumenter og genoprettede begivenhedernes kronologi i hans hukommelse. Caills endelige svar til Leibniz blev godkendt på et møde i Selskabet den 24. maj. Det var meningen, at den skulle offentliggøres, da Leibniz kvitterede for modtagelsen, men det skete aldrig [99] . Leibniz overvejede sit svar i lang tid. Hans brev blev sendt den 29. december og modtaget i Royal Society den 31. januar 1721. Heri valgte Leibniz en forsonende tone over for Newton uden at hævde at være hans metode til flukser, dog lig hans egen metode. Newtons første reaktion, som det fremgår af de overlevende udkast, var at skrive til Sloan, at han ikke ville gå ind i denne diskussion. Efterhånden fangede dette emne ham dog, især efter at anmeldelsen af ​​De analysi, udgivet i februar, blev leveret til ham. Han skrev aldrig et brev, men den 6. marts 1712 nedsatte Royal Society en kommission til at studere breve og papirer vedrørende emnet. Det omfattede medlemmer af Society for Mathematics John Arbuthnot , Edmund Halley , William Jones , John Machin , købmand og forfatter til biografien om Isaac Barrow Abraham Hill , officiel William Burnet . Den 17. april fik de selskab af politikeren Francis Robartes , matematikerne Abraham de Moivre og Brooke Taylor , Francis Aston og den preussiske ambassadør Frederick Bonet - med Newtons ord var det "en talrig og dygtig forsamling af herrer fra flere nationer " [100] .

Arbejdet i kommissionen lovede ikke at blive meget vanskeligt - Newton forberedte alt materiale, tilføjede Oldenburgs breve til Collins-arkivet , den 24. april udarbejdede han selv en rapport, der hævdede sine egne rettigheder som "førsteforfatter" af analyse. Leibniz blev ikke eksplicit anklaget for plagiat, hans skyld blev angivet som en krænkelse af den videnskabelige etik, udtrykt ved at skjule det faktum at bruge information kendt af ham [101] . Baseret på dette dokument blev en samling af "Commercium epistolicum D. Johannis Collis, et aliorum de analysi promota" ("Korrespondance fra videnskabsmanden John Collins og andet relateret til opdagelsen af ​​analysen") udarbejdet og offentliggjort tidligt næste år. Udgivelsen blev udgivet i et begrænset oplag og var ikke beregnet til salg. 25 eksemplarer blev sendt til en skotsk boghandler i Haag og til de største kontinentale matematikere "i stand til at bedømme sådanne ting" [102] . "Commercium epistolicum" indeholdt tidligere kendte tekster, forsynet med forklaringer, der fokuserer læserens opmærksomhed på tyveri af andre menneskers ideer, jævnligt praktiseret, ifølge forfatteren, af Leibniz. Den nye bevislinje valgt af Newton inkluderede også påstanden om, at han brugte sin metode til fluksioner i Principia , hvilket angiveligt blev bekræftet af fragmenter af hans ufærdige arbejde sendt til Royal Society i 1683. Da datoen for denne påståede kommunikation gik forud for Leibniz' udgivelse af hans første papir, kunne dette have været en væsentlig omstændighed, men en sådan begivenhed fandt faktisk ikke sted [103] . Konklusionen fra Royal Society-kommissionen lød: "af disse grunde betragter vi Newton som den første opfinder, og vi tror, ​​at Caill, da han argumenterede for dette, ikke gjorde noget uretfærdigt mod Leibniz" [104] .

