Fourier-serien

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. april 2022; checks kræver 5 redigeringer .

Fourierrækker - repræsentation af en funktionmed en periodesom en række $f$ $\tau$

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\ frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)

Denne serie kan også skrives som

f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{ \tau }}x},

hvor

A_k

er amplituden af den th harmoniske oscillation,

k

k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega

er den cirkulære frekvens af den harmoniske oscillation,

\theta_k

er den indledende fase af oscillationen,

k

\hat{f}_k

— den komplekse amplitude

k

I en mere generel form er Fourier-serien af et element i et eller andet rum af funktioner udvidelsen af dette element i et komplet system af ortonormale funktioner, eller med andre ord, i et grundlag bestående af ortogonale funktioner . Afhængig af den anvendte integrationstype taler man om Fourier-Riemann- serien , Fourier-Lebesgue-serien osv. [1]

Der er mange systemer af ortogonale polynomier og andre ortogonale funktioner (såsom Haar- , Walsh- og Kotelnikov-funktionerne), hvori en Fourier-rækkeudvidelse af en funktion kan udføres.

Fourier-seriens udvidelse af en funktion er et kraftfuldt værktøj til at løse en lang række problemer på grund af det faktum, at Fourier-serien opfører sig transparent, når den differentierer , integrerer , skifter en funktion i forhold til et argument og konvolverer funktioner.

Der er talrige generaliseringer af Fourier-serier i forskellige grene af matematik. For eksempel kan enhver funktion på en endelig gruppe udvides til en serie svarende til Fourierrækken med hensyn til matrixelementerne i de irreducible repræsentationer af denne gruppe ( fuldstændighedssætning ).

Historie

Fourier-serien er opkaldt efter den franske matematiker Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), som ydede et vigtigt bidrag til studiet af trigonometriske serier efter forundersøgelser af Leonhard Euler , Jean Léron d'Alembert og Daniil Bernoulli [2] . Fourier introducerede en serie med det formål at løse varmeligningen i en metalplade, idet han skrev sine første resultater i sin Reminiscence of the Propagation of Heat in Solids (Treatise on the Propagation of Heat in Solids) og udgav den i Analytical Theory of Heat (Théorie analytique de la chaleur) i 1822. Reminiscensen giver en analyse af Fourier, især Fourier-serien. Takket være Fouriers forskning blev det faktum fastslået, at en vilkårlig (kontinuerlig) [3] funktion kan repræsenteres af en trigonometrisk række. Den første meddelelse om denne store opdagelse blev gjort af Fourier i 1807 før det franske akademi [4] . Tidlige ideer om at udvide en periodisk funktion til en sum af simple oscillerende funktioner går tilbage til det 3. århundrede f.Kr., hvor gamle astronomer foreslog en empirisk model for planetarisk bevægelse baseret på familier og epicykler.

Varmeligningen er en partiel differentialligning. Før Fouriers arbejde var løsningen af varmeligningen ikke almindelig kendt, selvom man kendte specifikke løsninger, hvis varmekilden opførte sig på en enkel måde, især hvis varmekilden var en sinus- eller cosinusbølge. Disse simple løsninger omtales nu nogle gange som native løsninger. Fouriers idé var at modellere en kompleks varmekilde som en superposition (eller lineær kombination) af simple sinus- og cosinusbølger og skrive løsningen som en superposition af de tilsvarende egenløsninger. Denne superposition eller lineære kombination kaldes Fourier-serien.

Fra et moderne synspunkt er Fouriers resultater noget uformelle på grund af manglen på et præcist begreb om funktion og integral i begyndelsen af det nittende århundrede. Senere udtrykte Peter Gustav Lejeune Dirichlet [5] og Bernhard Riemann [6] [7] [8] Fouriers resultater med større præcision og formalitet.

Selvom den oprindelige motivation var at løse varmeligningen, blev det senere klart, at de samme metoder kunne anvendes på en lang række matematiske og fysiske problemer, især dem, der involverer lineære differentialligninger med konstante koefficienter, for hvilke egenopløsningerne er sinusoider. Fourier-serien har mange anvendelsesmuligheder inden for elektroteknik, vibrationsanalyse, akustik, optik, signalbehandling, billedbehandling, kvantemekanik, økonometri [9] , overlap-skal teori [10] osv.

