Tensor

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. juni 2022; checks kræver 6 redigeringer .

En tensor (fra lat. tensus , "spændt") er et objekt af lineær algebra , der bruges i matematik og fysik , defineret på et vektorrum af endelig dimension . I fysik fungerer det fysiske tredimensionelle rum eller firedimensionelle rumtid normalt som tensoren, og tensorens komponenter er koordinaterne af indbyrdes forbundne fysiske størrelser. $V$ $n$ $V$

Brugen af tensorer i fysik giver dig mulighed for bedre at forstå fysiske love og ligninger, forenkle deres skrivning ved at reducere mange relaterede fysiske størrelser til en tensor, og også skrive ligninger i en form, der ikke afhænger af den valgte referenceramme .

Tensorer adskiller sig i rang , som bestemmes af et par naturlige tal , hvor er kontravariant og er kovariant rang (og man siger én gang kontravariant og én gang kovariant tensor), og summen kaldes blot tensorens rang . $(s,r)$ $s$ $r$ $s$ $r$ $s+r$

Rangtensorer er vektorer af et lineært rum, polylineært relateret til rummet og betegnet med eller . Dimensionen er lig med antallet af tensorkomponenter, og selve komponenterne er koordinaterne for tensoren i basis, "knyttet" til rumbasis . Tensorens rang bestemmer sammen med rummets dimension antallet af komponenter af tensoren , og den kovariante og kontravariante rang bestemmer arten af deres afhængighed på basis i rummet . $(s,r)$ $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $T_{r}^{s}(V)$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$ $V$ $n^{s+r}$ $V$

Det er det multilineære forhold mellem og , der gør det muligt at identificere vektorer fra som tensorer på , og ikke kun vektorer af et eller andet rum, da når basisen i ændres, vil basisen i og koordinaterne for tensoren være en vektor af dette rum også ændre sig. Derfor taler man om koordinatrepræsentationen af tensoren i rumgrundlaget . På trods af ændringerne i tensorkomponenterne ved ændring af basis, er tensorer, som algebraiske og geometriske objekter, ikke afhængige af grundlaget - forskellige sæt koordinater i forskellige baser kan svare til det samme objekt. $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$ $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$

Komponenterne i en tensor med en fast basis kan struktureres i form af en dimensionel tabel . Ved rang 0 er tabellen et enkelt tal, ved rang 1 et ordnet sæt (kolonne eller rækkevektor), ved rang 2 en kvadratisk matrix, ved rang 3 en tredimensionel terning osv. Generelt, en visuel repræsentation for store rækker er vanskelig. $V$ $(n+r)$ $n\ gange n\ gange \cdots \time n$

Tensorer af rang 1 er således vektorer af rummet , såvel som lineære funktionaler ( covectors ) på , der danner det dobbelte rum af samme dimension. Rang 2 tensorer er bilineære former , lineære operatorer og bivectors på , som også danner de tilsvarende lineære rum. Tensorer (af rang 0) inkluderer også skalarer - elementer i det felt , hvor rummet er givet (normalt er disse reelle eller komplekse tal). Skalarer ændres ikke (invariant), når grundlaget ændres. $V$ $V$ $V^*$ $V$ $V$

Rangtensorkomponenterne skrives ved hjælp af øvre (kontravariante) og nedre (kovariante) indekser: . For eksempel skrives vektorer i tensor-notation med én hævet skrift , lineære operatorer med sænket og hævet skrift: , bilineære former (dobbelt kovariante tensorer) med to sænkede skrifter . En type tensor (for eksempel Riemann- kurvaturtensoren ) ville blive skrevet som . $(s,r)$ $s$ $r$ $T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}$ $x^i$ ${\displaystyle a_{j}^{i))$ $F_{{ij}}$ $(1,3)$ ${\displaystyle R_{jkl}^{i))$

Applikationer bruger ofte tensorfelter , som tildeler forskellige tensorer til forskellige punkter i rummet (f.eks. stresstensoren i et objekt). Dog kaldes de ofte forenklet også for tensorer.

Tensorer blev populært i 1900 af Tullio Levi-Civita og Gregorio Ricci-Curbastro , som fortsatte Bernhard Riemanns og Alvin Bruno Christoffels tidligere arbejde . Ordet "tensor" blev opfundet af den tyske fysiker W. Vogt i 1898 [1] .

Indledende

Einsteins regel

Her og længere i artiklens tekst vil hovedsageligt den almindeligt accepterede konvention blive brugt - den såkaldte Einsteins regel , ifølge hvilken, hvis der er øvre og nedre indeks i posten, angivet med samme bogstav (den så- kaldet "stille" indeks), så antages summering. For eksempel betyder indtastning det samme som . Dette forenkler formelskrivning ved ikke at angive summeringstegn. For indeks markeret med forskellige bogstaver forventes summering ikke. Mute-indekset "forsvinder" som et resultat, mens de resterende indekser forbliver, for eksempel: eller . Se også underafsnittet af denne artikel, der er viet til foldningsoperationen. ${\displaystyle x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle y^{j}=c_{i}^{j}x^{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{j}x^{i))$ $a_{i}^{j}=b_{k}^{j}c_{i}^{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{j}c_ {i}^{k}$

Kontravarians af vektorer

Lad et sæt vektorer være basis i et vektorrum . Så er enhver vektor af dette rum i den givne basis repræsenteret som en lineær kombination af basisvektorer: . Et sæt af (ordnede) tal (kolonnevektor) kaldes vektorens koordinater eller komponenter i det givne grundlag eller vektorens koordinatrepræsentation. $\{e_{i}\}=(e_{1},e_{2},...,e_{n})$ $V$ $x$ ${\displaystyle x=x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle \{x^{i}\}=(x^{1},x^{2},...,x^{n})^{T))$

Overvej et andet sæt vektorer , som også er et grundlag. Hver af vektorerne i den nye basis kan repræsenteres i den "gamle" basis (såvel som enhver vektor): , det vil sige ved koordinaterne . Følgelig er matrixen, hvis kolonner repræsenterer koordinaterne for den nye basis i den gamle, transformationsmatricen af den gamle basis til den nye. Den omvendte matrix giver dig mulighed for at få det gamle grundlag fra det nye. Derudover er det ved hjælp af den inverse matrix, at man kan få koordinatrepræsentationen af en vilkårlig vektor i et nyt grundlag. Det vil sige, at de nye koordinater (i det nye grundlag) er ens (i matrix-vektorform skrives dette som ). Det vil sige, at vektorens koordinater konverteres tilbage til basis. Denne egenskab ved en koordinattransformation kaldes kontravarians . $\{e'_{i}\}=(e'_{1},e'_{2},...,e'_{n})$ ${\displaystyle e'_{i}=e_{i'}=c_{i'}^{i}e_{i))$ ${\displaystyle (c_{i'}^{1},c_{i'}^{2},...,c_{i'}^{n})^{T))$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $C^{-1}=\{c_{i}^{i'}\}$ $x=x^{i}e_{i}=x^{i}c_{i}^{i'}e_{i'}=(x^{i}c_{i}^{i'} )e'_{i}$ $x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}$ $x'=C^{-1}x$

