Knudepolynomium

I knudeteori er et knudepolynomium en knudeinvariant i form af et polynomium , hvis koefficienter koder for nogle egenskaber ved en given knude .

Historie

Det første knudepolynomium , Alexanderpolynomiet , blev introduceret af James Alexander i 1923 , men andre knudepolynomier blev først fundet næsten 60 år senere.

I 1960'erne foreslog John Conway nøglerelationer for en version af Alexander-polynomiet, almindeligvis omtalt som Alexander-Conway-polynomiet . Vigtigheden af nøgleforhold blev ikke værdsat før i 1980'erne, da Vaughn Jones opdagede Jones-polynomiet . Denne opdagelse førte til opdagelsen af flere polynomier, såsom HOMFLY polynomiet .

Kort efter Jones' opdagelse bemærkede Louis Kaufman , at Jones-polynomiet kunne beregnes i form af en sum-of-states-model, der bruger Kaufman-parenteserne , en invariant af knob . Dette banede vejen for forskning inden for knudebindingsteori og statistisk mekanik .

I slutningen af 1980'erne blev der gjort to gennembrud: Edward Witten demonstrerede, at Jones polynomiet og lignende invarianter af denne type er beskrevet i Chern-Simons teorien ; Viktor Vasiliev og Mikhail Gusarov skabte teorien om invarianter af endelig type af knob. Det er kendt, at koefficienterne for de nævnte polynomier er af finit type (måske efter en vis "substitution af variable").

I 2003 er Alexander-polynomiet vist at være relateret til Floer-homologien . Den graderede Euler -homologi karakteristisk for Hegaard-Floer Ozwat og Szabo er et Alexander-polynomium [1] .

Eksempel

Alexander-Briggs indgang	Alexander polynomium $\Delta(t)$	Conway polynomium $\nabla (z)$	Jones polynomium $V(q)$	Polynomium HOMFLY $H(a,z)$
$0_{1}$ ( Triviel knude )	$en$	$en$	$en$	$en$
$3_{1}$ ( Shamrock )	$t-1+t^{{-1}}$	$z^{2}+1$	$q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}$	$-a^{{4}}+a^{{2}}z^{{2}}+2a^{{2}}$
$4_{1}$ ( Otte )	$-t+3-t^{{-1}}$	$-z^{2}+1$	$q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}$	$a^{{2}}+a^{{-2}}-z^{{2}}-1$
$5_{1}$ ( Cinquefoil )	$t^{2}-t+1-t^{{-1}}+t^{{-2}}$	$z^{4}+3z^{2}+1$	$q^{{-2}}+q^{{-4}}-q^{{-5}}+q^{{-6}}-q^{{-7}}$	$-a^{{6}}z^{{2}}-2a^{{6}}+a^{{4}}z^{{4}}+4a^{{4}}z^{{ 2}}+3a^{{4}}$
$-$ ( Baby knude )	$\venstre(t-1+t^{{-1}}\højre)^{2}$	$\venstre(z^{2}+1\højre)^{2}$	$\venstre(q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}\højre)^{2}$	$\left(-a^{{4}}+a^{{2}}z^{{2}}+2a^{{2}}\right)^{2}$
$-$ ( Lige knude )	$\venstre(t-1+t^{{-1}}\højre)^{2}$	$\venstre(z^{2}+1\højre)^{2}$	$\left(q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}\right)\left(q+q^{{3}}-q^{{4 }}\ret)$	$\left(-a^{{4}}+a^{{2}}z^{{2}}+2a^{{2}}\right)\gange$ $\left(-a^{{-4}}+a^{{-2}}z^{{-2}}+2a^{{-2}}\right)$

Alexander-Briggs-notationen er en notation, der viser noder efter deres skæringsnummer, normalt under antagelse af, at kun simple noder er på listen (Se List of Simple Knots ).

Bemærk at Alexander polynomiet og Conway polynomiet IKKE KAN skelne mellem venstre og højre shamrocks .

Venstre shamrock.
Den rigtige shamrock.

De skelner heller ikke mellem en kvindeknude og en direkte knude, da sammensætningen af knuder i giver produktet af knudepolynomier. $\mathbb {R} ^{3}$

Se også

Knudepolynomier

Relaterede emner

Skansk relation til den formelle definition af Alexanderpolynomiet.

Noter

↑ Ozsváth, Szabó, 2003 , s. 225-254.

Litteratur

Collin Adams. Knudebogen. — American Mathematical Society. - ISBN 0-8050-7380-9 .
WBR Lickorish. Introduktion til knudeteori. - New York: Springer-Verlag, 1997. - V. 175. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98254-X .
Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homologi og vekslende knob // Geom. Topol. - 2003. - Udgave. 7 .

Teori om knob og led
Hyperbolsk	Otte (4 1 ) Tre halve omgange (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par Percos (10 161 ) Blonder (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromæiske ringe (63 2) L10a140
satellit	Sammensatte ( babiy ) lige Summen af knob
torisk	Trivielt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Frakoblet (02 1) Hopf (22 1) Salomon (42 1)
Invarianter	skiftevis Arfa invariant Antal broer ( 2-broer ) Brunnsk link Chiralitet ( reversibel ) Antal film Antal kryds Vasiliev invariant Hyperbolsk volumen Khovanovs homologi Slægt Nodegruppe Gear gruppe Gearforhold Polynomier ( Alexander Kauffman beslag HØFLIGT Jones Kaufman ) Blondeforlovelse Simpel knude ( liste ) Antal segmenter Antal trefarvede farver Antallet af og opgaven med afbinding
Notation og operationer	Alexander-Briggs notation Conway notation Docker-notation Mutation Reidemeister-bevægelsen Skene forhold
Andet	Alexanders teorem Berge knude fletningsteori Conway sfære Node færdiggørelse Dobbelt torus knude Lagdelt knude Tape Skære Summen af knob Tates hypoteser Snoet Vild Twist nummer Seifert overflade