Trigonometrisk Fourier-serie

Den trigonometriske Fourier-række af en funktion (det vil sige en funktion, der kan summeres på intervallet eller dens periodiske forlængelse til den reelle linje) er en funktionel række af formen $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ $([-\pi ,\pi ])$

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),

(en)

hvor

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,

Tallene og ( ) kaldes funktionens Fourier-koefficienter . Formlerne for dem kan forklares som følger. Antag, at vi vil repræsentere en funktion som en række (1), og vi skal bestemme de ukendte koefficienter , og . Hvis vi multiplicerer højre side af (1) med og integrerer over intervallet , så forsvinder alle led på højre side, på grund af ortogonaliteten af sinus og cosinus på dette interval, undtagen én. Ud fra den resulterende lighed udtrykkes koefficienten let . Tilsvarende for . $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $n = 1, 2, \ldprikker$ $f$ $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $\cos(kx)$ $[-\pi,\pi]$ $a_{k}$ $b_{k}$

Serie (1) for en funktion fra et rum konvergerer i dette rum. Med andre ord, hvis vi angiver med partielle summer af serier (1): $f$ ${\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])$ $S_k(x)$

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

så vil deres standardafvigelse fra funktionen have en tendens til nul: $f$

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0

På trods af rod-middel-kvadrat-konvergensen, er Fourier-rækken af en funktion generelt set ikke nødvendig for at konvergere punktvis til den.

Ofte, når man arbejder med Fourier-serier, er det mere bekvemt at bruge eksponenterne for det imaginære argument i stedet for sinus og cosinus som grundlag. Vi betragter rummet ${\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ af komplekst værdifulde funktioner med indre produkt

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

Vi overvejer også funktionssystemet

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}

Som før er disse funktioner parvis ortogonale og danner et komplet system, og dermed kan enhver funktion udvides over dem i en Fourier-serie: $f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

hvor rækken i højre side konvergerer til i normen i . Her $f$ $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

Koefficienterne er relateret til de klassiske Fourier-koefficienter ved følgende relationer: $\hat{f}_k$

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0

\hat{f}_0 = a_0/2

\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0

a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0

b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0

For en funktion med reel værdi er koefficienterne og komplekse konjugeret. $\hat{f}_k$ $\hat{f}_{-k}$

Generaliseringer

Fourier-serier i Hilbert-rummet

Konstruktionen beskrevet ovenfor kan generaliseres fra tilfældet med et rum $L^2[-\pi,\pi]$ med et trigonometrisk system til et vilkårligt Hilbert-rum. Lad få et ortogonalt system i et Hilbert-rum og være et vilkårligt element fra . Antag, at vi ønsker at repræsentere som en (uendelig) lineær kombination af elementer : $\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}$ $H$ $f$ $H$ $f$ $\{\varphi_k\}$

f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.

Lad os gange dette udtryk med . Under hensyntagen til ortogonaliteten af funktionssystemet forsvinder alle led i rækken, undtagen udtrykket ved : $\varphi_k$ $\{\varphi_k\}$ $n=k$

(f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.

Tal

{\displaystyle c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2))))

kaldes koordinater eller Fourier-koefficienter for elementet i systemet og rækken $f$ $\{\varphi_k\}$

\sum_k c_k \varphi_k

kaldes Fourierrækken af grundstoffet i det ortogonale system . $f$ $\{\varphi_k\}$

Fourierrækken af ethvert element i ethvert ortogonalt system konvergerer i rummet , men dets sum er ikke nødvendigvis lig med . For et ortonormalt system i et adskilleligt Hilbert-rum er følgende betingelser ækvivalente: $f$ $H$ $f$ ${\varphi_k}$

systemet er en basis , det vil sige, at summen af Fourier-rækken af ethvert element er lig med det element.
systemet er komplet , det vil sige, at der ikke er noget ikke-nul element ortogonalt til alle elementer på samme tid. $H$ $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$
systemet er lukket , det vil sige for enhver , Parseval-ligheden $f\in H$

{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2))

lineære kombinationer af elementer er rumligt tætte . $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$ $H$

Hvis disse betingelser ikke er opfyldt, så er summen af Fourier-rækken af et element lig med dets ortogonale projektion på lukningen af elementernes lineære spændvidde . I dette tilfælde, i stedet for Parseval-ligheden, er Bessel-uligheden sand : $f$ $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$

\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.

Eksempler

Trigonometriske funktioner danner grundlaget for et Hilbert-rum . Hvis vi kun betragter cosinus eller kun sinus, så er et sådant system ikke længere komplet. Lukningen af det lineære spænd af funktioner er alle lige funktioner fra , og lukningen af det lineære spænd af funktioner er alle ulige funktioner. Resultatet af at udvide funktionen til Fourier-serier i disse systemer vil være de lige og ulige dele af funktionen , henholdsvis : $\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $L_2[-\pi,\pi]$ $\cos(kx)$ $L_{2}$ $\sin(kx)$ $f$ $f$

\sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2)),

\sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2)).

En endnu mere interessant situation opstår, når man overvejer systemet . Dette system vil igen ikke være komplet. Lukningen af dets lineære spænd er Hardy-rummet . Elementerne i dette rum er dem og kun de funktioner , der har formen , hvor er grænseværdierne for nogle funktionsanalytiske i cirklen $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}$ $H_2$ $f\in L_2$ $f(t)=g(e^{it})$ $g$ $|z|<1.$

Pontryagin dualitet

Når man generaliserer teorien om Fourier-rækker til tilfældet med Hilbert-rum, går de egenskaber, der udtrykker Fourier-rækkernes forbindelse med foldning , tabt - det faktum, at Fourier-koefficienterne for foldningen af funktioner er termvise produkter af deres Fourier-koefficienter, og omvendt, Fourier-koefficienterne for produktet er repræsenteret ved foldningen af Fourier-koefficienterne af faktorer. Disse egenskaber er nøglen til anvendelser af Fourier-teori til løsning af differential- , integral- og andre funktionelle ligninger. Derfor er sådanne generaliseringer af teorien om Fourier-serier af stor interesse, hvorunder disse egenskaber er bevaret. En sådan generalisering er Pontryagins teori om dualitet. Den betragter funktioner defineret på lokalt kompakte Abelske grupper . En analog af Fourier-serien af en sådan funktion er en funktion defineret på den dobbelte gruppe.

Konvergens af Fourier-serien

Oversigt over resultater om konvergensen af Fourier-serien

Angiv funktionerne ved Fourier-rækkens partielle summer : $S_N(f,x)$ $f(x)$

S_N(f,x):=\sum\grænser_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}

Dernæst diskuterer vi konvergensen af en sekvens af funktioner til en funktion i forskellige betydninger. Funktionen antages at være -periodisk (hvis den kun er givet på intervallet , kan den fortsættes periodisk). $S_N(f,x)$ $f(x)$ $f$ $2\pi$ $[-\pi,\pi]$

Hvis , så konvergerer sekvensen til en funktion i betydningen . Derudover er den bedste (i form af afstand i ) tilnærmelse af funktionen ved et trigonometrisk polynomium af grad på højst . $f\in L_2([-\pi,\pi])$ $S_N(f,x)$ $f(x)$ $L_{2}$ $S_N(f,x)$ $L_{2}$ $f$ $N$
Konvergensen af Fourier-serien på et givet punkt er en lokal egenskab, det vil sige, hvis funktionerne og falder sammen i et bestemt kvarter , så divergerer sekvenserne og enten samtidig eller konvergerer samtidigt, i hvilket tilfælde deres grænser falder sammen. (Princippet om lokalisering). $x_{0}$ $f$ $g$ $x_{0}$ $S_N(f;x_0)$ $S_N(g;x_0)$
Hvis en funktion er differentierbar i et punkt , så konvergerer dens Fourier-serie til det punkt . Mere præcise tilstrækkelige betingelser med hensyn til glatheden af en funktion er givet af Dini-testen . $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $f$
En funktion, der er kontinuert i et punkt, kan have en Fourier-række divergerende ved sig. Men hvis det konvergerer, så med alle midler at . Dette følger af det faktum, at for en kontinuerlig funktion konvergerer sekvensen i betydningen Cesàro til . $x_{0}$ $f(x_{0})$ $x_{0}$ $f$ $S_N(f;x_0)$ $f(x_{0})$
Hvis funktionen er diskontinuerlig ved punktet , men har grænser på dette punkt til højre og venstre, så konvergerer under nogle yderligere betingelser til . Se det ændrede Dini-skilt for detaljer . $f$ $x_{0}$ $f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0),$ $S_N(f;x_0)$ $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$
Carlesons sætning: hvis , så konvergerer dens Fourier-række til det næsten overalt . Dette gælder også hvis . Der er dog funktioner fra , hvis Fourier-række divergerer på alle punkter (et eksempel på en sådan funktion blev konstrueret af Kolmogorov [11] ). $f\in L_2([-\pi,\pi])$ $f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1$ $L_1([-\pi,\pi])$
Lad os rette et punkt . Så er sættet af alle kontinuerte funktioner, hvis Fourier-række konvergerer på dette tidspunkt, mængden af den første kategori i rummet . På en måde betyder det, at en "typisk" kontinuerlig funktion har en divergerende Fourier-række. $x_0\in(-\pi,\pi)$ $C([-\pi,\pi])$