Kovarians af lineære funktionaler

Hvis koordinaterne for et objekt vil blive transformeret som basis, det vil sige ved at bruge basistransformationsmatrixen, så kaldes dette kovarians . Et eksempel på et kovariant objekt er de såkaldte covectors - disse er lineære funktionaler ( lineære former ) på rummet . Dette kræver en forklaring. På grund af linearitet danner sættet af alle sådanne funktionaler også et vektorrum , som kaldes dual til og har samme dimension som . Således er lineære funktionaler (former) vektorer af det dobbelte rum. De bliver til kovektorer (kovariante tensorer af rang 1) i kraft af binding til hovedrummet , nemlig det specifikke valg af grundlaget for det dobbelte rum, entydigt bestemt af rummets grundlag . I en given rumbasis er en vilkårlig lineær form lig med Vektorkoordinaterne kan fortolkes som også lineære funktioner, der forbinder hver vektor med dens tilsvarende koordinat: . Disse lineære funktionaler er en basis i det dobbelte rum og kaldes den dobbelte (eller dobbelte) basis (til basis af basisrummet). Følgelig er en vilkårlig lineær form repræsenteret som: , det vil sige også som et sæt af koordinater (de er skrevet som en rækkevektor, i modsætning til kolonnevektoren af koordinater for hovedrumsvektorerne). $V$ $V^*$ $V$ $V$ $V$ $V$ $V$ ${\displaystyle f(x)=f(x^{i}e_{i})=f(e_{i})x^{i}=f_{i}x^{i))$ $x^i$ $x^{i}=e^{i}(x)$ ${\displaystyle f(x)=f_{i}e^{i))$ $(f_{1},f_{2},...,f_{n})$

I det nye grundlag har vi: , hvor er koordinaterne for den lineære form i den nye dobbelte basis . De transformeres ved hjælp af den samme overgangsmatrix fra den gamle rumbasis til den nye . Dette kan forklares uden formler: en lineær funktional er en vektor i rummet , derfor ændres dens koordinater tilbage til deres basis , når man ændrer basis i den , men denne dobbelte basis ændres igen omvendt til ændringen i basis i rummet ( da disse faktisk er vektorernes koordinater). Som et resultat transformeres koordinaterne for den lineære funktion på samme måde som grundlaget for hovedrummet. Derfor kaldes de covektorer med hensyn til hovedrummet. $f(x)=f(x^{i'}e_{j'})=f(e_{i'})x^{i'}=f(c_{i'}^{i}e_ {i})e^{i'}(x)=f(e_{i})c_{i'}^{i}e^{i'}=(f_{i}c_{i'}^{i })e^{i'}=f_{i'}e^{i'}$ ${\displaystyle f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i))$ ${\displaystyle \{e^{i'}(x)\))$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $V$ $f'=fC$ $V^*$ $V$

Noter

1. I tilfælde af ortonormale baser transponeres den inverse transformationsmatrix af basis simpelthen: , derfor , det vil sige, hvis koordinaterne for den lineære form ikke skrives som en rækkevektor, men som en kolonnevektor, så er reglen for transformation af koordinaterne for den lineære form vil ikke afvige fra regelvektortransformationerne. Under overgange mellem ortonormale baser (rotationer eller ændringer i orienteringen af grundlaget) adskiller den kovariante transformation sig således ikke fra den kontravariante. ${\displaystyle C^{T}=C^{-1))$ ${\displaystyle (fC)^{T}=C^{T}f^{T}=C^{-1}f^{T))$

2. I rum med et (pseudo) skalært produkt ((pseudo) euklidiske rum), er rummet kanonisk isomorft for rummet , det vil sige, at de kan identificeres (hver lineær funktional er repræsenteret som et skalarprodukt af en fast vektor og vektorargumentet for funktionen , dvs. henholdsvis mellem og der er en en-til-en-korrespondance). Derfor kan en vektor og en covektor i det væsentlige betragtes som ét objekt. I denne henseende menes det, at den samme vektor (i det generelle tilfælde en tensor) simpelthen kan repræsenteres både i kontravariante og kovariante koordinater. Dette gøres for eksempel ofte i fysik, hvor tensorer normalt betragtes enten i geometrisk tredimensionelt rum eller i firedimensionelt rum-tid. $V^*$ $V$ $a\in V$ $x \i V$ $f(x)=(a,x)$ $-en$ $f$

Eksempler på genberegning af koordinater ved ændring af grundlag

Et eksempel på genberegning af koordinaterne for en vektor ved ændring af grundlaget

Lad os betragte en vektor i et eller andet todimensionelt euklidisk rum ( euklidisk plan ), som er afbildet i figuren til højre som en rettet grøn pil. På et eller andet grundlag (det er markeret rødt i figuren) på et plan bestående af vektorer og , denne vektor har koordinater , det vil sige (vektoren i sig selv afhænger ikke af valget af grundlaget og er indstillet uafhængigt af det). $v$ ${\color {red}e_{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ${\color {red}e_{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ ${\color {limegreen}v}={\color {red}e_{1}}+2\color {red}e_{2}$ $v$

Nu introducerer vi et nyt grundlag , opnået fra det første ved at tænde i den positive retning. Lad os udvide vektorerne , i form af basis , og betegne med vektorens -te koordinat , så $\color {blå}f_{1}$ $\color {blå}f_{2}$ ${\displaystyle 45^{\circ ))$ $\color {blå}f_{1}$ $\color {blå}f_{2}$ $\color {rød}e_{1}$ $\color {rød}e_{2}$ ${\displaystyle c_{i}^{j))$ $j$ $\color {blå}f_{i}$

f jeg = c jeg en e en + c jeg 2 e 2 = c jeg j e j , jeg = en , 2 , {\displaystyle {\color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {red}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\color {red}e_{j}},\quad i=1,2,}

{\color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {red}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\color {red}e_{j}},\quad i=1,2,

Selvfølgelig . _ Følgelig har overgangsmatrixen fra basis til basis formen . ${\color {blue}f_{1}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}} }\end{pmatrix}}$ ${\color {blue}f_{2}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2} }}\end{pmatrix}}}$ $(c_{i}^{j})$ $\color {rød}e_{1}$ $\color {rød}e_{2}$ $\color {blå}f_{1}$ $\color {blå}f_{2}$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt { 2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

Da de gamle koordinater er relateret til de nye henholdsvis som eller i matrixformen , ser den omvendte afhængighed af koordinaterne i det nye grundlag af koordinaterne i det gamle ud som i tensornotationen som , og i matrixnotationen som . Det omvendte af matricen er let at finde i dette tilfælde: . Følgelig er vektorens koordinater i det nye grundlag ${\color {limegreen}v}={\tilde {v}}^{i}{\color {blue}f_{i}}={\tilde {v}}^{i}c_{i} ^{j}{\color {red}e_{j}}=v^{j}{\color {red}e_{j}}$ $v^{j}=c_{i}^{j}{\tilde {v}}^{i}$ $v=C{\tilde {v}}$ ${\tilde {v}}^{i}=c_{j}^{i}v^{j}$ ${\tilde {v}}=C^{-1}v$ $C^{-1}=C^{T}=\{c_{j}^{i}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2))}& {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix }}$

v ~ = ( en 2 en 2 − en 2 en 2 ) ( en 2 ) = ( 3 2 en 2 ) = ( 3 2 2 2 2 ) {\displaystyle {\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}} ${\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}$

