Fletningsteori

Fletteteori er en gren af topologi og algebra , der studerer fletninger og fletningsgrupper sammensat af deres ækvivalensklasser.

Definition af en le

En fletning af tråde er et objekt bestående af to parallelle planer og i tredimensionelt rum indeholdende ordnede sæt af punkter og , og af ikke-skærende simple buer , der skærer hvert parallelt plan mellem og én gang og forbinder punkter med punkter . $n$ $P_0$ $P_1$ $\mathbb {R} ^{3}$ $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\i P_{0}$ $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\i P_{1}$ $n$ $l_{1},l_{2},\dots ,l_{n}$ $P_{t}$ $P_0$ $P_1$ $\{a_{i}\}$ $\{b_{i}\}$

Det antages normalt, at punkterne ligger på linjen i , og punkterne ligger på linjen i , parallelt med og er placeret under for hver . $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ $l_{0}$ $P_0$ $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}$ $l_{1}$ $P_1$ $l_{0}$ $a_{i}$ $b_{i}$ $jeg$

Fletningerne projiceres på et plan, der går igennem , og denne projektion kan bringes i en generel position, så der kun er et begrænset antal dobbeltpunkter, der ligger parvis i forskellige niveauer, og skæringspunkterne er tværgående . $l_{0}$ $l_{1}$

Fletninger og knuder generaliseres af begrebet et bundt .

Fletningsgruppe

I sættet af alle fletninger med n tråde og med faste , introduceres en ækvivalensrelation. Det bestemmes af homeomorphisms , hvor er området mellem og , som er identiske på . Fletninger og er ækvivalente, hvis der eksisterer en homøomorfi sådan, at . $P_{0},P_{1},\{a_{i}\},\{b_{i}\}$ $h:\Pi \til \Pi$ $\Pi$ $P_0$ $P_1$ $P_{0}\kop P_{1}$ $\alfa$ $\beta$ $h$ $h(\alpha )=\beta$

Ækvivalensklasserne, også kaldet fletninger i det følgende, udgør flettegruppen . En enhedsfletning er en ækvivalensklasse, der indeholder en fletning af n parallelle segmenter. Et spyt , det omvendte af et spyt , er defineret ved en refleksion i et plan $B(n)$ $\alpha^{-1}$ $\alfa$ $P_{{1/2}}$

Tråden af fletningen forbinder til og definerer en permutation, et element i den symmetriske gruppe . Hvis denne permutation er identisk, så kaldes fletningen en farvet (eller ren) fletning. Denne kortlægning definerer en epimorfi på permutationsgruppen af n elementer, hvis kerne er den undergruppe , der svarer til alle rene fletninger, således at der er en kort nøjagtig sekvens $a_i$ $b_{{j_{i}}}$ $S_{n}$ $B(n)$ $S_{n}$ $K(n)$

0\til K(n)\til B(n)\til S_{n}\til 0

Se også

Knutteori
Koreografien af n kroppe er en gren af dynamikken, hvor fletteteori har fundet en anvendelse.

Litteratur

Sosinsky A., Fletninger og knuder. Quantum nr. 2, 1989, s. 6-14

Teori om knob og led
Hyperbolsk	Otte (4 1 ) Tre halve omgange (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par Percos (10 161 ) Blonder (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromæiske ringe (63 2) L10a140
satellit	Sammensatte ( babiy ) lige Summen af knob
torisk	Trivielt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Frakoblet (02 1) Hopf (22 1) Salomon (42 1)
Invarianter	skiftevis Arfa invariant Antal broer ( 2-broer ) Brunnsk link Chiralitet ( reversibel ) Antal film Antal kryds Vasiliev invariant Hyperbolsk volumen Khovanovs homologi Slægt Nodegruppe Gear gruppe Gearforhold Polynomier ( Alexander Kauffman beslag HØFLIGT Jones Kaufman ) Blondeforlovelse Simpel knude ( liste ) Antal segmenter Antal trefarvede farver Antallet af og opgaven med afbinding
Notation og operationer	Alexander-Briggs notation Conway notation Docker-notation Mutation Reidemeister-bevægelsen Skene forhold
Andet	Alexanders teorem Berge knude fletningsteori Conway sfære Node færdiggørelse Dobbelt torus knude Lagdelt knude Tape Skære Summen af knob Tates hypoteser Snoet Vild Twist nummer Seifert overflade