Symmetrisk relation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. september 2018; checks kræver 4 redigeringer .

I matematik kaldes en binær relation på en mængde X symmetrisk for hvert par af elementer i mængden , opfyldelsen af relationen medfører opfyldelsen af relationen . $R$ $(a,b)$ $a\,R\,b$ $b\,R\,a$

Formelt er relationen symmetrisk hvis . $R$ $\forall a,b\in X,\ a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$

Antisymmetrien af en relation er ikke antonymet til en symmetrisk relation. Begge egenskaber er sande for nogle forhold på samme tid, og for andre er ingen af dem sande. Det kan betragtes som et antonym til en asymmetrisk relation , da den eneste binære relation, der er både symmetrisk og asymmetrisk, er en tom relation.

Eksempler

Enhver ækvivalensrelation er per definition symmetrisk (såvel som refleksiv og transitiv ). Forbindelsesrelationen mellem hjørnerne af en graf (urettet) er også symmetrisk.

Er ikke symmetriske (undtagen i tilfælde af identisk falskhed af relationen) ordensrelationer (både fuld og delvis), såvel som sekvensforholdet mellem hjørnerne af en rettet graf . Sammenlignelighedsrelationen for en partiel orden er imidlertid, ved konstruktion, symmetrisk (dog, i modsætning til ordenen selv, ikke transitiv) .

Den symmetriske forholdsmatrix er symmetrisk i forhold til hoveddiagonalen (falder sammen med den transponerede). Hvis der er en forbindelse mellem to hjørner i en graf af en symmetrisk relation, så er der også en feedback.