Shamrock (knude)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. juli 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Shamrock
Venstrehåndet shamrock
Notation
Conway	[3]
Alexander-Briggs	3 1
Dowker	4, 6, 2
Polynomier
Alexander	$t-1+t^{{-1}}$
Jones	$q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}$
Kaufman	${\displaystyle za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2))$
Conway	$z^{2}+1$
HØFLIGT	${\displaystyle -\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2))$
Invarianter
Arfa invariant	en
Fletningslængde	3
Antal tråde	2
Antal broer	2
Antal film	en
Antal kryds	3
Slægt	en
Antal segmenter	6
Antal tunneler	en
Løsne nummer	en
Ejendomme
Almindelig , torisk , vekslende , blonder , uklippet , bilateral , trefarvet , snoet , lagdelt
Mediefiler på Wikimedia Commons

I knudeteorien er trefoil [1] den enkleste ikke-trivielle knude . En shamrock kan opnås ved at samle 2 frie ender af en almindelig simpel knude , hvilket resulterer i en knudret ring . Som den enkleste knude er trefoil et grundlæggende emne i studiet af den matematiske teori om knob , som har mange anvendelser inden for topologi , geometri , fysik , kemi og illusionisme .

Beskrivelser

Shamrocken kan defineres som en kurve, der stammer fra følgende parametriske ligninger :

{\begin{cases}x=\sin t+2\sin 2t,\\y=\cos t-2\cos 2t,\\z=-\sin 3t.\end{cases))

(2,3) - torusknuden er en trefoil. Følgende parametriske ligninger definerer en (2,3)-torusknude på en torus : $(r-2)^{2}+z^{2}=1$

{\begin{cases}x=(2+\cos 3t)\cos 2t,\\y=(2+\cos 3t)\sin 2t,\\z=\sin 3t.\end{cases} }

Enhver kontinuerlig deformation af denne kurve betragtes også som en trefoil. Især en hvilken som helst kurve isotopisk til en trefoil betragtes også som en trefoil. Derudover betragtes spejlbilledet af en shamrock også som en shamrock. I topologi og knudeteori er en trefoil normalt defineret ved hjælp af et diagram .

I algebraisk geometri kan trekløveret opnås som skæringspunktet i C 2 af enhedens 3-sfære S 3 med den komplekse plankurve af nuller af det komplekse polynomium z 2 + w 3 ( semicubic parabel ).

Hvis den ene ende af tapen vendes 3 gange og derefter limes til den anden ende, får vi en shamrock [2] .

Symmetri

Shamrocken er chiral i den forstand, at shamrocken er forskellig fra sit eget spejlbillede. De to varianter af shamrocken er kendt som venstrehåndet og højrehåndet . Det er umuligt at transformere den venstrehåndede variant til den højrehåndede variant på en kontinuerlig måde eller omvendt ved deformation, det vil sige, at disse to shamrocks ikke er isotopiske.

Selvom shamrocken er chiral, er den vendbar , hvilket betyder, at det er ligegyldigt, om shamrocken går med uret eller mod uret.

Ikke-trivialitet

Shamrocken er ikke-triviel, hvilket betyder, at det ikke er muligt at "løse" shamrocken i 3D uden at skære den over. Matematisk betyder det, at trefoilen ikke er isotopisk for den trivielle knude . Især er der ingen sekvens af Reidemeister-bevægelser , hvorved knuden løses.

Beviset for dette kræver konstruktionen af en knudeinvariant , som er forskellig fra den trivielle knudeinvariant. Den enkleste sådan invariant er en trefarvet farvning - en trefoil tillader en trefarvet farvning, men en triviel knude gør det ikke. Ethvert grundlæggende trefoil -knudepolynomium adskiller sig også fra det trivielle knudepolynomium, ligesom de fleste andre invarianter.

Klassifikation

I knudeteori er trekløveren den første ikke-trivielle knude og den eneste knude med tre skæringspunkter . Det er prime og er opført med nummer 3 1 i Alexander-Briggs notation . Dowkers notation for shamrock er 4 6 2, og Conways notation for shamrock er [3].

Shamrocken kan beskrives som en (2,3) -torus knude . Du kan få denne node ved at lukke fletningen σ 1 3 .

Shamrocken er en vekslende knude . Det er dog ikke en cut node , hvilket betyder, at den ikke begrænser en 2-disk til en 4-d-sfære. For at vise dette skal det bemærkes, at dens signatur er ikke- nul. Et andet bevis er, at Alexander-polynomiet ikke opfylder Fox-Milnor-betingelsen .