Faldende Fourier-koefficienter og analyticitet af en funktion

Der er en grundlæggende sammenhæng mellem analyticiteten af en funktion og faldhastigheden af dens Fourier-koefficienter. Jo "bedre" funktionen er, jo hurtigere har dens koefficienter tendens til nul og omvendt. Fourier-koefficienternes power-lov-henfald er iboende i klassens funktioner , og det eksponentielle henfald er iboende i de analytiske funktioner . Eksempler på denne form for forbindelse: $C^{(k)}$

Fourier-koefficienterne for enhver integrerbar funktion har en tendens til nul ( Riemann-Lebesgue-lemmaet ).
Hvis en funktion hører til klassen , det vil sige, at den er differentierbare tider og dens -th afledede er kontinuert, så $f$ $C^{(k)}([-\pi,\pi])$ $k$ $k$ $\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)$
Hvis serien konvergerer absolut , så falder den næsten overalt sammen med klassefunktionen for alle . $\sum n^{\alpha}\hat{f}_n$ $f$ $C^{(k)}([-\pi,\pi])$ $k<\alfa$
Hvis en funktion hører til Hölder-klassen med eksponent , så konvergerer rækken absolut ( Bernsteins sætning ). $\alpha>1/2$ $\sum \hat{f}_n$
Hvis , så konvergerer den trigonometriske Fourier-række til en analytisk funktion . $\hat{f}_n=O(a^n),0<a<1$

Se også

Noter

↑ Matematisk encyklopædisk ordbog . - M . : "Ugler. encyklopædi" , 1988. - S. 619 .
↑ Fetter, Alexander L. Theoretical Mechanics of Particles and Continua / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. - Courier, 2003. - S. 209-210. — ISBN 978-0-486-43261-8 . Arkiveret 18. april 2021 på Wayback Machine
↑ Stillwell, John Logik og matematikkens filosofi i det nittende århundrede // Routledge History of Philosophy / Ten, CL. - Routledge , 2013. - T. Bind VII: Det nittende århundrede. - S. 204. - ISBN 978-1-134-92880-4 . Arkiveret16. maj 2020 påWayback Machine
↑ Florian Cajori . En historie om matematik . - Macmillan, 1893. - S. 283.
↑ Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (fransk) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1829. - Bd. 4 . - S. 157-169 . - arXiv : 0806.1294 .
↑ Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe (tysk) ? . Habilitationsschrift , Göttingen ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , bd. 13, 1867. Udgivet posthumt for Riemann af Richard Dedekind . Hentet 19. maj 2008. Arkiveret fra originalen 20. maj 2008. (ubestemt)
↑ Mascre, D. & Riemann, Bernhard (1867), Posthum afhandling om repræsentation af funktioner ved trigonometriske serier , i Grattan-Guinness, Ivor, Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 , Elsevier, 2005 , < https://books .google.com/books?id=UdGBy8iLpocC >
↑ Remmert, Reinhold. Teori om komplekse funktioner: Aflæsninger i matematik (engelsk) . - Springer, 1991. - S. 29. Arkiveret 16. maj 2020 på Wayback Machine
↑ Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. Analyse af økonomiske tidsserier. Økonomisk teori, økonometri og matematisk økonomi (engelsk) . - Elsevier , 1995. - ISBN 0-12-515751-7 .
↑ Flugge, Wilhelm. Statik und Dynamik der Schalen (tysk) . - Berlin: Springer-Verlag , 1957. Arkiveret 14. maj 2020 på Wayback Machine
↑ V. M. Tikhomirov, V. V. Uspensky . De første Fields-pristagere og sovjetisk matematik i 1930'erne. I. - Matematik. oplysning, ser. 3, 2, MTsNMO, M., 1998, 21-40.

Litteratur

Zhuk VV, Natanson GI Trigonometrisk Fourier-serie og elementer af tilnærmelsesteori. - L . : Forlag Leningrad. un-ta, 1983. - 188 s.
Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 1976.
Piskunov N. S. Differential- og integralregning for VTUZ'er. - M . : "Nauka", 1964. - T. 2.
Sigmund A. Trigonometrisk serie. - M . : "Mir", 1965. - T. 1.
Hardy G. Kh. , Rogozinsky V. V. Fourier-serien. — M .: Fizmatgiz , 1959.

Links

Repræsentation af periodiske signaler. Fourier-serien . (ubestemt)
Nogle egenskaber ved udvidelsen af periodiske signaler i en Fourier-serie . (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX540313 BNF : 11979488t J9U : 987007548250805171 LCCN : sh85051090 NDL : 00562088 NKC : ph135377

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række