Offentlig strid: 1713-1715

Den samlede effekt af udgivelsen af ​​Commercium epistolicum var enorm, og selv de hengivne tilhængere af Leibniz - Varignon og Bernoulli - var ubehageligt overraskede over, at deres lærer modtog ikke helt fortjent berømmelse i næsten 30 år [105] . Bernoulli og Christian Wolf opfordrede Leibniz til at skrive sin egen version af calculus historie. Arbejdet med dette arbejde blev påbegyndt i 1714, men blev ikke afsluttet [106] . Ude af stand til at tilbagevise Newtons argumenter om prioriteten i opdagelsen af ​​kalkulus, eller endda at bevise, at Leibniz havde gjort vigtige fremskridt, før han modtog Newtons andet brev, angreb hans kritikere på to andre fronter. Først blev der sat spørgsmålstegn ved Newtons kompetence som matematiker - Leibniz' tilhængere ledte efter fejl i hans værker, primært i " Naturfilosofiens matematiske principper ". Newtons mest konsekvente kritiker i 1710'erne var Johann Bernoulli , og Newtons "fejl" i differentiering opdaget af hans nevø Nicholas Bernoulli havde en stor resonans . For det andet blev bestemmelserne i Newtons teori om tyngdekraften bestridt . For kontinentale videnskabsmænd, der fulgte Descartes ' synspunkter , virkede de interaktioner, som Newton introducerede gennem kræfter , yderst tvivlsomme [107] . Alle modargumenter blev samlet og offentliggjort i form af en anonym folder, der gik over i historien som "Charta Volans" (1713), hvor Leibniz blev kaldt den eneste opfinder af analysen, hvorfra Newtons metode var afledt. Denne pjece er trykt og distribueret af Christian Wolf [108] . I efteråret 1713 faldt dokumentet gennem forfatteren John Chamberlain Han har formentlig ikke anset det for nødvendigt at svare på anonyme beskyldninger og forventede et mere officielt svar på Commercium epistolicum. Ikke desto mindre mente han, at en form for svar var nødvendig, eftersom Leibniz offentliggjorde denne konflikt. Denne mission blev påtaget af Caill [109] .

I maj-juni 1713-udgaven af ​​Journal littéraire de La Haye offentliggjorde Caill en lang artikel om analysens historie, og præsenterede for et fransk publikum versionen fra Commercium epistolicum, suppleret på grundlag af Fatio de Duilliers anklager . Af de nye dokumenter blev Newtons brev til Collins, dateret 10. december 1672, offentliggjort. I slutningen af ​​samme år gav Leibniz et svar ("Bemærkninger om striden", "Bemærkninger om tvisten"), hvori han erklærede, at han intet kendte til Newtons krav om prioritet før udgivelsen af ​​"Commercium epistolicum" og forventede, at Newton ville afkøle sine alt for nidkære tilhængeres iver. Han bemærkede også, at han aldrig gav sig til retten i Royal Society , som hans synspunkt ikke blev overført til. Og mens Newton skjulte sin metode, gjorde Leibniz det modsatte. Samtidig var Newtons egen metode ikke så god, som vist af en "berømt matematiker" (det vil sige Johann Bernoulli ). Dette blev efterfulgt af udgivelsen af ​​den franske version af Charta Volans. Newton skulle således i fremtiden bevise ikke blot sin historiske rigtighed, men også rigtigheden af ​​sin metode; han kunne ikke argumentere med tesen om Leibniz større moralske ret til at opdage [110] . Det vigtigste for ham var at tilbagevise beskyldningerne om at lave fejl. Et udkast til et brev har overlevet, hvor Newton hævder, at Leibniz ikke forstår forskellen mellem hans derivater og hans fluksioner - ifølge moderne ideer er denne forskel næsten umærkelig. I sommeren 1714 udkom Keills "Svar" til forfatterne af "Bemærkningerne" - efter hans mening betød den "berømte matematiker" Christian Wolf [111] . I mellemtiden studerede I. Bernoulli på den ene side godt og satte stor pris på Newtons værker, der blev berømt, på den anden side var han bange for muligheden for udelukkelse i betragtning af hans kritik af "fejlene" i Principia Mathematica. fra Royal Society. Derfor foreslog han, der stadig støttede Leibniz' holdning, at han studerede Commercium epistolicum mere omhyggeligt [112] .

