Conway-notation er en måde at beskrive knob på, hvilket gør mange egenskaber ved knob tydelige. Notationen viser strukturen af knuden, der bygger den ved hjælp af nogle operationer på vævninger . Notationen er udviklet af John Horton Conway .
Vævning (også et bundt eller virvar, virvar) [1] - en genstand bestående af flere tråde, på en eller anden måde placeret i et begrænset område af rummet, med ender på grænsen til dette område; som en knude kan vævning repræsenteres som et diagram på et plan. Conways notation bruger algebraiske 2-vævninger. En 2-vævning består af to buer, der går til de 4 ender af dens diagram. "Algebraisk" betyder, at de er bygget ved hjælp af operationer fra et specifikt sæt, beskrevet nedenfor.
De enkleste algebraiske virvar er heltal, der består af flere på hinanden følgende identiske skæringspunkter. Heltalsvæv er angivet med et enkelt heltal, der angiver antallet af skæringspunkter; tallets fortegn afhænger af typen af disse kryds. Hvis buerne ikke skærer hinanden, eller kan konverteres til ikke-skærende buer ved hjælp af Reidemeister-træk , så betegnes vævningen 0 eller ∞, afhængigt af dens orientering.
Hvis vævning a er spejlet i forhold til lige nordvest/sydøst, betegnes den resulterende nye vævning −a ( bemærk, at dette er forskelligt fra vævningen med omvendte skæringspunkter). Vævninger har tre binære operationer : sum , produkt og forgrening (forgrening) [2] , men alle kan udtrykkes ved additions- og subtraktionsoperationer. Tangle-produktet ab er ækvivalent med − a+b , og forgreningen a,b er ækvivalent med − a+ − b .
Flere hele vævninger, forenet gennem forgrening, når de ydre ender lukkes, genererer et blondeindgreb .
En basispolytop i sammenhæng med Conway-notation er en plan graf uden sløjfer eller flere kanter, hvor hvert toppunkt har grad 4 (den eneste undtagelse er basispolytopen, kaldet 1 * , som er det eneste toppunkt med to sløjfer). En knude eller et led opnås ved at erstatte algebraiske sammenfiltringer i hjørnerne af grundlæggende polyedre. Således kan man opnå alle knob og led op til et givet antal skæringspunkter ved at betragte grundlæggende polytoper med et tilstrækkeligt antal hjørner og algebraiske sammenfiltringer med et tilstrækkeligt antal skæringspunkter. Der er relativt få basispolytoper med et lille antal hjørner: For eksempel er der ud af basispolytoper med op til 10 spidser, bortset fra 1 * , kun 1 polytop med 6, 8 og 9 spidser og 3 med 10 spidser (sekvens A078666 i OEIS ).
Conways notation kræver, at nummereringen af hjørnerne af alle involverede basispolytoper og måden, hvorpå vævninger er indsat i disse hjørner, specificeres. Derefter består notationen af en knude eller et led af betegnelsen for basispolyederet, efterfulgt af betegnelserne for de algebraiske sammenfiltringer, der er indsat ved dens hjørner, for eksempel: "8 * 2.1.3.4.1.1.5.1". Conway udviklede et system af forkortelser for denne post, idet det givne eksempel bliver "8 * 2:3.4:.5".
Conways notation er tvetydig i den forstand, at det nogle gange er muligt at afbilde en knude eller et led som to forskellige diagrammer, der hver har et minimum antal kryds, men samtidig skrevet i Conways notation selv med forskellige grundlæggende polyedre [3] .