Det kan ses, at vektorens koordinater i det nye grundlag virkelig adskiller sig fra koordinaterne i det gamle grundlag (som allerede var set fra figuren), mens vektoren selv , som et element i rummet, ikke afhænger af valget af grundlaget (geometrisk har den grønne pil ikke ændret sig på nogen måde) . $\color {limegrøn}v$

Et eksempel på genberegning af koordinaterne for en lineær funktionel

Lineære funktionaler er kovektorer (kovariante tensorer af rang 1), derfor transformeres deres koordinater ved ændring af basis på samme måde som basis (ved hjælp af den samme matrix). Betragt for eksempel det samme todimensionelle euklidiske rum med den samme indledende røde basis og grønne vektor.

Lad på dette grundlag (mere præcist, i dualen til det) en lineær funktional har koordinater (1,1) (det kan vises, at en sådan funktional finder en projektion på retningen af vektoren (1,1) og multiplicerer den For eksempel, for den grønne vektor fra figuren er værdien af den funktionelle 1 + 2 = 3. Værdien af den funktionelle bør ikke afhænge af grundlaget. Lad os vise dette ved at bruge eksemplet på et nyt grundlag, hvor akse opnås ved at dreje 45 grader mod uret, og aksen efterlades uændret. Transformationsmatrixen for basisen vil se sådan ud: , og de nye koordinater for den lineære funktional vil være lig med .Den inverse transformationsmatrix af basisen er .Ved brug af det, finder vi koordinaterne for vektoren v i den nye basis . Følgelig vil værdien af den lineære funktionelle af vektoren i den nye basis være: , det vil sige, vi fik samme værdi som i den oprindelige basis . $\varphi(x)$ ${\sqrt {2}}$ $v$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ $x$ $y$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\end{pmatrix}}$ $\varphi =(1,1){\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\ end{pmatrix}}=({\frac {2}{\sqrt {2}}},1)$ $C^{-1}={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}$ $v={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{ pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}$ $({\frac {2}{\sqrt {2}}},1){\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}=3$

Værdien af den lineære funktional afhænger ikke af det valgte grundlag, men afhænger kun af vektorargumentet, som heller ikke afhænger af grundlaget, ikke desto mindre afhænger både vektoren og kovektoren i koordinatnotationen af grundlaget.

Definitioner

Der er flere i det væsentlige tilsvarende definitioner af tensorer. Deres ækvivalens skyldes det faktum, at mellem sæt af objekter (inklusive tensoroperationer og relationer mellem dem) genereret af disse definitioner, kan man etablere en en-til-en korrespondance (de siger, at disse objekters rum er isomorfe i forhold til hinanden) .

Tensor som et sæt af komponenter (multi-indeks objekt)

Generel definition. Koordinattransformationsregel

En typetensor på et vektorrum (dimension ) er et objekt specificeret på vilkårlig basis af et sæt tal (hvert af indeksene kan tage værdier fra 1 til ), som, når man flytter til en anden basis , ændres i henhold til følgende lov (Einstein-reglen anvendes): $(_{r}^{s})$ $V$ $n$ $\{e_{i}\}$ $T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}$ $n$ $\{e_{i}^{'}\}$

T_{j'_{1}j'_{2}\dots j'_{r}}^{i'_{1}i'_{2}\dots i'_{s}}= T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}c_{i_{1}}^{i'_{1}} c_{i_{2}}^{i'_{2}}\dots c_{i_{s}}^{i'_{s}}c_{j'_{1}}^{j_{1}} c_{j'_{2}}^{j_{2}}\dots c_{j'_{r}}^{j_{r}}

det vil sige én gang med den inverse matrix af basisens transformationsmatrix og én gang med basisens transformationsmatrix. Med andre ord, inden for rammerne af denne definition er en tensor en række komponenter + loven om transformation af komponenter ved ændring af basis. $s$ $r$

Tallet kaldes valens eller rang af tensoren, - kontravariant valens, - kovariant valens. De siger også - gange kontravariant og - gange kovariant tensor. Antallet af tensorkomponenter (et sæt tal, der repræsenterer en tensor på en given basis) er . $s+r$ $s$ $r$ $s$ $r$ $n^{s+r}$

Følgelig følger det af denne definition, at vektoren af et rum er en tensor af typen , og covektoren for dette rum er en tensor af typen . For nemheds skyld antages det, at typetensoren er selve feltet for reelle tal, det vil sige skalarer, der ikke ændres, når grundlaget ændres. $V$ $(_{0}^{1})$ $(_{1}^{0})$ $(_{0}^{0})$

Koordinere transformationer i særlige tilfælde

For en rumvektor , som er en kontravariant tensor af rang 1 , vil koordinattransformationsformlen ved ændring af basis have formen , eller i matrixform: , hvor er kolonnevektorerne for vektorens koordinater x i den gamle basis og det nye grundlag. $x$ $V$ $x^i$ ${\displaystyle x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}=c_{i}^{i'}x^{i))$ $\mathbf {x} '=C^{-1}\mathbf {x}$ $\mathbf {x} ,\mathbf {x} '$

For en lineær form - en kovariant tensor af rang 1, vil koordinattransformationsformlen se ud som: , eller i matrixform , hvor er rækkevektorerne af koordinater af den lineære form i den gamle og nye basis. $f(x)$ $f_{i}$ ${\displaystyle f'_{i}=f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i))$ $\mathbf {f} '=\mathbf {f} C$ $\mathbf {f} ,\mathbf {f} '$ $f$

For en bilineær form (en dobbelt kovariant tensor ) er koordinattransformationsformlen: $B:V^{2}\rightarrow R$ $B_{ij}$

$B'_{ij}=B_{i'j'}=B_{ij}c_{i'}^{i}c_{j'}^{j}=c_{i'}^{i} B_{ij}c_{j'}^{j}=C^{T}BC$

For en lineær operator (en gang kovariant og en gang kontravariant tensor ) er koordinatgenberegningsformlen: $A:V\rightarrow V$ ${\displaystyle A_{i}^{j))$

$A_{i'}^{j'}=A_{i}^{j}c_{i'}^{i}c_{j}^{j'}=c_{j}^{j'} A_{i}^{j}c_{i'}^{i}=C^{-1}AC$

Pseudotensorer

Pseudotensorer er algebraiske objekter, hvis koordinater er transformeret på samme måde som tensorer, bortset fra ændringen i orienteringen af basis - i dette tilfælde skifter pseudotensorer fortegn, i modsætning til sande tensorer. Formelt betyder det, at det i koordinattransformationsloven er nødvendigt at tilføje en faktor svarende til fortegnet for basistransformationsmatrixens determinant :. ${\displaystyle-tegn(det(C))}$

Særlige tilfælde af pseudotensorer er pseudoskalarer og pseudovektorer . Et eksempel på en pseudoskalær er det såkaldte orienterede volumen . Et eksempel på en pseudovektor er resultatet af et krydsprodukt i 3D-rum, såsom vinkelmomentvektoren . Levi-Civita symboler er også pseudotensorer .

