Ni punkt cirkel centrum

Ni punkt cirkel centrum
Trekanten, den omskrevne cirkel omkring den (sort) og dens centrum (sort), højderne af trekanten (den del af højden, der er placeret inde i Euler-cirklen er blå, og uden for den er sort) og cirklen med ni punkter ( blå) og dens centrum (blå)
barycentriske koordinater	$a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:$ $b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:$ ${\displaystyle c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2))$
Trilineære koordinater	$\cos(BC):\cos(CA):\cos(AB)$
ECT kode	X(5)
Forbundne prikker
isogonalt konjugeret	punkt Kosnita

Centrum af cirklen med ni punkter er et af trekantens bemærkelsesværdige punkter . Det omtales ofte som . $O_{9}$

Cirkel af ni punkter , eller Eulers cirkel, passerer gennem ni vigtige punkter i trekanten - midtpunkterne på siderne, baserne af de tre højder og midtpunkterne af segmenterne, der forbinder orthocenteret med trekantens hjørner. Centrum af denne cirkel er angivet som punkt X(5) i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centres [1] [2] .

Egenskaber

Centrum af ni-punktscirklen ligger på trekantens Euler-linje midt mellem orthocenteret og midten af den omskrevne cirkel . Centroidet ligger også på denne linje i en afstand af 2/3 fra orthocenter til centrum af den omskrevne cirkel [2] [3] , således at $O_{9}$ $H$ $O$ $M$

O_{9}O=O_{9}H=3O_{9}M~.

Således, hvis et par af disse fire centre er kendt, er positionen af de to andre let at finde.

Andrew Guinand i 1984, der undersøgte problemet nu kendt som Euler -trekantproblemet , viste, at hvis placeringen af disse centre for en ukendt trekant er givet, så ligger trekantens centrum inde i den ortocentroidale cirkel (en cirkel, hvis diameter er segmentet mellem tyngdepunktet og orthocenteret). Kun ét punkt inde i denne cirkel kan ikke være midten af den indskrevne cirkel - det er midten af ni punkter. Ethvert andet punkt inde i denne cirkel definerer en enkelt trekant [4] [5] [6] [7] .
Afstanden fra midten af cirklen på ni punkter til midten opfylder formlerne: $jeg$

IO_{9}<{\dfrac {1}{2}}IO~,

IO_{9}={\dfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}}~,

2R\cdot IO_{9}=OI^{2}~,

hvor og er radierne af henholdsvis de omskrevne og indskrevne cirkler. $R$ $r$

Det ni-punkts cirkelcentrum er midten af de omskrevne cirkler i midtertrekanten , ortotrekanten , og Eulertrekanten [8] [3] . Generelt set er dette punkt midten af den omskrevne cirkel i en trekant, der har tre af de ni anførte punkter som toppunkter.
Midten af cirklen med ni punkter falder sammen med tyngdepunktet af fire punkter - tre punkter i trekanten og dens ortocenter [9] .
Af de ni punkter på Euler-cirklen er tre midtpunkterne i segmenterne, der forbinder hjørnerne med ortocentret (hjørnerne i Euler-Feuerbach-trekanten). Disse tre punkter er refleksioner af midtpunkterne af trekantens sider omkring midten af cirklen med ni punkter.
Således tjener midten af cirklen med ni punkter som symmetriens centrum , og oversætter den midterste trekanten til Euler-Feuerbach trekanten (og omvendt) [3] .
Ifølge Lesters sætning ligger midten af cirklen med ni punkter på den samme cirkel med tre andre punkter - to Fermat-punkter og midten af den omskrevne cirkel [10] .

Kosnita-punktet i en trekant, forbundet med Kosnitas sætning , er isogonalt konjugeret med ni-punkts cirkelcentrum [11] . (se billede.)
Linjen, der går gennem de to punkter i Vecten og skærer Euler-linjen i midten af trekantens ni punkter . $X(485)X(486)$ $X(485)$ $X(486)$ $ABC$

De trilineære koordinater for ni-punkts cirkelcentrum er [1] [2] :

\cos(BC):\cos(CA):\cos(AB)

=\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B

=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B

=bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2 }(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^ {2})-(a^{2}-b^{2})^{2}]~.

a\cos(BC):b\cos(CA):c\cos(AB)

=a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{ 2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^ {2}-b^{2})^{2}~.

↑ 1 2 Kimberling, 1994 , s. 163-187.
↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Triangle Centres , tilgået 2014-10-23.
↑ 1 2 3 Dekov, 2007 .
↑ Stern, 2007 , s. 1-9.
↑ Euler, 1767 , s. 103-123.
↑ Guinand, 1984 , s. 290-300.
↑ Franzsen, 2011 , s. 231-236.
↑ Her skal man ikke forveksle Eulertrekanten fra talteorien (som Pascals trekant) og Eulertrekanten som en trekant dannet af Eulerpunkter. Eulerpunkterne er midtpunkterne i segmenterne, der forbinder orocentret med trekantens spidser.
↑ Encyclopedia of Triangle Centres tilskriver denne observation Randy Hutson (2011).
↑ Yiu, 2010 , s. 175-209.
↑ Rigby, 1997 , s. 156-158.

Kimberling. Centrale punkter og centrale linjer i en trekants plan // Mathematics Magazine. - 1994. - T. 67 , no. 3 . — .
Hård. Eulers trekantsbestemmelsesproblem // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7 .
Dekov. Ni-punkts center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. – 2007.
Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum (latinsk) // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1767. - T. 11 .
Andrew P. Guinand. Euler-linjer, tritangentcentre og deres trekanter // American Mathematical Monthly . - 1984. - T. 91 , no. 5 . — .
William N Franzsen. Afstanden fra centrum til Euler-linjen // Forum Geometricorum. - 2011. - Udgave. 11 .
Paul Yiu. Lester, Evans, Parrys kredse og deres generaliseringer // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .

Rigby. Korte noter om nogle glemte geometriske sætninger // Mathematics and Informatics Quarterly. - 1997. - Bd. 7.

Weisstein, Eric W. Nine-Point Center (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex