Ordliste over generel topologi

Denne ordliste giver definitioner af de vigtigste termer, der bruges i generel topologi . Referencer i ordlisten er i kursiv .

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

En

Antidiskret topologi Topologi på rummet, hvor kun to sæt er åbne: selve rummetog det tomme sæt.

x

x

B

Topologi base Et sæt åbne sæt, således at ethvert åbent sæt er foreningen af sæt i basen.

I

Topologisk rumvægt Minimumskapaciteten for alle baser i rummet. Virkelig komplet plads Et rum, der er homøomorft i forhold til et lukket underrum med en vis kraft fra den virkelige linje. Interiør Sættet med alle indvendige punkter i sættet . Den største ved inklusion åbne delmængde af et givet sæt. Indvendigt punkt i et sæt Et punkt, der er inkluderet i det givne sæt sammen med noget af dets nabolag . Indskrevet dækning Et cover er indskrevet i et cover, hvis hvert sæt af er indeholdt i et sæt af

EN

B

EN

B

Fuldstændig afbrudt plads Et rum, hvoraf ingen delmængde, der indeholder mere end et punkt, er forbundet . Overalt tæt sæt Et sæt hvis lukning falder sammen med hele rummet. udhulet kvarter Nabolaget til et givet punkt, hvorfra dette punkt selv er blevet fjernet.

G

Homeomorfisme En bijektion sådan, at og er kontinuerlige .

f

f

f^{-1}

Homeomorfe rum Rum mellem hvilke der er en homøomorfisme . Homotopi For en kontinuerlig kortlægning , en kontinuerlig kortlægning , sådan at for evt . Især notationen bruges ofte .

f\kolon X\til Y

F\kolon[0,\;1]\gange X\til Y

F(0;\;x)=f(x)

x\i X

f_t(x)=F(t,\;x)

f_0=f

Homotopiske kortlægninger Kortlægninger kaldes homotopiske eller hvis der er en homotopi sådan, at og .

f,\;g\kolon X\til Y

g\sim f

f_t

f_0=f

f_1=g

Homotopi ækvivalens af topologiske rum Topologiske rum og er homotopisk ækvivalente, hvis der eksisterer et par kontinuerlige afbildninger og sådan, at og , Her betegner homotopi ækvivalens af afbildninger , det vil sige ækvivalens op til homotopi . Det siges også, at og har den samme homotopi type .

x

Y

f\kolon X\til Y

g\kolon Y\til X

f\circ g\sim \mathrm{id}_Y

g\circ f\sim \mathrm{id}_X

\sim

x

Y

Homotopi invariant En karakteristik af et rum, der er bevaret under homotopi-ækvivalens af topologiske rum . Det vil sige, at hvis to rum er homotopisk ækvivalente, så har de samme egenskab. For eksempel er forbindelse , fundamental gruppe , Euler-karakteristik homotopi-invarianter. Homotopisk type Homotopiækvivalensklassen af topologiske rum , det vil sige, homotopiækvivalente rum kaldes rum af samme homotopitype. Grænsen 1. Relativ grænse . 2. Samme som kanten af manifolden .

D

dørplads Et rum, hvor hver delmængde enten er åben eller lukket. Kolon Topologisk rum bestående af to punkter; Der er tre muligheder for at specificere topologien - en diskret topologi danner et simpelt kolon , en antidiskret danner en klæbrig kolon , og en topologi med et åbent sæt på ét punkt danner et forbundet kolon . Deformation trækkes tilbage En delmængde af et topologisk rum , der har den egenskab, at der er en homotopi af identitetskortlægningen af rummet til en eller anden afbildning , hvorunder alle punkter i mængden forbliver faste .

EN

x

\mathrm{id}_X

X\ til A

EN

Diskret topologi En topologi , hvor hvert sæt er åbent . diskret sæt Et sæt, som hvert punkt er isoleret .

W

lukket sæt Et sæt, der er komplementet til en åben . Lukket display En mapping, hvorunder billedet af et lukket sæt er lukket. lukning Det mindste lukkede sæt, der indeholder det givne.

Og

Induceret topologi Topologi på en delmængde af det topologiske rum, hvor åbne mængder anses for at være skæringspunkterne mellem åbne sæt af det omgivende rum med .

EN

EN

Isoleret sætpunkt Et punkt kaldes isoleret for et sæt af et topologisk rum, hvis der eksisterer et kvarter sådan, at .

