I knobteorien er et diagram af en knude eller et led vekslende , hvis krydsene veksler - under, over, under, over osv., hvis man går langs hver komponent i forbindelsen. Et link er vekslende , hvis det har et vekslende diagram.
Mange af knuderne med kryds mindre end 10 er alternerende. Denne kendsgerning og de nyttige egenskaber ved vekslende knob, såsom Tates formodninger , har gjort det muligt for nogle forskere, herunder Tate, at kompilere tabeller med relativt få fejl eller udeladelser. De enkleste ikke-alternerende simple knob har 8 skæringspunkter (og der er tre sådanne knob - 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Der er en hypotese om, at når antallet af vejkryds stiger, har procentdelen af ikke-vekslende noder en tendens til 0 eksponentielt hurtigt.
Skiftende links spiller en vigtig rolle i knudeteori og 3 -manifold teori , fordi deres komplementer har nyttige og interessante geometriske og topologiske egenskaber. Og dette gjorde det muligt for Ralph Fox at stille spørgsmålet: "Hvad er en alternerende knude?" . Han spørger således, hvilke egenskaber ved komplementet af en knude, der ikke er relateret til diagrammer, der kan karakterisere skiftende knob.
I november 2015 udgav Joshua Evan Green et fortryk, der etablerer en karakterisering af vekslende led i forhold til definitionen af kontraherende overflader, dvs. definitioner af vekslende led (hvoriblandt vekslende knob er et specialtilfælde) uden at bruge begrebet linkdiagrammer [1] .
Forskellige geometriske og topologiske oplysninger afsløres i skiftende diagrammer. Enkelheden og deleligheden linket er let at se på diagrammet. Antallet af skæringspunkter i det givne skiftende diagram er antallet af skæringspunkter for knuden, og dette er en af Tates berømte formodninger.
Et vekslende knudediagram er i en en-til-en-korrespondance med en plan graf . Hvert skæringspunkt er forbundet med en kant, og halvdelen af de forbundne komponenter i diagrammets komplement er forbundet med toppunkter.
Tates hypoteser:
Tates første to formodninger blev bevist af Morven B. Thistlethwaite , Louis Kaufman og K. i 1987, og i 1991 beviste den samme Thistlethwaite og William Menasco Tates inversionsformodning.
William Menasco , ved at anvende Thurstons hyperboliseringssætning på Haken-manifolds , beviste, at ethvert simpelt uadskilleligt alternerende led er hyperbolsk , dvs. komplementet af et link har Lobachevsky-geometri , medmindre linket er torisk .
Således er det hyperbolske volumen en invariant af mange vekslende led. Mark Lakenby viste, at volumenet har øvre og nedre lineære grænser som funktion af antallet af snoede områder i det givne skiftende diagram.