I midten af ​​1714 var striden udløbet. Kontinentaleuropa stillede sig generelt på Leibniz side, med undtagelse af det hollandske tidsskrift Journal littéraire de La Haye, hvor Newtonianeren Wilhelm Jacob Gravesand var en af ​​redaktørerne . I Frankrig blev den afvigende mening udtrykt af den gamle karteuser de Fontenelle , som bemærkede, at Leibniz fortsatte, hvor Barrow slap . Denne position var tættere på den engelske, og med tiden begyndte den på grund af forskellige videnskabsmænds politiske og personlige forhold at styrke sig i Frankrig. Etableringen af ​​Hannover-dynastiet i England i 1714 gjorde intet for Leibniz, som ikke var i stand til at skaffe støtte fra indflydelsesrige politikere [113] . I den sidste periode af sit liv opgav Leibniz forsøgene på at bevise sin prioritet og fokuserede på filosofiske problemer. Den vigtigste episode her var korrespondancen med Samuel Clark om fysikkens filosofiske grundlag, som blev en tvist in absentia med Newton [114] . Newton udgav to publikationer i 1715: hans egen anonymt publicerede artikel "Account of the Book med titlen Commercium Epistolicum ... udgivet efter ordre fra Royal Society" ) og en bog af matematikeren Joseph Raphson , A History of Fluxions. Raphson, som ikke tilhørte Newtons kreds, forsøgte en historisk undersøgelse af spørgsmålet om prioritet på grundlag af de kilder, han havde til rådighed, og kom til den konklusion, at Leibniz var i stand til at skaffe værdifulde oplysninger fra Newtons breve. Hans dom lød: "Om Leibniz lånte metoden eller selv opfandt den, er uden absolut betydning, for den anden opfinder har ingen rettigheder" [104] . Newton, selvom han i første omgang nægtede enhver interesse i denne udgave, genudgav han efter Leibniz' død bogen uden ændringer [115] . "Rapporten", hvis tilknytning til Newtons pen først blev kendt i 1761, opsummerede endnu en gang i detaljer uenighederne med Leibniz på fem områder, begyndende med matematisk analyses historie og dens forhold til fluksionsmetoden og op til filosofiske spørgsmål. I England blev dette værk accepteret som en autoritativ kilde, i Europa forblev det praktisk talt ubemærket; i november 1715 udkom dens franske oversættelse [116] .

Faldet kontrovers. Efter 1715

Leibniz gik aldrig med til at anerkende Newtons prioritet i opfindelsen af ​​calculus. Han forsøgte også at skrive sin egen version af differentialregningens historie, men som i tilfældet med historien om Brunswicks herskere afsluttede han ikke arbejdet [117] . I slutningen af ​​1715 accepterede Leibniz Johann Bernoullis tilbud om at organisere endnu en konkurrence af matematikere, hvor forskellige tilgange skulle bevise deres værd. Denne gang blev problemet taget fra det, der senere ville blive kaldt variationsregningen , for at konstruere en tangent til en familie af kurver. Brevet med ordlyden blev skrevet den 25. november og sendt i London til Newton gennem abbed Antonio Conti . Problemstillingen var formuleret i ikke særlig klare vendinger, og først senere blev det klart, at det var nødvendigt at finde en generel, og ikke en bestemt, som Newton forstod det, løsning. Efter at briterne havde offentliggjort deres løsning, offentliggjorde Leibniz sin mere generelle løsning og vandt dermed formelt konkurrencen [118] . På sin side søgte Newton stædigt at ødelægge sin modstander. Da han ikke opnåede dette med rapporten, fortsatte han sin omhyggelige forskning og brugte hundredvis af timer på det. Årsagen til hans næste undersøgelse, med titlen "Observationer af det foregående brev", var et brev fra Leibniz Conti dateret marts 1716, som kritiserede Newtons filosofiske synspunkter; ingen nye fakta blev givet i dette dokument [119] . Med Leibniz' død i november 1716 forsvandt striden gradvist. Ifølge A. Hall ophørte dette spørgsmål med at interessere Newton selv efter 1722 [120] .

