Tates hypoteser

Tates hypoteser er tre hypoteser lavet af matematikeren Peter Guthrie Tate  fra det 19. århundrede, mens han studerede knob [1] . Tates hypoteser involverer begreber fra knudeteori som vekslende knob , chiralitet og twist number . Alle Tates formodninger er blevet bevist, den sidste er omvendte formodninger.

Baggrund

Tate kom med sine hypoteser i slutningen af ​​det 19. århundrede efter at have forsøgt at tabulere alle noder. Som grundlæggeren af ​​knudeteori havde hans arbejde ikke et strengt matematisk grundlag, og det er ikke helt klart, om han udvidede sine hypoteser til alle knob eller kun til skiftende knob . Det viste sig, at de fleste af dem kun er sande for alternerende noder [2] . I Tates formodninger siges et knudediagram at være "reduceret", hvis alle "halse" eller "trivielle krydsninger" fjernes.

Antal skæringspunkter mellem vekslende noder

Tate foreslog, at skæringsnummeret under nogle omstændigheder er en knude-invariant , især:

Ethvert reduceret diagram af et alternerende led har det mindst mulige antal kryds.

Med andre ord er antallet af skæringspunkter for et reduceret alternerende led en knude-invariant. Denne formodning blev bevist af Louis Kaufman, Kunio Murasugi (村杉邦男) og Morven B. Thistlethwaite i 1987 ved hjælp af Jones-polynomiet [3] [4] [5] .

Et geometrisk bevis, der ikke bruger knudepolynomier, blev givet i 2017 af Joshua Green [6] .

Twistnummer og chiralitet

Tates anden hypotese:

Et amficharalt (eller achiralt) alternerende led har nul twistnummer.

Denne formodning blev også bevist af Kaufman og Thistlethwaite [3] [7] .

Spejlvending

Tates inversionshypotese kan angives som følger:

Givet to forkortede alternerende diagrammer og et orienteret simpelt alternerende link, så kan diagrammet transformeres til ved en sekvens af en slags operationer kaldet inversion [8]

Tates inversionshypotese blev bevist af Thistlethwaite og William Menasco i 1991 [9] . Flere andre Tate-hypoteser følger af Tates omvendte formodning:

Alle to reducerede diagrammer af den samme skiftende knude har det samme snoningsnummer.

Dette følger af, at vending bevarer twist-tallet. Dette faktum blev tidligere bevist af Murasugi og Thistlethwaite [7] [10] . Dette følger også af Greens arbejde [6] . For ikke-vekslende knob er denne formodning ikke sand, og Perco- parret er et modeksempel [2] .

Dette resultat indebærer også følgende formodning:

Skiftede amfichirale knuder har et lige antal skæringspunkter [2] .

Dette følger af, at spejlknuden har det modsatte drejningstal. Denne hypotese gælder igen kun for alternerende noder - der er en ikke-alternerende amfichiral node med 15 skæringspunkter [11] .

Se også

Noter

  1. ↑ Lickorish, 1997 , s. 47.
  2. ↑ 1 2 3 Stoimenow, 2008 , s. 285-291.
  3. ↑ 1 2 Kauffman, 1987 , s. 395-407.
  4. ↑ Murasugi, 1987 , s. 187-194.
  5. ↑ Thistlethwaite, 1987 , s. 297-309.
  6. ↑ 12 Greene , 2017 , s. 2133-2151.
  7. ↑ 1 2 Thistlethwaite, 1988 , s. 311-318.
  8. ↑ Weisstein, Eric W. Tait's Knot Conjectures  på Wolfram MathWorld -webstedet .
  9. ↑ Menasco, Thistlethwaite, 1993 , s. 113-171.
  10. ↑ Murasugi, 1987 , s. 317-318.
  11. ↑ Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot  på Wolfram MathWorld -webstedet .

Litteratur