Alexander polynomium

Alexander-polynomiet er en knude-invariant , der kortlægger et polynomium med heltalskoefficienter til en knude af enhver type. James Alexander opdagede det, det første knudepolynomium , i 1923. I 1969 introducerede John Conway en version af dette polynomium, nu kaldet Alexander-Conway-polynomiet . Dette polynomium kan beregnes ved hjælp af nøglerelationen , selvom vigtigheden af dette ikke blev anerkendt før opdagelsen af Jones-polynomiet i 1984. Kort efter Conways forfining af Alexander-polynomiet blev det klart, at en lignende nøgle-relation var i Alexanders papir for hans polynomium [1] .

Definition

Lad K være en knude på en 3-kugle . Lad X være en uendelig cyklisk dækning af komplementet til noden K . Denne belægning kan opnås ved at skære knudekomplementet langs Seifert-overfladen af knuden K og lime et uendeligt antal kopier af den resulterende manifold til grænsen. Der er en dækkende transformation t , der virker på X . Betegn den første gruppe af heltalshomologi X som . Transformationen t virker på denne gruppe, så vi kan tænke på den som et modul på . Det kaldes Alexander-invarianten eller Alexanders modul . $H_{1}(X)$ $H_{1}(X)$ ${\mathbb {Z}}[t,t^{{-1}}]$

Dette modul er naturligvis genereret. Præsentationsmatricen for dette modul kaldes Alexander-matricen . Hvis antallet af generatorer r er mindre end eller lig med antallet af relationer s, så overvej idealet genereret af minorerne i Alexander-matricen af orden r . Dette er Fittings nulideal , eller Alexanders ideal , og afhænger ikke af valget af præsentationsmatrix. Hvis r > s , sætter vi idealet lig med 0. Hvis Alexander-idealet er principielt , kaldes det frembringende element i dette ideal Alexander-polynomiet for den givne knude. Da generatoren kan vælges entydigt op til multiplikation med Laurent-monomialet , fører det ofte til en bestemt unik form. Alexander valgte en normalisering, hvor polynomiet har et positivt konstant led. $\pm t^{n}$

Alexander beviste, at Alexander-idealet er ikke-nul og altid principielt. Alexanderpolynomiet eksisterer således altid, og det er tydeligt, at dette er en knudeinvariant, betegnet med . Alexanderpolynomiet for en knude dannet af en enkelt streng har grad 2, og for knudens spejlbillede vil polynomiet være det samme. $\Delta _{K}(t)$

Polynomberegning

Den følgende algoritme til beregning af Alexander-polynomiet blev givet af J. V. Alexander i sin artikel.

Tag et orienteret knudediagram med n skæringspunkter. Der er n + 2 kortområder. For at få Alexanderpolynomiet konstruerer vi først en incidensmatrix af størrelse ( n , n + 2). n rækker svarer til n skæringspunkter, og n + 2 kolonner svarer til områder. Værdierne af matrixelementerne vil være 0, 1, −1, t , − t .

Overvej et matrixelement svarende til et eller andet område og skæringspunkt. Hvis området ikke støder op til skæringspunktet, er elementet 0. Hvis området støder op til skæringspunktet, afhænger værdien af elementet af positionen. Figuren til højre viser værdien af elementerne i matrixen for krydset (den nederste del af knudepunktet er markeret med gennemløbsretningen, for den øverste er retningen ligegyldig). Følgende tabel angiver værdierne for elementerne afhængigt af områdets position i forhold til den underliggende linje.

fra venstre til krydset: − t ret til kryds: 1 venstre efter kryds: t lige efter krydset: −1

Lad os slette to kolonner svarende til tilstødende områder fra matricen og beregne determinanten for den resulterende n x n matrix. Afhængigt af hvilke kolonner der fjernes, vil svaret afvige med en faktor på . For at undgå tvetydighed dividerer vi polynomiet med den størst mulige potens af t og multiplicerer med −1, hvis det er nødvendigt, for at få en positiv koefficient. Det resulterende polynomium er Alexander-polynomiet. $\pm t^{n}$

Alexanderpolynomiet kan beregnes ud fra Seifert-matrixen .

Efter Alexanders arbejde overvejede R. Fox en præsentation af knudegruppen , og foreslog en ikke-kommutativ beregningsmetode [2] , der også gør det muligt at beregne . En detaljeret redegørelse for denne tilgang kan findes i Crowell & Fox (1963 ). $\pi _{1}(S^{3}\omvendt skråstreg K)$ $\Delta _{K}(t)$

Et eksempel på at konstruere et polynomium

Lad os konstruere Alexander-polynomiet for trefoilen . Figuren viser områderne (A0, A1, A2, A3, A4) og skæringspunkterne (P1, P2, P3) samt værdierne af tabelposterne (nær skæringspunkterne).

Alexanders bord for shamrocken vil have formen:

Prik	A0	A1	A2	A3	A4
P1	-en	0	-t	t	en
P2	-en	en	-t	0	t
P3	-en	t	-t	en	0

Vi kasserer de to første kolonner og beregner determinanten :. $-t^{3}-t+t^{2}$

Ved at dividere det resulterende udtryk med , får vi Alexander-polynomiet for shamrocken :. $-t$ $t^{2}-t+1$

Grundlæggende egenskaber for et polynomium

Alexanderpolynomiet er symmetrisk: for alle noder K. $\Delta _{K}(t^{{-1}})=\Delta _{K}(t)$

Fra synspunktet af definitionen ovenfor er dette udtryk for Poincaré-isomorfi , hvor er kvotientgruppen af feltet af brøkdele af ringen , betragtet som et -modul, og er det konjugerede -modul af k (som en Abelianer gruppe er den identisk med , men den dækkende kortlægning fungerer som ).

{\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)

G

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\overline {H_{1}X}

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

H_{1}X

H_{1}X

t

t^{{-1}}

Derudover tager Alexanderpolynomiet en værdi på 1, modulo lig med en :. $\Delta _{K}(1)=\pm 1$

Set fra definitionens synspunkt er dette et udtryk for, at komplementet af en knude er en homologisk cirkel, hvis første homologi er genereret af en dækkende transformation . Mere generelt, hvis er en 3-manifold sådan, at , den har et Alexander-polynomium defineret som ordensidealet for et uendeligt cyklisk dækningsrum. I dette tilfælde , op til tegn, er lig med rækkefølgen af torsion undergruppen .

t

M

\mathrm {rang} (H_{1}M)=1

\Delta _{M}(t)

\Delta _{M}(1)

H_{1}M

Det er kendt, at ethvert Laurent-polynomium med heltalskoefficienter, som er symmetrisk og har modulo 1 ved punkt 1, er et Alexander-polynomium af en eller anden knude [3] .

Den geometriske betydning af polynomiet

Da Alexander-idealet er principielt, hvis og kun hvis knudegruppen er perfekt (dens kommutator falder sammen med hele knudegruppen). $\Delta _{K}(t)=1$

For en topologisk afkortet knude opfylder Alexander-polynomiet Fox-Milnor-betingelsen , hvor er et andet Laurent-polynomium med heltalskoefficienter. $\Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{{-1}})$ $f(t)$

Den dobbelte slægt af knuden er afgrænset nedenfor af graden af Alexanderpolynomiet.

Michael Friedman beviste, at en knude på en 3-sfære er topologisk afkortet , det vil sige grænserne for en "lokalt flad" topologisk skive på en 4-kugle, hvis knudens Alexanderpolynomium er trivielt [4] .

Kaufman [5] beskriver konstruktionen af Alexanderpolynomiet gennem summen af tilstande af fysiske modeller. En oversigt over denne tilgang, samt andre links til fysik, er givet i Kauffmans papir ( Kauffman, 2001 ).

Der er også andre forbindelser med overflader og glat 4-dimensionel topologi. For eksempel, under nogle antagelser, er kirurgi på en 4-manifold tilladt , hvor naboskabet til en todimensionel torus erstattes af komplementet af en node multipliceret med S 1 . Resultatet er en jævn 4-manifold homeomorf til den oprindelige, selvom Seiberg-Witten invariante ændres (multipliceres med Alexander-knudepolynomiet) [6] .