I England var Newtons sejr i denne strid aldrig i tvivl. Selvom der frem til det 20. århundrede blev fundet negative vurderinger af Leibniz' rolle i engelsksproget litteratur, begyndte der allerede på dronning Victorias tid at lyde andre meninger [121] . I 1920 kaldte den amerikanske matematiker Arthur Hathaway , han var sikker på, at Leibniz ikke kunne gøre sine opdagelser på egen hånd, ham grundlæggeren af ​​tysk videnskabelig spionage , hvilket efter hans mening bekræfter tilfældet med J. Pell (se ovenfor) ) [122] . Ved midten af ​​det 20. århundrede aftog lidenskaberne, engelske historikere værdsatte Leibniz' fortjenester, og tyske anerkendte Newtons prioritet [123] .

Spørgsmålet om de relative fordele ved Leibniz ( ) og Newtons ( ) differentieringsnotationer blev diskuteret gennem det 18. århundrede. Det engelske system var kendt i det kontinentale Europa, men ikke særlig populært. I 1755 bemærkede L. Euler ulejligheden ved at udpege derivater af høje grader, hvilket førte til en bunke prikker over funktionstegnet. Sammenlignende undersøgelser af englænderen R. Wodehouse (1802) og franskmanden S. Lacroix (1810) favoriserede også Leibniz' notation. Dens succes blev endelig konsolideret af indsatsen fra J. Herschel , J. Peacock og C. Babbage i Cambridge [124] . Fra et videnskabeligt synspunkt, i det figurative udtryk af Eric Bell , "var resultatet af al denne [konflikt], at de stædige briter praktisk talt ikke gjorde nogen fremskridt i matematik i et helt århundrede efter Newtons død, mens de mere progressive schweiziske og French, der udviklede Leibniz' ideer og brugte hans uforlignelige mere bekvemme måde at notere på i analyse, forbedrede analysen og gjorde den til et simpelt, let anvendeligt forskningsmiddel, og gjorde, hvad de umiddelbare tilhængere af Newton burde have gjort" [125] .

Noter

Kommentarer

  1. ↑ Oldenburgs rapport om denne hændelse er indeholdt i Newtons papirer, men det vides ikke, at han tillagde den betydning [2] .
  2. ↑ Teknisk set var Barrow ikke Newtons universitetslærer, men Benjamin Pulin [13] .
  3. ↑ Newton kalder fluxer for ændringshastighederne for flydende, det vil sige forholdet mellem en uendelig stigning i en variabel mængde (flydende) og den tilsvarende stigning i en anden størrelse [19] .
  4. ↑ For en oversigt over almindelige meninger om forbindelsen mellem Newton, Leibniz og Barrow, se Feingold, 1993 [42] .
  5. ↑ Dette udtryk, kendt som Leibniz-serien , kaldes Gregory-serien i England [46] .
  6. ↑ Collins mente, at Leibniz baserede sine konklusioner på Barrows teorier og tilskrev ham derfor "den engelske skole" [64] .
  7. ↑ Løsningen af ​​dette problem distraherede ikke Newton fra hans (al)kemiske studier [78] .
  8. ↑ Ifølge A. Hall - i 1710 [92] .