Shamrocken er fibret , hvilket betyder, at dens ' s komplement er en lokalt triviel fibrering over en cirkel . I trefoil-modellen som et sæt af par af komplekse tal, sådan at og , har dette lokalt trivielle bundt Milnor - kortlægningen som bundtet , og den udstansede torus som bundtoverfladen. $S^{3}$ $S^{1}$ $(z,w)$ $|z|^2+|w|^2=1$ $z^2+w^3=0$ $\phi(z,w)=( z^2+w^3)/|z^2+w^3|$

Invarianter

Trefoilens Alexanderpolynomium er

\Delta (t)=t-1+t^{-1},

og Conway polynomiet [3] er

\nabla(z) = z^2 + 1.

Jones polynomium -

V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},

og trefoilens Kaufman-polynomium er

L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}- 2a^{2}.

Shamrock -knudegruppen er givet af repræsentationen

\langle x,y\midt x^{2}=y^{3}\rangle

eller tilsvarende [4] ,

\langle x,y\midt xyx=yxy\rangle .

Denne gruppe er isomorf for flettegruppen med tre tråde.

Shamrocks i religion og kultur

Som den enkleste ikke-trivielle knude er shamrocken et hyppigt motiv i ikonografi og kunst .

Oldnordisk Mjolnir vedhæng med shamrock
Simpelt triquetra symbol
tæt triquetra
tysk Valknut
Metal Valknut i form af en shamrock
Shamrock brugt i aTV- logoet
Orienterbar overflade afgrænset af en trefoil
Möbius-stribe , afgrænset af en trefoil

Den er til stede på de seneste moderne norske mønter af Harald Hardrod (1047-1066), for hvilke denne tredobbelte knude er blevet det mest typiske billede, som normalt fylder det forside felt. [5]

Til stede på vesteuropæiske mønter, der stammer fra de karolingiske mønter og især fra ærkebiskoppens værksteder i Andernach, Köln, Huy eller Strasbourg (531), kan det tredobbelte knudemotiv højst sandsynligt udelukkende betragtes som et symbol på den hellige treenighed. [5]

Til stede på førkristne mønter i York og Hedeby og på gravsten fra det 8.-9. århundrede. på øen Gotland. [5]

Se også

Liste over simple knob
Nodeliste

Noter

↑ Sosinsky A.B. Noder. Kronologi af en matematisk teori. - S. 15 - Moskva: Bureau Quantum, 2009. - ISBN 978-5-85843-090-2
↑ Shaw, 1933 , s. elleve.
↑ 3_1 Arkiveret 30. august 2013 på Wayback Machine , The Knot Atlas.
↑ Weisstein, Eric W. Trefoil Knot på Wolfram MathWorld- webstedet . Tilgået: 5. maj 2013.
↑ 1 2 3 Kersnovsky R. Mønt i middelalderens kultur. - pr. fra polsk. og kommentere. cand. ist. Videnskaber. T.Yu. Stukalova - S. 414 - Moskva: 2018 - ISBN: 978-5-89076-320-4

Litteratur

George Russell Shaw. Knob: Nyttig og dekorativ. - 1933. - ISBN 978-0-517-46000-9 .

Links

Wolframalpha: (2,3)-torus knude

Teori om knob og led
Hyperbolsk	Otte (4 1 ) Tre halve omgange (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par Percos (10 161 ) Blonder (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromæiske ringe (63 2) L10a140
satellit	Sammensatte ( babiy ) lige Summen af knob
torisk	Trivielt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Frakoblet (02 1) Hopf (22 1) Salomon (42 1)
Invarianter	skiftevis Arfa invariant Antal broer ( 2-broer ) Brunnsk link Chiralitet ( reversibel ) Antal film Antal kryds Vasiliev invariant Hyperbolsk volumen Khovanovs homologi Slægt Nodegruppe Gear gruppe Gearforhold Polynomier ( Alexander Kauffman beslag HØFLIGT Jones Kaufman ) Blondeforlovelse Simpel knude ( liste ) Antal segmenter Antal trefarvede farver Antallet af og opgaven med afbinding
Notation og operationer	Alexander-Briggs notation Conway notation Docker-notation Mutation Reidemeister-bevægelsen Skene forhold
Andet	Alexanders teorem Berge knude fletningsteori Conway sfære Node færdiggørelse Dobbelt torus knude Lagdelt knude Tape Skære Summen af knob Tates hypoteser Snoet Vild Twist nummer Seifert overflade