Multiindeksobjekter, der ikke er tensorer

Ethvert sæt tal (for eksempel en matrix), i fravær eller inkonsistens af loven om deres ændring, når grundlaget for rummet ændres med tensorloven for koordinattransformation, er ikke en tensor. Multiindeksobjekter, der er lig med nul i mindst én basis (alle koordinater i denne basis er lig med nul) er heller ikke tensorer.

Der er objekter, der ligner tensorer (standardoperationer med tensorer er anvendelige på dem, for eksempel foldning med vektorer eller andre tensorer), men hvis transformationslov, når du ændrer basis, ikke er tensor. Et klassisk, men komplekst eksempel på sådanne objekter er Christoffel-symbolerne , der angiver komponenterne i den såkaldte forbindelse (en uendelig lille parallel translation af en vektor langs en kurve) i Riemannske manifolder - deres transformationslov er ikke tensoriel. Konvolution af de forbundne komponenter med en vektor giver imidlertid en reel vektor, og deres forskel er en reel tensor ( torsionstensor ). Christoffel-symbolerne er, ligesom enhver forbindelseskoefficient på bundtet , elementer i et mere komplekst rum end rummet af tensor- jet bundter . ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$

Tensorerne omfatter heller ikke selve koordinattransformationsmatricerne ( Jacobi matricer ), som er et specialtilfælde af en diffeomorfisme mellem to manifolder, ved hjælp af hvilken den klassiske definition af en tensor introduceres, selvom de i mange af deres egenskaber minder om en tensor. For dem kan du også indtaste hævet og sænket skrift, multiplikation, addition og foldningsoperationer. Men i modsætning til tensoren, hvis komponenter kun afhænger af koordinaterne på den givne manifold, afhænger komponenterne af den jakobiske matrix også af koordinaterne på manifold-billedet. Denne forskel er tydelig i det tilfælde, hvor Jacobi-matricerne af en diffeomorfi af to vilkårlige manifolder betragtes, men når manifolden kortlægges ind i sig selv, kan den overses, da tangentrummene i billedet og præbilledet er isomorfe (ikke kanoniske) . Det bliver dog ved. Analogien mellem Jacobi-matricer og tensorer kan udvikles ved at overveje arbitrære vektorbundter over en manifold og deres produkter, og ikke kun tangent- og cotangensbundterne.

Tensor som en multilineær funktion

Generel definition

En type tensor er en multilineær funktion (multilineær form) , det vil sige en numerisk funktion af argumenter af følgende form , hvor er lineære funktionaler på og er rumvektorer . $(_{r}^{s})$ $T\colon (V^{*})^{s}\ gange V^{r}\to R$ $s+r$ $T(f_{1},f_{2},...,f_{s},x_{1},x_{2},...,x_{r})$ $f_{i}$ $V$ $x_{j}$ $V$

Tensorkoordinaterne vil på et eller andet grundlag være værdierne af den multilineære funktion på forskellige kombinationer af basisvektorer: $T_{j_{1}j_{2}...j_{r}}^{i_{1}i_{2}...i_{s}}=T(e^{i_{1}} ,e^{i_{2}},...,e^{i_{s}},e_{j_{1}},e_{j_{2}},...,e_{j_{r}} )$

Multilineære funktioner på V som kovariante tensorer

På et rum er multilineære funktioner numeriske funktioner af flere vektorargumenter i dette rum, lineære i hvert af argumenterne: . Linearitet med hensyn til hvert argument betyder, at disse funktioner kan betragtes som lineære funktionaliteter med hensyn til hvert argument, hvis de andre argumenter er faste. $V$ $f(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

Multilineære funktioner af vektorargumenter i rummet er tensorer af typen , det vil sige - gange kovariante tensorer (covektorer var et særligt tilfælde af denne type tensorer). Faktisk, hvis vi betragter en sådan tensor som en funktion , så får vi, når vi repræsenterer hver af vektorerne som en lineær kombination af vektorer på rumbasis, på grund af funktionens multilinearitet: $r$ $V$ $(_{r}^{0})$ $r$ $T(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

$T(x_{1}^{i_{1}}e_{i_{1}},x_{2}^{i_{2}}e_{i_{2}},...,x_{r }^{i_{r}}e_{i_{r}})=x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{ r}}T(e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{r}})=T_{i_{1}i_{2}...i_{r }}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$

hvor er koordinatudtrykket for den multilineære funktion, og produkterne er det dobbelte grundlag for rummet dual til . Det vil sige, at multilineære funktioner danner et vektorrum dual til . Når du ændrer basis i hovedrummet i det dobbelte rum, skifter basis tilbage, og vektorerne for selve det dobbelte rum (det vil sige i dette tilfælde multilineære funktioner) ændres tilbage til deres basis, og derfor, såvel som grundlaget for hovedrummet. Multilineære funktioner på rummet transformerer således kovariant i koordinatrepræsentationen og er -tider kovariante tensorer. $T_{i_{1}i_{2}...i_{r))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$ $(V^{*})^{r}$ ${\displaystyle (V)^{r))$ ${\displaystyle (V)^{r))$ $V$ $r$

Et klassisk eksempel på tensorer af typen (dobbelt kovariant tensor) er bilineære former - numeriske funktioner af to argumenter-vektorer af rummet , lineære i hvert af argumenterne. I koordinatrepræsentationen er det skrevet som en matrix af komponenter - bilineære værdier på par af basisvektorer. Ved ændring af basis transformeres matrixen af den bilineære form som , hvor C er transformationsmatrixen for basis. $(_{2}^{0})$ $g(x,y)$ $EN$ $A'=C^{T}AC$

Multilineære funktioner på V* som kontravariante tensorer

På samme måde kan man vise, at multilineære funktioner på det dobbelte rum er typetensorer på grund af koordinattransformationens kontravariante natur. ${\displaystyle (V^{*})^{s))$ $(_{0}^{s})$

Det er noget sværere at forstå i denne definition, at de kontravariante tensorer af typen er vektorer af rummet . Pointen er, at lineære funktionaler på rummet også danner rummet dual til k — det andet dobbeltrum, betegnet med . Det kan dog vises, at for finit-dimensionelle vektorrum er det andet dobbeltrum kanonisk isomorft i forhold til det oprindelige vektorrum , det vil sige mellemrummene og kan identificeres. Derfor kan lineære funktionaler på det dobbelte rum identificeres med henholdsvis rummets vektorer , disse er tensorer af typen $(_{0}^{1})$ $V$ $V^{*}$ $V^{*}$ $V^{**}$ $V^{**}$ $V$ $V$ $V^{**}$ $V^{*}$ $V$ $(_{0}^{1})$

Multilineære funktioner som lineære afbildninger

Tilsvarende kan det vises, at loven om transformation af generelle multilineære funktioner også svarer til tensoren.

