Jones polynomium

Jones -polynomiet er en polynomisk knude-invariant , der tildeler hver knude eller forbinder et Laurent-polynomium i en formel variabel med heltalskoefficienter. Bygget af Vaughn Jones i 1984 . $t^{{1/2}}$

Definition gennem Kauffman-parentesen

For et givet orienteret link er et hjælpepolynomium defineret: $L$

X(L)=(-A^{3})^{{-w(L)}}\langle L\rangle

hvor er diagrammets twistnummer , og er Kauffman-beslaget . Twisttallet er defineret som forskellen mellem antallet af positive krydsninger og antallet af negative krydsninger og er ikke en knudeinvariant: det er ikke bevaret under type I Reidemeister-transformationer. $w(L)$ $L$ $\langle L\rangle$ $L_{{+}}$ $L_{{-}}$

$X(L)$ er knudeinvarianten, da den er invariant under alle tre Reidemeister-transformationer af diagrammet . Invariansen under type II- og III-transformationer følger af invariansen af Kauffman-beslaget og twist-tallet under disse transformationer. I modsætning hertil, for en type I-transformation, multipliceres Kauffman-beslaget med , hvilket nøjagtigt kompenseres for af en +1 eller -1 ændring i twist-tallet . $L$ $-A^{{\pm 3}}$ $w(L)$

Jones polynomiet bestemmes ud fra substitutionen: $X(L)$

A=t^{{-1/4}}

det resulterende udtryk er et Laurent-polynomium i variablen . $t^{{1/2}}$

Definition i form af flettegrupperepræsentationer

Jones' oprindelige definition bruger operatoralgebra og forestillingen om et fletningsrepræsentationsspor, der stammer fra statistisk mekanik ( Potts-modellen ).

Alexanders sætning hævder, at ethvert leder en lukning af en fletning medtråde, i forbindelse hermed er det muligt at definere en repræsentationaf flettegruppenmedtråde på Temperley-Lieb algebraen med koefficienter fraog. Standardgeneratoren for fletningener, hvor er standardgeneratorerne for Temperley-Lieb algebraen. Forfletteordet,hvor er Markov-sporet , er resultatet, hvor er polynomiet i parentes. $L$ $n$ $\rho$ $B_{n}$ $n$ $TL_{n}$ $\mathbb {Z} [A,A^{-1}]$ ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2))$ $\sigma_i$ $A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1$ ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1))$ $\sigma$ $L$ $\sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )$ $tr$ $\langle L\rangle$ $\langle$ $\rangle$

Fordelen ved denne tilgang er, at man ved at vælge analoge repræsentationer i andre algebraer, såsom repræsentationen af -matricer, kan nå frem til generaliseringer af Jones-invarianter (f.eks. er [1] begrebet Jones -parallelle polynomium). $R$ $k$

Definition i forhold til nøgleforhold

Jones polynomiet er entydigt defineret af det faktum, at det er lig med 1 på ethvert trivielt knudediagram , og af følgende hudrelation :

(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})

hvor , , og er tre orienterede linkdiagrammer, der falder sammen overalt bortset fra et lille område, hvor deres adfærd er henholdsvis positive og negative skæringspunkter og en jævn passage uden fælles punkter: $L_{{+}}$ $L_{{-}}$ $L_{{0}}$

Egenskaber

Jones polynomiet har mange vidunderlige egenskaber [2] [3] .

For links med et ulige antal komponenter (især for knob) er alle potenser af variablen i Jones-polynomiet heltal, og for links med et lige antal komponenter er de halvt heltal. $t$

Jones-polynomiet af den forbundne sum af noder er lig med produktet af Jones-polynomiet af vilkårene, det vil sige:

V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})

Jones polynomiet af en afbrudt sum af knob er:

V(L_{1}\kop L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})

Jones-polynomiet for foreningen af et led og en triviel knude er: $L$

V(L\kop O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)

For et orienteret link opnået fra et givet orienteret link ved at erstatte orienteringen af en komponent med den modsatte, har vi: $L^{*_{k))$ $L$ $k$

V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)

hvor er koblingskoefficienten for komponenten og . $\lambda$ $k$ $Lk$

Jones-polynomiet ændres ikke, når knudepunktet vendes, det vil sige, når retningen af bypasset vendes (orienteringsændring).

