Torisk knude

En torusknude er en speciel slags knude , der ligger på overfladen af en uknyttet torus i . $\mathbb {R} ^{3}$

Et torisk led er et led, der ligger på overfladen af en torus. Hver torus-knude er defineret af et par coprime- heltal og . Torisk kobling opstår, når og ikke er coprime (i dette tilfælde er antallet af komponenter lig med den største fælles divisor og ). En torusknude er triviel , hvis og kun hvis enten , eller er lig med 1 eller −1. Det enkleste ikke-trivielle eksempel er (2,3)-torus-knuden, også kendt som trefoil -knuden . $s$ $q$ $s$ $q$ $s$ $q$ $s$ $q$

Geometrisk repræsentation

Torusknuden kan repræsenteres på geometrisk forskellige måder, topologisk ækvivalent, men geometrisk forskellig.

Den almindeligt anvendte konvention er, at -torus-knuden roterer én gang om torusens cirkulære akse og én gang om torusens rotationsakse . Hvis og ikke er coprime, så får vi et torisk link med mere end én komponent. Konventioner om i hvilken retning gevindene roterer rundt om torus er også forskellige, oftest antages en højreskrue for [1] [2] [3] . $(p,q)$ $q$ $s$ $s$ $q$ $pq>0$

$(p,q)$ -torisk knude kan gives ved parametrisering :

x=r

\cos(p\phi )

y=r

\sin(p\phi)

z=-\sin(q\phi)

hvor og . Den ligger på overfladen af torusen givet af formlen (i cylindriske koordinater ). $r=\cos(q\phi)+2$ $0<\phi<2\pi$ $(r-2)^{2}+z^{2}=1$

Andre parametriseringer er også mulige, da knuderne er defineret op til kontinuerlig deformation. Eksempler på (2,3)- og (3,8)-toriske knob kan fås ved at tage , og i tilfælde af en (2,3)-torisk knude, ved at trække og fra ovenstående parametriseringer og . $r=\cos(q\phi)+4$ $3\cos((pq)\phi )$ $3\sin((pq)\phi )$ $x$ $y$

Egenskaber

En torusknude er triviel , hvis og kun hvis enten , eller er lig med 1 eller −1 [2] [3] . $s$ $q$

Hver ikke-triviel torusknude er enkel og chiral .

$(p,q)$ -torisk knude svarer til -torisk knude [1] [3] . -torisk knude er det omvendte (spejlbillede) af -torisk knude [3] . -torisk knude svarer til -torisk knude bortset fra orientering. $(q,p)$ $(p,-q)$ $(p,q)$ $(-p, -q)$ $(p,q)$

Enhver -torisk knude kan konstrueres af en lukket fletning med tråde. Egnet ord for fletninger [4] : $(p,q)$ $s$

(\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{{p-1}})^{q}

Denne formel bruger konventionen om, at fletningsgeneratorer bruger højredrejninger [2] [4] [5] [6] .

Antallet af skæringer af den -toriske knude med er givet ved formlen: $(p,q)$ $p,q>0$

c=\min((p-1)q,(q-1)p)

Slægten af den toriske knude c er: $p,q>0$

g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).

Alexanderpolynomiet i torusknuden er [1] [4] :

{\frac {(t^{{pq}}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)))

Jones-polynomiet af den (højrehåndede) torusknude er givet af:

t^{{(p-1)(q-1)/2}}{\frac {1-t^{{p+1}}-t^{{q+1}}+t^{{p+ q }}}{1-t^{2}}}

Komplementet af en torus-knude på en 3-sfære er en Seifert-manifold .

Lad være en -dimensionel fjolshue med en disk fjernet indeni, en -dimensionel fjolshue med en intern disk fjernet, og vær kvotientrummet opnået ved at identificere og langs grænsen af cirklen. Komplementet af den toriske knude er en deformationstilbagetrækning af rummet . Således har knudegruppen af en torusknude repræsentationen : $Y$ $s$ $Z$ $q$ $x$ $Y$ $Z$ $(p,q)$ $x$

\langle x,y\midt x^{p}=y^{q}\rangle

Torusknuder er de eneste knob, hvis knudegrupper har ikke-trivielle centre (som er de uendelige cykliske grupper dannet af et element fra denne repræsentation). $x^{p}=y^{q}$

Liste

Trivial knude , 3 1 -knude (2,3) , Potentilla knude (5,2), 7₁-knude (7,2), 8 19 -knude (4,3), 9 1 -knude ( 9,2) , 10 124 - knob (5,3).

Se også

Alternativ node
Knop "Cinquefoil"
Irrationel indpakning omkring torus

Noter

↑ 1 2 3 Livingston, 1993 .
↑ 1 2 3 Murasugi, 1996 .
↑ 1 2 3 4 Kawauchi, 1996 .
↑ 1 2 3 Lickorish, 1997 .
↑ Dehornoy, P. et al. (2000). Hvorfor kan fletninger bestilles? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf Arkiveret 15. april 2012 på Wayback Machine
↑ Birman, Brendle, 2005 .

Litteratur

Charles Livingston. Knutteori. - Mathematical Association of America, 1993. - ISBN 0-88385-027-3 .
Kunio Murasugi. Knotteteori og dens anvendelser . - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-3817-2 .
Akio Kawauchi. En undersøgelse af knudeteori. - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-5124-1 .
WBR Lickorish. Introduktion til knudeteori. - Springer, 1997. - ISBN 0-387-98254-X .
J.S. Birman, T.E. Brandle. Håndbog i knudeteori / W. Menasco, M. Thistlethwaite. - Elsevier, 2005. - ISBN 0-444-51452-X ..
J. Milnor. Enkelte punkter af komplekse hyperoverflader. - Princeton University Press, 1968. - ISBN 0-691-08065-8 .