Hvad der ikke er indlysende ud fra denne definition er, at de lineære operatorer på er tensorer af typen . Ikke desto mindre, hvis vi betragter en multilineær funktion , hvor er en rumvektor, og er en lineær funktion (en vektor af det dobbelte rum), så er en sådan funktion for en fast blot en lineær funktion på rummet , det vil sige et element af rummet . Som nævnt ovenfor er dette rum identisk med det oprindelige rum , hvilket betyder, at en anden vektor af det samme rum er knyttet til denne funktion for en fast, og samtidig er en sådan afbildning lineær. Følgelig identificeres multilineære funktioner af typen med lineære operatorer på . $V$ $(_{1}^{1})$ $T(f,x)$ $x$ $f$ $x$ $V^*$ $V^{**}$ $V$ $x$ $y$ $T(f,x)$ $V$

På samme måde kan man vise, at lineære afbildninger er tensorer af typen , og mere generelt er lineære afbildninger af typen tensorer . $L:V^{r}\rightarrow V$ $(_{r}^{1})$ $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$ $(_{r}^{s})$

Tensor som et element i tensorproduktet af vektorrum

Generel definition

Rangstensoren over et dimensionelt vektorrum er et element i tensorproduktet af rum og konjugerede rum (det vil sige rum af lineære funktionaler ( covectors ) på ) $(s,r)$ $n$ $V$ $s$ $V$ $r$ $V^*$ $V$

\tau \in \underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} _{s}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \ldots \otimes V^{*}} _{r}= \left(\bigotimes _{i=1}^{s}V\right)\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{r}V^{*}\right)=(\otimes ^{ s}V)\otimes (\otimes ^{r}V^{*})=\otimes _{r}^{s}V=T_{r}^{s}(V).

Forklaringer på tensorproduktet

Denne definition betragtes som moderne, men kræver en foreløbig forklaring af det vanskelige koncept med tensorproduktet af vektorrum. Tensorproduktet af vektorrum er et vektorrum, der er forbundet med disse vektorrum gennem en multilineær mapping , det vil sige, at hvert element i det kartesiske (direkte) produkt af vektorrum er forbundet med et rumelement og hver polylineær form på disse vektorrum svarer til en lineær form i rummet . $W$ $W$ $W$

Tensorproduktet af vektorer er lettere at definere i koordinatrepræsentation: det er en vektor, hvis koordinater alle er mulige produkter af koordinaterne for de "multiplicerede" vektorer. For eksempel, hvis to vektorer x og y af dimensionsrummet "multipliceres" , så er deres tensorprodukt en dimensionsvektor , hvis koordinater er lig med tallene , hvor indekserne løber gennem alle mulige værdier fra 1 til (det er praktisk at skrive disse koordinater som en kvadratisk matrix ). I vektorform vil opnåelse af dette matrix-tensorprodukt blive skrevet som eller afhængigt af multiplikationsrækkefølgen (ikke at forveksle med eller - i disse tilfælde opnås kun ét tal). Tensorproduktet er ikke-kommutativt, det vil sige, at rækkefølgen af de multiplicerede vektorer påvirker resultatet (sættet af tal er det samme, men som ordnede sæt af tal er de forskellige). Faktisk er tensorprodukter af vektorer nogle tensorer (de multiplicerede vektorer afhænger ikke af grundlaget, og derfor defineres tensorproduktet uafhængigt af det, mens enhver ændring i grundlaget ændrer koordinatrepræsentationen af de multiplicerede vektorer og deres produkter). $V$ $n$ $z$ $n^{2}$ ${\displaystyle x^{i}y^{j))$ $i,j$ $n$ $n\ gange n$ $xy^{T}$ $yx^{T}$ $x^{T}y$ $y^{T}x$

Koordinatrepræsentation af en tensor

Vi vælger en basis i rummet , og følgelig en dobbelt basis i det dobbelte rum (det vil sige hvor er Kronecker-symbolet ). $V$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\))$ ${\displaystyle \{\mathbf {f} ^{1},\mathbf {f} ^{2},\ldots ,\mathbf {f} ^{n}\))$ $V^*$ $(\mathbf{e}_a \cdot \mathbf{f}^b) = \delta_a^b$ $\delta_a^b$

Så opstår der naturligt i tensorernes rum et grundlag $\mathrm {T} _{r}^{s}(V)=\nogle gange _{r}^{s}V$

\{\mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\ mathbf {e} _{i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\ nogle gange \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{r}}\},\quad 1\leqslant i_{a},j_{b}\leqslant n

En vilkårlig tensor kan skrives som en lineær kombination af grundlæggende tensorprodukter: $\tau \in \mathrm {T} _{r}^{s}(V)$

\tau =\sum _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}\sum _{i_{1},i_{2},\ldots,i_{s}} {\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}}\mathbf {e} _ {i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{s}} \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \, \mathbf {f} ^{j_{r}}.

Ved at bruge Einstein-konventionen kan denne udvidelse skrives som

\tau ={\tau _{j_{1},j_{2},\ldots,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}} \mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _ {i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\nogle gange \,\ldots \,\nogle gange \,\mathbf {f} ^{j_{r}}.

Tallene kaldes komponenterne i en tensor . De nedre indekser af tensorkomponenterne kaldes kovariante, og de øvre indekser kaldes kontravariante. For eksempel ville udvidelsen af en dobbelt kovariant tensor være: $\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}$ $\tau$ $h$

h = \sum_{j,k} h_{jk} \mathbf{f}^j \otimes \mathbf{f}^k

Tensorfelt

For såkaldte glatte manifolder , som ikke er i generelle vektorrum, kan der gives en tensor på det såkaldte tangentrum til et punkt i manifolden, da tangentrummet er et vektorrum. Følgelig kan tensoren betragtes som givet ved et punkt i manifolden. Følgelig er en glat funktion (tensor-værdi), som tildeler en tensor til hvert punkt i manifolden, et tensorfelt . $M$ $T_{p}M$ $s$

Et klassisk eksempel på et tensorfelt, normalt kaldet blot en tensor, er den metriske tensor i riemannske manifolds (mellemrum) og bruges også i generel relativitetsteori.

