Givens tur

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. november 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Giver rotation -in lineær algebra , en lineær operator til at rotere en vektor med en given vinkel .

Givens matrix [1] [2] [3]

Givens-matricen har følgende form: ${\displaystyle G_{kl))$

$G_{kl}={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cos {\ phi }&\cdots &-\sin {\phi }&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\sin {\phi }&\cdots &\ cos {\phi }&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix))$

Denne matrix adskiller sig kun fra identitetsmatrixen ved hjælp af submatrixen

$M(\phi )={\begin{bmatrix}\cos {\phi}&-\sin {\phi }\\\sin {\phi}&\cos {\phi}\end{bmatrix))$

placeret på rækker og kolonner med tal og . Er ortogonal. $k$ $l$

Hvis en vektor , er givet , så vælges $a={\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ $s={\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))}\neq 0$

cos ⁡ ϕ = -en k -en k 2 + -en l 2 {\displaystyle \cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))} $\cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))$ synd ⁡ ϕ = − -en l -en k 2 + -en l 2 {\displaystyle \sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))} $\sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))$

du kan sætte den th komponent af vektoren til nul : $l$ $-en$

[ cos ⁡ ϕ − synd ⁡ ϕ synd ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ] [ -en k -en l ] = [ cos ⁡ ϕ ⋅ -en k − synd ⁡ ϕ ⋅ -en l synd ⁡ ϕ ⋅ -en k + cos ⁡ ϕ ⋅ -en l ] = [ -en k 2 + -en l 2 -en k 2 + -en l 2 − -en l ⋅ -en k + -en k ⋅ -en l -en k 2 + -en l 2 ] = [ -en k 2 + -en l 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\phi}&-\sin {\phi}\\\sin {\phi}&\cos {\phi}\end{bmatrix)){\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi}\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatrix}}}

{\begin{bmatrix}\cos {\phi}&-\sin {\phi}\\\sin {\phi}&\cos {\phi}\end{bmatrix)){\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi}\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatrix}}

Ved hjælp af Givens rotationer kan man beregne QR-nedbrydningen af matricer og tegne hermitiske matricer til en tridiagonal form.

Brug af Givens-matricer til tridiagonalisering

Lad os reducere en symmetrisk matrix til en tridiagonal form: $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1p}&\cdots &a_{1q}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \ \a_{p1}&\cdots &a_{pp}&\cdots &a_{pq}&\cdots &a_{pn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{q1}&\cdots &a_{ qp}&\cdots &a_{qq}&\cdots &a_{qn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{np}&\cdots &a_{nq}& \cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

Hvor . Så gange vi det med Givens rotationsmatrix :. er den transponerede matrix. Dette vil kun ændre elementerne og $a_{pq}=a_{qp}$ $G'_{pq}(\theta )AG_{pq}(\theta )$ $G$ $a_{pp}$ ${\displaystyle a_{pq))$ ${\displaystyle a_{qq))$

${\displaystyle a'_{pp}=c^{2}a_{pp}+2csa_{pq}+s^{2}a_{qq))$

${\displaystyle a'_{pq}=sc(a_{qq}-a_{pp})+(c^{2}-s^{2})a_{pq))$

${\displaystyle a'_{qq}=s^{2}a_{pp}-2csa_{pq}+c^{2}a_{qq))$

Her betegner primtal det element, der vises efter rotationen. Lad os vælge koefficienterne , så det off-diagonale element sættes til nul og forholdet mellem og med og $c$ $s$ $c$ $s$ $\cos \phi$ $\sin \phi$

Derefter: $\phi =1/2\tan ^{-1}(2a_{pq}/(a_{pp}-a_{qq}))$

$c=\cos \phi$

$s=\sin\phi$

En sådan rotation anvendes sekventielt for at nulstille alle elementerne i den første række, undtagen de to første. Det vil sige (1,2), (1,3), (1,4)...(1,n) Derefter den anden linje (2,3),(2, 4)...(2) ,n)

C++ kode:

for ( ufortegn int i = 0 ; i < N -1 ; ++ i ) { for ( ufortegn int j = i + 2 ; j < N ; ++ j ) { t = 2 * matr [ i ][ j ] / ( matr [ i ][ i ] - matr [ j ][ j ]); phi = 0,5 * atan ( t ); c = cos ( phi ); s = sin ( phi ); bii = c * c * matr [ i ][ i ] + 2 * c * s * matr [ i ][ j ] + s * s * matr [ j ][ j ]; bij = s * c * ( matr [ j ][ j ] - matr [ i ][ i ]) + matr [ i ][ j ] * ( c * c - s * s ); bjj = s * s * matr [ i ][ i ] + c * c * matr [ j ][ j ] - 2 * c * s * matr [ i ][ j ]; bji = bij ; matr [ i ][ i ] = bii ; matr [ i ][ j ] = ved ; matr [ j ][ i ] = bji ; matr [ j ][ j ] = bjj ; } }

Noter

↑ Tyrtyshnikov E. E. Metoder til numerisk analyse. - M. , 2006. - S. 73-74.
↑ Björck, Åke, 1934-. Numeriske metoder til mindst kvadraters problemer . - Philadelphia: SIAM, 1996. - S. 121-123. — xvii, 408 sider s. - ISBN 0-89871-360-9 , 978-0-89871-360-2.
↑ Demmel, James W. Anvendt numerisk lineær algebra . - Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. - S. 53-56. — xi, 419 sider s. - ISBN 0-89871-389-7 , 978-0-89871-389-3, 0-89871-361-7, 978-0-89871-361-9.