Det spejlsymmetriske billede af linket har et Jones-polynomium, som opnås ved at erstatte med (egenskaben verificeres let ved hjælp af definitionen i form af Kauffman-parentesen). $t$ $t^{{-1}}$

Hvis er en node, så: $K$

V_{K}(e^{2\pi i/3})=1

Værdien af Jones-polynomiet for linket med antallet af linkkomponenter i punkt 1: $L$ $s$

V_{L}(1)=(-2)^{p-1}

Jones-polynomiet af den -toriske knude: $(m,n)$

V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^ {n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}

Åbne numre

I 2003 blev en familie af ikke-trivielle forbindelser konstrueret med Jones-polynomiet svarende til Jones-polynomiet af det trivielle led [4] , mens det ikke vides, om der eksisterer en ikke-triviel knude, hvis Jones-polynomium er det samme som det. af den trivielle knude. I 2017 blev en familie af ikke-trivielle knob med skæringspunkter konstrueret, for hvilke Jones polynomiet er kongruent med unity modulo [5] . ${\displaystyle K_{r))$ $20\cdot 2^{r-1}+1$ $V(K_{r})$ ${\displaystyle 2^{r))$

Variationer og generaliseringer

Chern-Simons teorien beskriver den topologiske rækkefølge i tilstandene af den fraktionelle kvante Hall-effekt. Fra et matematisk synspunkt er Chern-Simons-teorien interessant, fordi den giver dig mulighed for at beregne knude-invarianter, såsom Jones-polynomiet.

I 2000 konstruerede Mikhail Khovanov et kædekompleks for knuder og led og viste, at homologien af dette kompleks er en knudeinvariant ( Khovanov-homologien ). Denne homologiteori er en kategorisering af Jones-polynomiet, dvs. Jones-polynomiet er Euler-karakteristikken for denne homologi.

HOMFLY polynomiet er en lignende knude og link invariant.

Noter

↑ Murakami J., Den parallelle version af polynomielle invarianter af links Arkiveret 2. juni 2016 på Wayback Machine , Osaka J. Math., 1989.
↑ Jones, VFR, A polynomial invariant for knob via von Neumann algebras Arkiveret 19. januar 2022 på Wayback Machine , Bull. amer. Matematik. Soc. 12:103-111, 1987.
↑ Duzhin S. V., Chmutov S. V. Knots and their invariants , Mat. oplysning, 1999, udgave 3, 59-93.
↑ Eliahou S., Kauffman L., Thistlethwaite M. Infinite families of links med trivielt Jones polynomium, 2003. . Hentet 1. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 6. maj 2021. (ubestemt)
↑ Eliahou S., Fromentin J. A Remarkable 20-crossing Tangle, 2017. . Hentet 1. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 5. oktober 2021. (ubestemt)

Litteratur

Prasolov V. V. , Sosinsky A. B. Knob, led, fletninger og tredimensionelle manifolder . - M .: MTSNMO , 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .

Teori om knob og led
Hyperbolsk	Otte (4 1 ) Tre halve omgange (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par Percos (10 161 ) Blonder (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromæiske ringe (63 2) L10a140
satellit	Sammensatte ( babiy ) lige Summen af knob
torisk	Trivielt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Frakoblet (02 1) Hopf (22 1) Salomon (42 1)
Invarianter	skiftevis Arfa invariant Antal broer ( 2-broer ) Brunnsk link Chiralitet ( reversibel ) Antal film Antal kryds Vasiliev invariant Hyperbolsk volumen Khovanovs homologi Slægt Nodegruppe Gear gruppe Gearforhold Polynomier ( Alexander Kauffman beslag HØFLIGT Jones Kaufman ) Blondeforlovelse Simpel knude ( liste ) Antal segmenter Antal trefarvede farver Antallet af og opgaven med afbinding
Notation og operationer	Alexander-Briggs notation Conway notation Docker-notation Mutation Reidemeister-bevægelsen Skene forhold
Andet	Alexanders teorem Berge knude fletningsteori Conway sfære Node færdiggørelse Dobbelt torus knude Lagdelt knude Tape Skære Summen af knob Tates hypoteser Snoet Vild Twist nummer Seifert overflade