Rees' repræsentationssætning

Rees-repræsentationssætningen (også Rees-Fréchet-sætningen ) er en erklæring om funktionel analyse , ifølge hvilken enhver lineær afgrænset funktionel i et Hilbert-rum kan repræsenteres gennem et indre produkt ved hjælp af et eller andet element. Opkaldt efter den ungarske matematiker Frigyes Rys .

Ordlyd

Lad der være et Hilbert-rum og et lineært afgrænset funktionelt i rummet . Så er der et unikt element af rummet , sådan at for en vilkårlig . Derudover er ligestillingen opfyldt :. $H$ $f\in H'$ $H$ $y$ $H$ $x\i H$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $\|y\|=\|f\|$

Bevis

$\ker(f)$ kernen i en lineær funktional er et vektorunderrum . $H$

Eksistens $y$

Hvis , så er det nok at tage . Lad os antage det . Så og derfor er kernens ortogonale komplement ikke lig med . Vi vælger en vilkårlig ikke-nul vektor . Lad . Det vil vi vise for alle . Overvej vektoren . Bemærk at , og dermed . Fordi altså . Følgelig, $f\ækvivalent 0$ $y=0$ $f\neq 0$ $\ker(f)\neq H$ ${\displaystyle \ker(f)^{\bot ))$ $f$ $\{0\}$ $b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \))$ $y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $x\i H$ $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$ $f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)))f(b)=0$ $p_{x}\in \ker(f)$ ${\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot ))$ $\langle b,p_{x}\rangle =0$

$\langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\ område -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0$ .

Herfra og . $f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2))}$ $f(x)=\langle y,x\rangle$

Unikhed $y$

Lad os antage det, og elementerne opfylder . $y$ $z$ $H$ $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$

Det betyder, at ligestillingen gælder for især alle, hvorfra ligestillingen opnås . $x\i H$ $\langle yz,x\rangle =0$ $\langle yz,yz\rangle =\|yz\|^{2}=0$ $y=z$

Ligestilling af normer

For at bevise det, først fra Cauchy-Bunyakovsky uligheden har vi :. Derfor har vi ifølge definitionen af det funktionelles norm: Derudover, , hvorfra . Ved at kombinere de to uligheder får vi . $\|y\|=\|f\|$ $|f(x)|=|\langle y,x\rangle |\leq \|y\|\|x\|$ $\|f\|\leq \|y\|.$ $\langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|$ $\|y\|\leq \|f\|$ $\|y\|=\|f\|$

Se også

Lax-Milgram teorem