Eksempler og anvendelser af tensorer

Eksempler på tensorer grupperet efter valens

Kontravariant rang (antal hævet skrift)

kovariant rang (antal abonnenter)	0	en	2	3	s
0	Skalar , vektorlængde , afstand (relativitetsteori) , skalar krumning	Vektor (algebra) , 4-vektorer i SRT, fx 4-energi-momentum vektor (4-momentum)	Energi-momentum tensor i generel relativitetsteori, bivector, invers metrisk tensor	Spin tensor i kvantefeltteori	Polictor
en	Kovektor , lineær form , skalarfunktionsgradient	Lineær operator , Kronecker delta $L:V\rightarrow V$
2	Bilineær form , Punktprodukt , Metrisk tensor , Ricci tensor , Torsionstensor , Elektromagnetisk felttensor , Spændingstensor , Strain tensor , Quadrupol moment	Lineær visning $L:V^{2}\rightarrow V$	Elasticitet (stivhed) tensor
3	Levi-Civita Tensor	Riemann krumningstensor
r	Polyline Shape , Volume Shape	Lineær visning $L:V^{r}\rightarrow V$			Lineær visning $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$

Eksempler på tensorer inden for forskellige felter inden for matematik og fysik

Tensorer er meget udbredt i forskellige grene af matematik og fysik. Mange ligninger i fysik og matematik bliver, når man bruger tensornotation, kortere og mere bekvemme. Brugen af tensorer giver mulighed for at se forskellige symmetrier af fysiske størrelser, ligninger og modeller, samt skrive dem i en generel kovariansform (uafhængig af en specifik referenceramme).

I matematik er tensorer genstand for undersøgelse i tensorregning , som omfatter tensoralgebra og tensoranalyse . I differentiel topologi og geometri , som studerer glatte (herunder Riemanniske) manifolds, betragtes forskellige tensorer: tangentvektor , bilineær form , metrisk tensor , gradient af en skalarfunktion, forbindelse eller kovariant afledt , torsionstensor , Riemann- kurvaturtensor og dens viklinger - Ricci tensor og skalar krumning osv.

I fysik har udtrykket tensor en tendens til kun at gælde for tensorer over almindeligt fysisk 3-dimensionelt rum eller 4-dimensionelt rumtid, eller i det mindste over de enkleste og mest direkte generaliseringer af disse rum (selvom den principielle mulighed for at anvende det i mere generelle tilfælde forbliver ). For eksempel kan kvantemekanikkens lineære operatorer tolkes som tensorer over nogle abstrakte rum (tilstandsrum), men traditionelt bruges en sådan anvendelse af termen tensor praktisk talt ikke, og generelt bruges den yderst sjældent til at beskrive lineære operatorer over uendelige dimensionelle rum. Tensorer i fysik er meget brugt i teorier, der har en geometrisk karakter (såsom den generelle relativitetsteori ) eller tillader fuldstændig eller signifikant geometrisering (praktisk talt alle moderne fundamentale teorier kan i vid udstrækning henføres til disse - elektrodynamik , relativistisk mekanik osv. .), og også i teorien om anisotrope medier (som i begyndelsen kan være anisotrope, som krystaller med lav symmetri, eller på grund af deres bevægelse eller spændinger, som en flydende væske eller gas , eller som et deformeret fast legeme). Derudover er tensorer meget udbredt i stiv kropsmekanik . De fleste tensorer i fysik (der ikke tages i betragtning skalarer og vektorer) er af anden rang (med to indekser). Tensorer med en stor valens (såsom Riemann-tensoren i den almene relativitetsteori) forekommer som regel kun i teorier, der anses for ret komplekse, og selv da optræder de ofte hovedsageligt i form af deres viklinger af en lavere valens. De fleste tensorer i fysik er symmetriske eller antisymmetriske.

Nedenfor er en tabel over anvendelsen af tensorer i fysik efter retning.

Videnskabsafsnit	Tensorer og deres applikationer
Special Relativity (SRT)	4-vektorer , herunder 4-vektorer af koordinater i 4-dimensionel Minkowski rumtid, metrisk tensor , interval (relativitetsteori) ("længde" i dette rum); 4-tensorer bruges til at betegne enhver tensor over firedimensional rumtid, hvor rammerotationer omfatter både almindelige rotationer af tredimensionelt rum og overgangen mellem referencerammer, der bevæger sig med forskellige hastigheder i forhold til hinanden. Det er en tensor over rummet af 4-vektorer , en tensor, hvis indeks tager fire værdier: en "tid" og tre "rumlig". Et eksempel er 4-momentum ( 4-energi-momentum vektor );
Generel relativitetsteori (GR)	metrisk tensor over en pseudo-Riemannsk 4-dimensionel manifold, som i generel relativitetsteori er en udvikling af begrebet det newtonske gravitationspotentiale og viklingerne af Riemann-krumningstensoren , der er resultatet af det - Ricci-tensoren og den skalære krumning (foldning af Ricci tensor), forbundet i samme teori med tyngdefeltets energi og direkte inkluderet i teoriens hovedligning (på venstre side af Einstein-ligningen danner de tilsammen den såkaldte Einstein-tensor ), energimomentum tensor af de materialefelter, der er inkluderet i højre side af Einstein-ligningen
Klassisk elektrodynamik	Den elektromagnetiske felttensor over Minkowski-rummet, der indeholder styrkerne af de elektriske og magnetiske felter og er hovedobjektet for klassisk elektrodynamik i 4-dimensionel notation. Især Maxwells ligninger er skrevet ved at bruge det som en enkelt 4-dimensionel ligning.
Teori om elasticitet og kontinuummekanik	Tensorer af anden rang over det 3-dimensionelle fysiske rum Deformationstensoren og stresstensoren , forbundet med hinanden gennem elasticitetstensoren af 4. rangorden. Elasticitetsmoduler anvendes også .
kvantefeltteori	I den relativistiske feltteori opstår energimoment-tensoren og Spin-tensoren , som i QFT har form af lineære operatorer over tilstandsvektoren
Kinematik af en stiv krop	Den vigtigste rolle spilles af inerti-tensoren , som forbinder vinkelhastigheden med vinkelmomentet og den kinetiske rotationsenergi. Denne tensor adskiller sig fra de fleste andre tensorer i fysik, som generelt er tensorfelter, ved at en tensor karakteriserer et absolut stivt legeme, der fuldstændigt sammen med massen bestemmer dets inerti
Felt teori	Quadrupolmoment og generelt tensorer inkluderet i multipoludvidelsen : kun én tensor repræsenterer fuldstændigt tidspunktet for fordeling af ladninger af den tilsvarende orden på et givet tidspunkt.
andre afsnit	Mange mængder, som er skalære karakteristika for et stof i tilfælde af isotropi af sidstnævnte, er tensorer i tilfælde af et anisotropt stof. Mere specifikt refererer dette til væsentlige koefficienter, der forbinder vektormængder eller står foran produkter (især firkanter) af vektorer. Eksempler er elektrisk ledningsevne (også dens omvendte resistivitet ), termisk ledningsevne , dielektrisk følsomhed og permittivitet , lydhastighed (afhængig af retning) osv. Ofte i fysik er Levi-Civita pseudo-tensoren nyttig , som er inkluderet f.eks. i koordinatnotationen af vektor og blandede produkter af vektorer. Komponenterne i denne tensor er altid skrevet på næsten samme måde (op til en skalarfaktor afhængigt af metrikken), og i den rigtige ortonormale basis er de altid nøjagtig ens (hver er lig med 0, +1 eller −1) .

Symmetriske og antisymmetriske tensorer

I forskellige former for applikationer opstår der ofte tensorer med en vis symmetriegenskab .

