Walsh funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. august 2019; checks kræver 2 redigeringer .

Walsh-funktioner er en familie af funktioner, der danner et ortogonalt system og tager kun værdier +1 og -1 over hele definitionsdomænet.

I princippet kan Walsh-funktioner repræsenteres i kontinuerlig form, men oftere defineres de som diskrete sekvenser af elementer. En gruppe af Walsh-funktioner danner en Hadamard-matrix . $2^{n}$ $2^{n}$

Walsh-funktioner er blevet udbredt i radiokommunikation, hvor de bruges til at implementere kodedelingskanaler ( CDMA ), for eksempel i cellulære standarder såsom IS-95, CDMA2000 eller UMTS .

Systemet af Walsh-funktioner er en ortonormal basis og tillader som et resultat at dekomponere vilkårlige bølgeformsignaler til en generaliseret Fourier-serie .

En generalisering af Walsh-funktionerne til tilfælde af mere end to værdier er Vilenkin-Chrestenson-funktionerne .

Betegnelse

Lad Walsh-funktionen være defineret på intervallet [0, T ]; uden for dette interval gentages funktionen periodisk. Lad os introducere dimensionsløs tid . Så er Walsh-funktionen nummereret k betegnet som . Nummereringen af funktioner afhænger af metoden til bestilling af funktionerne. Der er en Walsh-bestilling - i dette tilfælde er funktionerne angivet som beskrevet ovenfor. Paley ( ) og Hadamard ( ) bestilling er også almindelige . $\theta =t/T$ $\operatørnavn {wal} (k,\theta )$ $\operatørnavn {pal} (p,\theta )$ $\operatørnavn {had} (h,\theta )$

Med hensyn til øjeblikket kan Walsh-funktioner opdeles i lige og ulige. De er mærket som hhv . Disse funktioner ligner trigonometriske sinus og cosinus. Forholdet mellem disse funktioner er udtrykt som følger: $\theta=0$ $\operatørnavn {cal} (k,\theta )$ $\operatørnavn {sal} (k,\theta )$

\operatørnavn {cal} (k,\theta )=\operatørnavn {wal} (2k,\theta ),

\operatørnavn {sal} (k,\theta )=\operatørnavn {wal} (2k-1,\theta ).

Formation

Der er flere måder at danne sig på. Overvej en af dem, den mest illustrative: Hadamard-matricen kan dannes ved en rekursiv metode ved at konstruere blokmatricer i henhold til følgende generelle formel:

H_{2^{n}}={\begin{bmatrix}H_{2^{n-1}}&H_{2^{n-1}}\\H_{2^{n-1}} &-H_{2^{n-1}}\end{bmatrix}}.

Sådan kan Hadamard- længdematricen dannes : $2^{n}$

H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix)),

H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix)),

H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix)),

H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmatrix}},

Hver række af Hadamard-matricen er en Walsh-funktion.

I dette tilfælde er funktionerne ordnet efter Hadamard. Walsh-funktionsnummeret beregnes ud fra Hadamard-funktionsnummeret ved at omarrangere bitsene i tallets binære notation i omvendt rækkefølge, efterfulgt af at konvertere resultatet fra Gray-koden .

Eksempel

Walsh nummer	binær form	Konverter fra grå kode	Bit swap	Nummer ifølge Hadamard
0	000	000	000	0
en	001	001	100	fire
2	010	011	110	6
3	011	010	010	2
fire	100	110	011	3
5	101	111	111	7
6	110	101	101	5
7	111	100	001	en

Resultatet er en Walsh-matrix, hvori funktionerne er ordnet efter Walsh:

W_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1 1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.

Egenskaber

1. Ortogonalitet

Punktproduktet af to forskellige Walsh-funktioner er nul:

\int \limits _{0}^{1}\operatørnavn {wal} (n,\theta )\cdot \operatørnavn {wal} (k,\theta )\,d\theta =0\qquad {\ tekst{med }}k\neq n.