Kilder og brugt litteratur

  1. ↑ Meli, 1993 , s. fire.
  2. ↑ Hall, 1980 , s. 55.
  3. ↑ Meli, 1993 , s. 5-6.
  4. ↑ Arnold, 1989 , s. 16-20.
  5. ↑ Arnold, 1989 , s. 33.
  6. ↑ Boyer, 1949 , s. 99-112.
  7. ↑ Boyer, 1949 , s. 112-116.
  8. ↑ Boyer, 1949 , s. 120-121.
  9. ↑ Boyer, 1949 , s. 135-138.
  10. ↑ Boyer, 1949 , s. 153-159.
  11. ↑ Boyer, 1949 , s. 164.
  12. ↑ Bardi, 2006 , s. 37.
  13. ↑ Feingold, 1993 , s. 313.
  14. ↑ Boyer, 1949 , s. 179-184.
  15. ↑ 1 2 Arnold, 1989 , s. tredive.
  16. ↑ Boyer, 1949 , s. 187-188.
  17. ↑ Baron, 1969 , s. 273.
  18. ↑ Sonar, 2016 , S. 21.
  19. ↑ Vavilov, 1989 , s. 166.
  20. ↑ Hall, 1980 , s. 10-13.
  21. ↑ Hall, 1980 , s. 13-15.
  22. ↑ 12 Hall , 1980 , s. 16.
  23. ↑ Westfall, 1980 , s. 202.
  24. ↑ Guerrier, 2008 , s. 209.
  25. ↑ Hall, 1980 , s. tyve.
  26. ↑ Boyer, 1949 , s. 192.
  27. ↑ Vavilov, 1989 , s. 163.
  28. ↑ Baron, 1969 , s. 268.
  29. ↑ Newton, 1937 , Andet brev til Oldenburg, s. 237-238.
  30. ↑ Hall, 1980 , s. 21-23.
  31. ↑ Boyer, 1949 , s. 202.
  32. ↑ Vavilov, 1989 , s. 170.
  33. ↑ Hall, 1980 , s. 36-38.
  34. ↑ Hall, 1980 , s. 38-39.
  35. ↑ Baron, 1969 , s. 268-269.
  36. ↑ Guerrier, 2008 , s. 199.
  37. ↑ Hall, 1980 , s. 47.
  38. ↑ Gerhardt, 1920 , s. 161-162.
  39. ↑ Baron, 1969 , s. 272.
  40. ↑ 12 Westfall , 1980 , s. 260.
  41. ↑ Gerhardt, 1920 , s. 173-179.
  42. ↑ Feingold, 1993 .
  43. ↑ Gerhardt, 1920 , s. 162-163.
  44. ↑ Guerrier, 2008 , s. 207.
  45. ↑ Sonar, 2016 , s. 159.
  46. ↑ Baron, 1969 , s. 277.
  47. ↑ Hall, 1980 , s. 50-53.
  48. ↑ Guerrier, 2008 , s. 209-210.
  49. ↑ Baron, 1969 , s. 279.
  50. ↑ Hall, 1980 , s. 57-60.
  51. ↑ Hall, 1980 , s. 61-62.
  52. ↑ Sonar, 2016 , S. 195-197.
  53. ↑ Guerrier, 2008 , s. 211.
  54. ↑ Bardi, 2006 , s. 49.
  55. ↑ Guerrier, 2008 , s. 206.
  56. ↑ Hall, 1980 , s. 48.
  57. ↑ Hall, 1980 , s. 63-64.
  58. ↑ Bardi, 2006 , s. 89-90.
  59. ↑ Guerrier, 2008 , s. 210.
  60. ↑ Hall, 1980 , s. 64-66.
  61. ↑ Bardi, 2006 , s. 92.
  62. ↑ Guerrier, 2008 , s. 210-211.
  63. ↑ Hall, 1980 , s. 70.
  64. ↑ Hall, 1980 , s. 75.
  65. ↑ Bardi, 2006 , s. 95-99.
  66. ↑ 1 2 Boyer, 1949 , s. 207.
  67. ↑ Hall, 1980 , s. 34.
  68. ↑ Hall, 1980 , s. 34-35.
  69. ↑ Newton, 1989 , s. 331.
  70. ↑ Newton, 1989 , s. 334-335.