En tensor kaldes symmetrisk med hensyn til to ko-(kontra-)variante indekser, hvis den ikke ændrer sig fra en permutation af disse indekser:

{T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}} }={T_{{\understreget {j_{2},j_{1}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}} ,\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

eller

{T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},\ldots,i_{s}} }={T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\underline {i_{2},i_{1}}},\ldots,i_{s}}} ,\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

Når man betragter en tensor som en multilineær funktion, betyder det, at værdien af funktionen ikke ændres, når disse to argumenter ombyttes.

Skæv - symmetrisk ( skævsymmetri ) eller antisymmetrisk med hensyn til to ko-(kontra-)variante indekser er en tensor, der skifter fortegn, når disse indekser ombyttes:

T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}= -T_{{\understreget {j_{2},j_{1}}},\ldots,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots,i_{s}},\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

eller

T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^({\understreget {i_{1},i_{2}}},\ldots,i_{s}}= -T_{j_{1},j_{2},\ldots,j_{r}}^{{\understreget {i_{2},i_{1}}},\ldots,i_{s}},\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

Når man betragter en tensor som en multilineær funktion, betyder det, at værdien af funktionen skifter fortegn, når disse to argumenter ombyttes.

Disse definitioner generaliserer naturligvis til tilfældet med mere end to indekser. En tensor er symmetrisk med hensyn til et sæt af indekser, hvis tensoren ikke ændres for nogen permutation af indeksene fra dette sæt. En tensor er antisymmetrisk med hensyn til et sæt indekser, hvis den skifter fortegn ved en ulige permutation (opnået ved et ulige antal permutationer af to indekser) og ikke ændrer fortegn ved lige permutationer over dette sæt af indekser.

Symmetri eller antisymmetri behøver ikke kun at dække naboindekser, det kan omfatte alle indekser, dog under hensyntagen til følgende: symmetri eller antisymmetri kan kun referere til indekser af samme art: co- eller contravariant. Symmetrier, der blander co- og kontravariante tensorindekser, giver som regel ikke meget mening, da de, selvom de observeres i komponenterne, ødelægges, når de går over til et andet referencegrundlag (det vil sige, de er ikke invariante). I tilstedeværelsen af en metrisk tensor eliminerer tilstedeværelsen af indeksforøgende eller sænkende operationer imidlertid denne ulejlighed, og begrænsningen til dette fjernes i det væsentlige, når tensoren er repræsenteret på en passende måde (f.eks. er Riemann-krumningstensoren antisymmetrisk i de to første og to sidste indeks). $R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$

Der er også mere komplekse symmetrier, såsom den første Bianchi-identitet for krumningstensoren.

Tensor operationer

Standard lineære operationer

Tensorer af samme valens er elementer i et eller andet lineært rum og tillader operationer med summering og multiplikation med en skalar , svarende til operationer på et vilkårligt lineært rum. Når der ganges med en skalar, ganges hver komponent af tensoren med den (svarende til at gange en vektor med en skalar). Når man tilføjer tensorer, tilføjes komponenterne i disse tensorer (også svarende til vektorer).

Tensor produkt

Tensorproduktoperationen er defineret mellem tensorer af vilkårlig valens .

I koordinatrepræsentationen er komponenterne i et tensorprodukt i det væsentlige alle mulige produkter af de tilsvarende komponenter af de multiplicerede tensorer, for eksempel . $P^{ij}_{\ \ kl}\ = A^{ij} B_{kl}$

Når man betragter tensorer som multilineære funktioner, er tensorproduktet en multilineær funktion svarende til produktet af multiplikator-multilineære funktioner. Følgelig, hvis en faktor indeholder argumenter, den anden - , så er deres produkt en funktion af argumenterne: $(s,r)$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

$\varphi _{r+r'}^{s+s'}=\sigma _{r}^{s}\otimes \tau _{r'}^{s'}=\varphi (f_{ 1},..f_{s+s'},x^{1},..,x^{r+r'})=\sigma (f_{1},..,f_{s},x^ {1},..,x^{r})\tau (f_{s+1},..,f_{s+s'},x^{r+1},..,x^{r+ r '})$

Følgelig er produktet af rangtensoren og rangtensoren den samlede rangtensor . $(s,r)$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

Dette er endnu mere indlysende, hvis vi bruger definitionen af en tensor som et element i et tensorprodukt, nemlig hvis og derefter deres produkt $\sigma \in T_{r}^{s}=\nogle gange _{r}^{s}V$ $\tau \in T_{r'}^{s'}=\otimes _{r'}^{s'}V$

\sigma \otimes \tau \in T_{r+r'}^{s+s'}=T_{r}^{s}\otimes T_{r'}^{s'}=(\otimes _{r}^{s}V)\otimes (\otimes _{r'}^{s'}V)=\otimes _{r+r'}^{s+s'}V

Tensorproduktoperationen gør således mængden af alle tensorrum på et givet vektorrum til en såkaldt bigraderet algebra . $\otimes V$

Konvolution

Reglen for summering af det såkaldte tavse indeks, der er impliceret i Einsteins notation (når nogle øvre og nedre indekser er angivet med det samme bogstav i notationen) definerer faktisk en specifik tensoroperation kaldet konvolution.

Tensor foldning

Tensor foldning - en operation, der sænker valensen af en tensor, beregnes ved at summere over et par indekser (øvre og nedre, hvis de er forskellige) og gennemløbe, forblive lig med hinanden, alle deres værdier, for eksempel:

{\displaystyle A_{jkl}^{ji}=\sum _{j}A_{jkl}^{ji}=A_{kl}^{i))

Den endelige tensor betegnes normalt med det samme bogstav, på trods af at dette allerede er en tensor af en anden rang (antallet af indekser), der er 2 mindre end rangeringen af den oprindelige tensor.

I tilfælde af en tensor af typen (1,1), resulterer foldningen i et enkelt tal, kaldet sporet af tensoren (i analogi med sporet af sporet af en matrix ). Sporet er en invariant (basisuafhængig) størrelse, en skalar (nogle gange kaldet en tensorinvariant ).

Konvolution af flere tensorer

Konvolutionsoperationen anvendes også på to eller flere tensorer (inklusive mellem en tensor og en vektor), for eksempel:

B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=\sum _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=C_{jk}^{i }

Denne operation kan reduceres til successiv tensor multiplikation af disse tensorer: og derefter foldning af den resulterende tensor . Denne operation er naturligvis lineær i alle inputkanaler. Konvolution med en tensor implementerer således en lineær eller multilineær afbildning af tensorrum på et tensorrum (i det generelle tilfælde på et andet), især vektorer på vektorer og vektorer på skalarer. ${\displaystyle B_{l}^{i}A_{jk}^{m}=C_{ljk}^{im))$ ${\displaystyle C_{mjk}^{im}=C_{jk}^{i))$

Konvolutionen af en vektor med en rang to tensor er handlingen af en lineær operator defineret af denne tensor på vektoren:

{\displaystyle A_{j}^{i}v^{j}=\sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=u^{i))

Den (enkelte) foldning af to tensorer med valens to implementerer sammensætningen af lineære operatorer defineret af disse tensorer:

B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\sum _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=C_{j}^{i }

