Skene forhold
Det centrale spørgsmål om knudeteori er, om to diagrammer repræsenterer den samme knude . Et af værktøjerne, der bruges til at besvare dette spørgsmål, er knudepolynomiet , som er knudeinvarianten . Hvis to diagrammer svarer til forskellige polynomier , repræsenterer de forskellige noder. Det omvendte er ikke altid sandt.
Skein-relationen (eller Conway-type-relationen ) bruges ofte til at definere et knudepolynomium på en enkel måde. Uformelt set definerer nøgleforholdet et lineært forhold mellem værdierne af knudepolynomiet på tre led , som kun adskiller sig fra hinanden i et lille område. For nogle polynomier, såsom Conway- , Alexander- og Jones -polynomier , er en passende nøgle-relation tilstrækkelig til at beregne polynomiet rekursivt . Andre, såsom HOMFLY polynomiet , kræver mere komplekse algoritmer.
Definition
Der er tre linkdiagrammer involveret i hudrelationen , som er identiske overalt bortset fra ét kryds. Disse tre diagrammer skal udtrykke tre muligheder, der kunne finde sted ved dette skæringspunkt: en tråd kan passere under en anden tråd, over den eller slet ikke krydse. Det er nødvendigt at overveje linkdiagrammer , da ændring af selv et kryds kan gøre et knudediagram til et linkdiagram og omvendt. Afhængigt af det særlige knudepolynomium kan de links, der vises i hudrelationen, være orienterede eller uorienterede.
De tre diagrammer er betegnet som følger. Drej knuden, så retningen af begge tråde i det pågældende kryds peger omtrent nordpå. I et diagram vil tråden i den nordvestlige retning passere over den nordøstlige tråd, vi vil betegne den . I et andet diagram går den nordøstlige tråd over den nordvestlige, dette er . Det sidste diagram er blottet for dette skæringspunkt og er betegnet med .
(Faktisk er notationen retningsuafhængig i den forstand, at når alle retninger er vendt om, forbliver notationen den samme. Derfor er polynomier entydigt defineret selv ved ikke-rettede knob. Orienteringen på linket er dog grundlæggende vigtigt at huske i hvilken for at rekursionen blev udført.)
Det er nyttigt at tænke på dette som at sammensætte to diagrammer ud fra ét diagram ved at lappe dem med de passende orienteringer.
For rekursivt at definere polynomiet af en knude (link), er funktionen og fastsat for enhver tripel af diagrammer og deres polynomier, angivet som ovenfor,
eller mere omhyggeligt
for alle .
(Det er ikke en let opgave at finde en funktion , der gør polynomiet uafhængigt af rækkefølgen af skæringspunkter i rekursionen.)
Mere formelt kan nøglerelationen opfattes som definitionen af kernen af kvotientkortet fra den flade kranse -algebra . En sådan afbildning svarer til et nodepolynomium, hvis alle lukkede diagrammer er afbildet til komplekse typer tomme diagrammer.