Eksempel

Lad os antage, at n = 1, k = 3 (se ovenfor). Derefter

\int \limits _{0}^{1}\operatørnavn {wal} (1,\theta )\cdot \operatornavn {wal} (3,\theta )\,d\theta =

=\int \limits _{0}^{1/4}1^{2}\,d\theta +\int \limits _{1/4}^{1/2}1\cdot (- 1)\,d\theta +\int \limits _{1/2}^{3/4}(-1)\cdot 1\,d\theta +\int \limits _{3/4}^{1 }(-1)^{2}\,d\theta =0.

2. Multiplikativitet

Produktet af to Walsh-funktioner giver Walsh-funktionen:

\operatornavn {wal} (n,\theta )\cdot \operatornavn {wal} (k,\theta )=\operatørnavn {wal} (i,\theta ),

hvor er bitvis addition modulo 2 af tal i det binære system. $i=n\plus k$

Eksempel

Lad os antage, at n = 1, k = 3. Så

n\oplus k=01_{2}\oplus 11_{2}=10_{2}=2.

Som et resultat af multiplikation får vi:

{\begin{array}{|c|c|c|c||c|}&&&&n\\\hline 1&1&-1&-1&\operatorname {wal} (1,\theta )\\1&-1&1&- 1&\operatørnavn {wal} (3,\theta )\\\hline 1&-1&-1&1&\operatørnavn {wal} (2,\theta )\\\end{array}}

Walsh-Hadamard transformation

Det er et særligt tilfælde af den generaliserede Fourier-transformation , hvor systemet af Walsh-funktioner fungerer som grundlag.

Den generaliserede Fourier-række er repræsenteret ved formlen

S(t)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}\cdot u_{i}(t),

hvor er en af basisfunktionerne og er en koefficient. $u_{i}$ $c_{i}$

Udvidelsen af signalet i Walsh-funktioner har formen

S(t)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatornavn {wal} (k,t/T).

I diskret form er formlen skrevet som følger:

S(n)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatornavn {wal} (k,n).

Koefficienterne kan bestemmes ved at udføre skalarproduktet af det dekomponerede signal ved hjælp af den tilsvarende grundlæggende Walsh-funktion: $c_{i}$

c_{k}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}S(t)\cdot \operatornavn {wal} (k,t/T)\, dt.

Den periodiske karakter af Walsh-funktionerne bør tages i betragtning.

Der er også en hurtig Walsh-transformation [1] . Den er meget mere effektiv end Walsh-Hadamard-transformationen [2] . For det specielle tilfælde med to variable er Walsh-funktionerne desuden generaliseret som overflader [3] . Der er også otte baser af ortogonale binære funktioner svarende til Walsh-funktionerne [4] , der adskiller sig i uregelmæssig struktur, som også er generaliseret til tilfældet med funktioner af to variable. For hver af de otte baser er repræsentationen af "trin"-funktioner i form af en endelig sum af binære funktioner, vægtet med de passende koefficienter [5] blevet bevist .

Litteratur

Baskakov S. I. Radiotekniske kredsløb og signaler. - M . : Higher School, 2005. - ISBN 5-06-003843-2 .
Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh-serier og transformationer: teori og anvendelser. — M .: Nauka, 1987.
Zalmanzon L. A. Fourier, Walsh, Haar transformationer og deres anvendelse inden for kontrol, kommunikation og andre områder. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014094-5 .

Se også

Noter

↑ HURTIG WALSH TRANSFORMATION. V. N. Malozyomov Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine .
↑ Fast Walsh Transform Arkiveret 27. marts 2014 på Wayback Machine .
↑ Romanuke VV OM PUNKTET AT GENERALISERE WALSH-FUNKTIONERNE TIL OVERFLADER Arkiveret 16. april 2016 på Wayback Machine .
↑ Romanuke VV GENERALISERING AF DE otte KENDTE ORTHONORMALE BASISER AF BINÆRE FUNKTIONER TIL OVERFLADER Arkiveret 5. oktober 2016 på Wayback Machine .
↑ Romanuke VV EKSKVIDISTANT DISKRET PÅ ARGUMENTAKSEFUNKTIONERNE OG DERES REPRÆSENTATION I DEN ORTHONORMAL BASES SERIES Arkiveret 10. april 2016 på Wayback Machine .