Konvolvering af en vektor og en covektor giver en skalar - kvadratet af vektorens længde: ${\displaystyle x^{i}x_{i))$ $d^{2}$

Sænkning og hævning af indekset

I rum med en metrisk tensor (euklidiske og pseudo-euklidiske rum, riemannske og pseudo-riemannske manifolds) defineres operationerne med at sænke og hæve indekser ved foldning med den metriske tensor (sådanne operationer ændrer arten af tensorens valens, lader den samlede rang af tensoren være uændret):

${\displaystyle x_{j}=g_{ij}x^{i))$ - sænkning af indekset (overgang fra vektor til covektor)

${\displaystyle x^{i}=g^{ij}x_{i))$ - løft af indekset (overgang fra en covector til en vektor) ved hjælp af en kontravariant metrisk tensor (dens matrix er omvendt til den sædvanlige covariant metriske tensor)

$R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$ — Riemann-krumningstensoren af typen (1,3) omdannes til en fuldt kovariant tensor af typen (0,4)

Operationerne med at sænke og hæve indekser gør det muligt at bestemme invarianterne af fuldt kovariante eller fuldt kontravariante tensorer. For eksempel kan en dobbelt kovariant Ricci-tensor reduceres til en blandet form, og den resulterende tensor kan konvolveres. Disse to operationer kan simpelthen reduceres til foldningen af Ricci-tensoren med den metriske tensor over et par indekser på én gang: . Den resulterende værdi kaldes den skalære krumning. Det afhænger ikke af valget af grundlag i rummet. $R_{j}^{k}=g^{ki}R_{ij}$ $R=g^{ij}R_{ij}$

Symmetrisering og antisymmetrisering

Symmetri og anti-symmetri er konstruktionen af en tensor af samme type med en vis form for symmetri. For eksempel er en symmetriisering af en tensor en symmetrisk tensor, og en antisymmetrisering er en antisymmetrisk tensor. $T_{ij}$ $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$ $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\venstre(T_{ij}-T_{ji}\right)$

I det generelle tilfælde har symmetriiseringen med hensyn til indeks formen $n$

T_{(i_1\ldots i_n)} = {1\over n!}\sum_{\sigma} T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)},

og antisymmetrisering (alternering):

T_{[i_1\ldots i_n]} = {1\over n!}\sum_{\sigma} \mathrm{sign}\,(\sigma) T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)}

Her er alle mulige permutationer af indekser og er pariteten af permutationen . $\sigma$ $i_1,\ldots,i_n,$ $\mathrm{tegn}\,(\sigma)$ $\sigma.$

Det er selvfølgelig ikke nødvendigt at symmetriisere tensoren med hensyn til alle indekser; dette bruges her kun for at forenkle notationen.

Hvis den er symmetrisk i så falder symmetriseringen med hensyn til disse indekser sammen med og antisymmetriseringen giver en nultensor. Tilsvarende i tilfælde af antisymmetri med hensyn til nogle indekser. $T_{i_1\ldots i_n}$ $i_1\ldots i_n,$ $T,$

Hvis så Her er en symmetrisk , og er det ydre produkt af vektorrum. $T_{ij} \in V\otimes V,$ $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ $\vee$ $\kile$

Relaterede begreber og generaliseringer

Tensorer i uendelig-dimensionelle rum

Begrebet en tensor kan formelt generaliseres til tilfældet med uendelig-dimensionelle lineære rum. Generaliseringer af tensorer til topologiske rum udføres ved at introducere et topologisk tensorprodukt.

For den korrekte definition af tensorer på sådanne rum skal refleksivitetsegenskaben for dette rum være opfyldt, det vil sige, det skal være kanonisk isomorf til dets andet dobbeltrum (alle finit-dimensionelle rum har denne egenskab). Så har for eksempel definitionen i form af multilineære funktioner en korrekt betydning og fører til, at vektorer og lineære operatorer på sådanne rum er tensorer.

Især er tensorer defineret på Hilbert-rum , og så er lineære afbildninger på Hilbert-rum tensorer. Men i applikationer (i fysik) anvendes udtrykket "tensor" normalt ikke på sådanne objekter (for eksempel er operatorer i kvantefysik, der repræsenterer forskellige fysiske størrelser, i det væsentlige tensorer i Hilbert-rummet, men de kaldes normalt ikke sådanne).

Deviator og kugledel

Enhver tensor af anden rang kan repræsenteres som summen af afvigeren og den sfæriske del : $\sigma_{ij}$ ${\displaystyle s_{ij))$

\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+s_{ij},\quad p=-{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i }}{N}}.

Her er tensorens egenværdier . Afvigerens egenværdier er relateret til tensorens egenværdier: . Begrebet en afviger er meget brugt i kontinuummekanik. [2] $\sigma_i$ $s_{i}$ $s_{i}=\sigma _{i}+p,\ i=1,\dots ,N$

Se også

Tensor felt
Metrisk tensor
Krumning tensor
Tensor Computing (software)

Noter

↑ Woldemar Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [Krystallers fundamentale fysiske egenskaber i en elementær præsentation] (Leipzig, Tyskland: Veit & Co., 1898), s. 20. Fra side 20: "Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie charakteristischen physikalischen Grössen aber Tensoren nennen." (Vi vil derfor] have [dem. tensorerne".)
↑ Klimov D. M. , Petrov A. G., Georgievskiy D. V. Viskoplastiske strømme: dynamisk kaos, stabilitet, blanding. - M., Nauka, 2005. - s. 21 - ISBN 5-02-032945-2 .

Litteratur

Akivis M. A., Goldberg V. V. Tensorregning. — M .: Nauka, 1969;
Vinberg E. B. Algebra kursus. 3. udg. - M. : MTSNMO, 2017. - 592 s. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
Dimitrienko Yu. I. Tensorregning: Proc. godtgørelse. - M . : Højere skole, 2001. - 576 s. — ISBN 5-06-004155-7 .
Korenev GV Tensor calculus: Proc. godtgørelse. - M . : MIPT Publishing House, 2000. - 240 s. — ISBN 5-89155-047-4 .
Kostrikin A.I. Introduktion til algebra. 2. udg. - M. : MTsNMO, 2012. - Del II: Lineær algebra. — 368 s. — ISBN 978-5-94057-888-8 .
Kochin N. E. Vektorregning og begyndelsen af tensorregning (9. udgave). — M .: Nauka, 1965.
McConnel A. J. Introduktion til tensoranalyse med anvendelser til geometri, mekanik og fysik. — M .: Fizmatlit , 1963.
Nomizu K. Lie-grupper og differentialgeometri. — M .: IL, 1960.
Pobedrya B.E. Forelæsninger om tensoranalyse: Proc. godtgørelse. (3. udgave). - M . : Forlag ved Moscow State University, 1986.
Rashevsky P. K. Riemann geometri og tensoranalyse (3. udgave). - M . : Nauka, 1967.
Sharipov R. A. En hurtig introduktion til tensoranalyse. - BashGU.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Stor russer jorden rundt
I bibliografiske kataloger	NDL : 00572865