Det er kendt, at knob med symmetri har afgrænset Alexander polynomier. Se afsnittet om symmetri i Kawauchis værk [3] . Alexanderpolynomiet kan dog savne nogle symmetrier, såsom stærk reversibilitet.

Hvis komplementet af knuden er et bundt over en cirkel, så er knudens Alexanderpolynomium monaren (koefficienterne for de højere og lavere led er ens ). Lad være et bundt, hvor er komplementet af en knude. Betegn monodromi- kortlægningen som . Så , hvor er den inducerede kortlægning i homologi. $\pm 1$ $S\til C_{K}\til S^{1}$ $C_{K}$ $g:S\til S$ $\Delta _{K}(t)=Det(tI-g_{*})$ $g_{*}:H_{1}(S)\til H_{1}(S)$

Forbindelse med satellitoperationer

Lade være en satellit node med en satellit , det vil sige, der er en indlejring sådan, at , hvor er en uknottet solid torus indeholdende . Så . Her er et heltal, der repræsenterer i . $K$ $K'$ $f:S^{1}\gange D^{2}\til S^{3}$ $K=f(K')$ $S^{1}\ gange D^{2}\undersæt S^{3}$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\Delta _{{f(S^{1}\ gange \{0\})}}(t^{a})\Delta _{{K'}}(t )$ $a\in {\mathbb Z}$ $K'\subset S^{1}\ gange D^{2}$ $H_{1}(S^{1}\ gange D^{2})={\mathbb Z}$

Eksempel: For en forbundet sum af knob . Hvis er en ikke-snoet dobbelt Whitehead-knude, så . $\Delta _{{K_{1}\#K_{2}}}(t)=\Delta _{{K_{1}}}(t)\Delta _{{K_{2}}}(t)$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\pm 1$

Alexander-Conway polynomiet

Alexander viste, at Alexanderpolynomiet opfylder nøgleforholdet. John Conway genopdagede senere dette i en anden form og viste, at nøglerelationen sammen med valget af værdi ved en triviel knude er tilstrækkelig til at definere et polynomium. Conway-versionen er et polynomium i z med heltalskoefficienter, betegnet og kaldet Alexander-Conway-polynomiet (og også Conway-polynomiet eller Conway-Alexander-polynomiet ). $\nabla (z)$

Overvej tre diagrammer af orienterede links . $L_{+},L_{-},L_{0}$

Conways nøgleforhold:

$\nabla (O)=1$ (hvor O er et trivielt knudediagram )
$\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})$

Forbindelsen med standard Alexanderpolynomiet er givet ved relationen . Her skal normaliseres korrekt (ved at gange med ), så nøgleforholdet holder . Bemærk, at dette giver et Laurent-polynomium i t 1/2 . $\Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(tt^{{-1}})$ $\Delta _{L}$ $\pm t^{{n/2}}$ $\Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{{1/2}}-t^{{-1/2}})\Delta (L_{0})$

Forbindelse med Khovanovs homologi

I værkerne af Ozwat og Sabo [7] og Rasmussen [8] præsenteres Alexander-polynomiet som Euler-karakteristikken for et kompleks, hvis homologi er isotopi invariant i forhold til den aktuelle knude , så Floers homologiteori er en kategorisering af Alexanderpolynomiet. Se artiklen " Khovanov homology " [9] for detaljer . $K$

Variationer og generaliseringer

HOMFLY polynomiet er en lignende, men mere subtil invariant af knob og links.