  71. ↑ Hall, 1980 , s. 33-36.
  72. ↑ Vavilov, 1989 , s. 169.
  73. ↑ Hall, 1980 , s. 77-79.
  74. ↑ Zeiten G. G. Matematikkens historie i det 16. og 17. århundrede . - L. , 1938. - S. 90-91.
  75. ↑ Hall, 1980 , s. 81-84.
  76. ↑ Hall, 1980 , s. 85-89.
  77. ↑ Hall, 1980 , s. 90-91.
  78. ↑ Forbes RT Var Newton en alkymist? // Chymia. - 1949. - Bd. 2. - S. 31.
  79. ↑ Hall, 1980 , s. 105.
  80. ↑ Hall, 1980 , s. 104.
  81. ↑ Sonar, 2016 , S. 305-309.
  82. ↑ Sonar, 2016 , S. 319-320.
  83. ↑ Hall, 1980 , s. 111-116.
  84. ↑ Hall, 1980 , s. 116-117.
  85. ↑ Westfall, 1980 , s. 712-713.
  86. ↑ Hall, 1980 , s. 121.
  87. ↑ Westfall, 1980 , s. 713-714.
  88. ↑ Hall, 1980 , s. 138.
  89. ↑ Vavilov, 1989 , s. 172.
  90. ↑ Hall, 1980 , s. 145.
  91. ↑ Hall, 1980 , s. 146-167.
  92. ↑ Hall, 1980 , s. 144.
  93. ↑ Westfall, 1980 , s. 714-716.
  94. ↑ Hall, 1980 , s. 132-133.
  95. ↑ Hall, 1980 , s. 141.
  96. ↑ Westfall, 1980 , s. 716-718.
  97. ↑ Westfall, 1980 , s. 718-721.
  98. ↑ Sonar, 2016 , s. 407.
  99. ↑ Westfall, 1980 , s. 721-723.
  100. ↑ Westfall, 1980 , s. 724-725.
  101. ↑ Hall, 1980 , s. 178-179.
  102. ↑ Westfall, 1980 , s. 725-727.
  103. ↑ Westfall, 1980 , s. 727-729.
  104. ↑ 1 2 Vavilov, 1989 , s. 173.
  105. ↑ Hall, 1980 , s. 186-187.
  106. ↑ Hall, 1980 , s. 192-193.
  107. ↑ Hall, 1980 , s. 193-198.
  108. ↑ Hall, 1980 , s. 199-201.
  109. ↑ Hall, 1980 , s. 202-203.
  110. ↑ Hall, 1980 , s. 203-204.
  111. ↑ Hall, 1980 , s. 205-207.
  112. ↑ Hall, 1980 , s. 212-213.
  113. ↑ Hall, 1980 , s. 213-215.
  114. ↑ Hall, 1980 , s. 218-223.
  115. ↑ Hall, 1980 , s. 223-225.
  116. ↑ Hall, 1980 , s. 225-231.
  117. ↑ Bardi, 2006 , s. 221.
  118. ↑ Hall, 1980 , s. 216-221.
  119. ↑ Hall, 1980 , s. 231-234.
  120. ↑ Hall, 1980 , s. 241.
  121. ↑ Hall, 1980 , s. 246.
  122. ↑ Hathaway AS Yderligere historie om regnestykket // Videnskab. - 1920. - Bd. 51, nr. 1311. - doi : 10.1126/science.51.1311.166 .
  123. ↑ Vavilov, 1989 , s. 174.
  124. ↑ Cajori F. A History of Mathematical Notations. - Chicago: Paquin Printers, 1929. - Vol. II. - S. 211-216. — 367 s.
  125. ↑ Bell E. T. Matematikkens skabere / Pr. fra engelsk. V. N. Trostnikova, S. N. Karo. - M .  : Uddannelse, 1979. - S. 98. - 256 s.

Litteratur

Kilder

Forskning

på engelsk på tysk på russisk