Noter

↑ Alexander beskriver nøgleforholdet i slutningen af artiklen under overskriften "diverse teoremer", hvilket kan være grunden til, at de ikke blev bemærket. Joan Bierman nævner i sit papir " New points of view in knot theory " ( Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 28 (1993), nr. 2, 253-287), at Mark Kidwell henledte hendes opmærksomhed på Alexander-forholdet i 1970.
↑ Fox, 1961 .
↑ 12 Kawauchi , 1996 .
↑ Freedman, Quinn, 1990 .
↑ Kauffman, 1983 .
↑ Fintushel og Stern (1997) - Knobs, links og 4-manifolds . Hentet 9. juni 2015. Arkiveret fra originalen 29. juni 2021. (ubestemt)
↑ Ozsvath, Szabo, 2004 .
↑ Rasmussen, 2003 .
↑ Khovanov, 2006 .

Litteratur

JW Alexander. Topologiske invarianter af knob og led // Trans. amer. Matematik. soc. . - 1928. - T. 30 , Nr. 2 . — S. 275–306 . - doi : 10.2307/1989123 .
R. Crowell, R. Fox. Introduktion til knudeteori . - Ginn og Co. efter 1977 Springer Verlag, 1963.
Colin C. Adams. The Knot Book: En elementær introduktion til den matematiske teori om knob. — Revideret genoptryk af originalen fra 1994. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. - ISBN 0-8218-3678-1 . (tilgængelig introduktion ved brug af en nøglerelationstilgang)
R. Fox. En hurtig tur gennem knudeteori, In Topology of ThreeManifold // Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. of Georgia, redigeret af MKFort. — Englewood Cliffs. NJ: Prentice-Hall, 1961. s. 120–167 .
Michael H. Freedman, Frank Quinn. Topologi af 4-manifolds. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. - V. 39. - (Princeton Mathematical Series). - ISBN 0-691-08577-3 .
Louis Kauffman. Formel knudeteori. - Princeton University Press, 1983.
Louis Kauffman. Knob og fysik. — World Scientific Publishing Company, 2001.
Akio Kawauchi. En undersøgelse af knudeteori. — Birkhauser, 1996. (dækker flere forskellige tilgange, forklarer relationer mellem forskellige versioner af Alexanderpolynomiet)
M. Khovanov. Link homologi og kategorisering . - 2006. - arXiv : math/0605339 .
Peter Ozvath, Zoltan Szabo. Holomorfe skiver og knudeinvarianter // Adv. Math., nr., 58--6. - 2004. - T. 186 , no. 1 . — s. 58–116 . - doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 . - . - arXiv : math/0209056 .
J. Rasmussen. Blomsterhomologi og knudekomplementer . - 2003. - S. 6378 . - . - arXiv : math/0306378 .
Dale Rolfsen. Knob og Links. — 2. - Berkeley, CA: Publish or Perish, 1990. - ISBN 0-914098-16-0 . (forklarer klassisk tilgang ved hjælp af Alexander-invarianten; knude- og linktabel med Alexander-polynomier)

Links

Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hovedside og Alexander-Conway-polynomiet , knudeatlaset. - tabel over knob og forbindelser med beregnede polynomier af Alexander og Conway

Teori om knob og led
Hyperbolsk	Otte (4 1 ) Tre halve omgange (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par Percos (10 161 ) Blonder (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromæiske ringe (63 2) L10a140
satellit	Sammensatte ( babiy ) lige Summen af knob
torisk	Trivielt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Frakoblet (02 1) Hopf (22 1) Salomon (42 1)
Invarianter	skiftevis Arfa invariant Antal broer ( 2-broer ) Brunnsk link Chiralitet ( reversibel ) Antal film Antal kryds Vasiliev invariant Hyperbolsk volumen Khovanovs homologi Slægt Nodegruppe Gear gruppe Gearforhold Polynomier ( Alexander Kauffman beslag HØFLIGT Jones Kaufman ) Blondeforlovelse Simpel knude ( liste ) Antal segmenter Antal trefarvede farver Antallet af og opgaven med afbinding
Notation og operationer	Alexander-Briggs notation Conway notation Docker-notation Mutation Reidemeister-bevægelsen Skene forhold
Andet	Alexanders teorem Berge knude fletningsteori Conway sfære Node færdiggørelse Dobbelt torus knude Lagdelt knude Tape Skære Summen af knob Tates hypoteser Snoet Vild Twist nummer Seifert overflade