-en

EN

x

O(a)

A\cap O(a) = a

K

Kardinal invariant Topologisk invariant , udtrykt som et kardinaltal . Baer kategori En karakteristik af et topologisk rum, der tager en af to værdier; den første Baire-kategori omfatter rum, der tillader en tællig dækning af intetsteds tætte undergrupper, de andre rum tilhører den anden Baire-kategori. Kompaktificering Kompaktificeringen af et rum er et par , hvor er et kompakt rum, er en homøomorf indlejring af et rum i et rum , og er overalt tæt i Også selve rummet kaldes en komprimering .

x

(Y,f)

Y

f

x

Y

f(X)

Y

Y

Kompakt display Kortlægning af topologiske rum, således at det omvendte billede af hvert punkt er kompakt . kompakt plads Et topologisk rum, hvor ethvert dækning af åbne sæt indeholder et endeligt underdæksel . Punktforbindelseskomponent Det maksimale tilsluttede sæt, der indeholder dette punkt. Kontinuum Forbundet kompakt Hausdorff topologiske rum. Kegle over topologisk rum For et mellemrum (kaldet keglens bund ), det rum, der opnås fra produktet ved at trække underrummet sammen til et enkelt punkt, kaldet keglens toppunkt .

x

\mathrm{C}X

X\ gange[0,\;1]

X\ gange\{0\}

L

Lindelof plads Et topologisk rum, hvor ethvert dækning af åbne sæt indeholder et tælleligt underdæksel. stiforbundet rum Et rum, hvor et hvilket som helst par af punkter kan forbindes med en kurve. Lokalt kompakt plads Et rum, hvor ethvert punkt har et kompakt kvarter . Lokalt afgrænset familie af delmængder En familie af delmængder af et topologisk rum, således at hvert punkt i dette rum har et kvarter, der kun skærer et begrænset antal elementer i denne familie. Lokalt forbundet rum Et rum, hvor ethvert punkt har et forbundet kvarter . Lokalt sammentrækbart rum Et rum, hvor ethvert punkt har et sammentrækbart kvarter . Lokal homeomorfisme En kortlægning af topologiske rum, sådan at der for hvert punkt er et kvarter , som er kortlagt på en homeomorf måde. Nogle gange indgår et krav automatisk i definitionen af en lokal homeomorfi , og derudover antages kortlægningen at være åben.

f\kolon X\til Y

x\i X

U_x

f

Y

f(X)=Y

f

M

massivt sæt En delmængde af et topologisk rum , der er skæringspunktet mellem et tælleligt antal åbne tætte delmængder . Hvis hvert massivt sæt er tæt i , så er et Baire-rum .

S

x

x

x

x

Rummet kan måles med den fulde metriske værdi Et rum, der er homøomorft til et komplet metrisk rum . Metriserbar plads Et rum, der er homøomorft til et metrisk rum . Manifold Hausdorff topologiske rum lokalt homøomorft til det euklidiske rum . Multiforbundet område En region af et stiforbundet rum, hvis grundlæggende gruppe ikke er triviel. Sættet af den anden Baer-kategori Ethvert sæt, der ikke er et sæt af den første Baer-kategori . Sættet af den første Baer-kategori Et sæt, der kan repræsenteres som en tællig forening af intetsteds tætte sæt. Sæt af type

F_\sigma

Et sæt, der kan repræsenteres som en tællig forening af lukkede sæt. Sæt af type

G_\delta

Et sæt, der kan repræsenteres som en tællig skæring af åbne sæt.

H

afdækning Kortlægning af sti-forbundne rum , hvorunder ethvert punkt har et kvarter , for hvilket der er en homeomorphism , hvor er et diskret rum , for hvilket, under betingelsen , betegner den naturlige projektion, så .

p:X\til Y

y\i Y

U\undersæt Y

h:p^{-1}(U)\til U\ gange \Gamma

\Gamma

\pi:U\ gange \Gamma\til U

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

arvelig ejendom En egenskab for et topologisk rum, således at hvis et rum har denne egenskab, så har et hvilket som helst af dets underrum denne egenskab. For eksempel: metrizability og Hausdorffness . Hvis et underrum af et rum har egenskaben , så siges det, at det har egenskaben arveligt . For eksempel siges et topologisk rum at være arveligt normalt, arveligt Lindelöf, arveligt adskilleligt.

x

P

x

P

kontinuerlig visning En kortlægning, hvorunder det omvendte billede af ethvert åbent sæt er åbent. Intetsteds tæt sæt Et sæt, hvis lukning ikke indeholder åbne sæt (lukket har et tomt indre). normal plads Et topologisk rum, hvor etpunktssæt er lukkede, og hvilke som helst to lukkede usammenhængende sæt har usammenhængende kvarterer .

Åh

Område En åben forbundet delmængde af et topologisk rum . Simpelthen forbundet plads Et forbundet rum , enhver kortlægning af en cirkel , som er homotopisk til en konstant afbildning. Kvarter Et åbent kvarter eller et sæt, der indeholder et åbent kvarter . åbent kvarter For et punkt eller sæt, det åbne sæt, der indeholder det givne punkt eller givne sæt. åbent sæt Et sæt, hvor hvert element er inkluderet i det sammen med et eller andet kvarter, et begreb, der bruges i definitionen af et topologisk rum . åbent display En mapping , hvorunder billedet af ethvert åbent sæt er åbent . Åben-lukket sæt Et sæt der både er åbent og lukket . Åben-lukket kortlægning En kortlægning, der er både åben og lukket . Relativ grænse Skæringspunktet mellem lukningen af en delmængde af et topologisk rum med lukningen af dets komplement. Grænsen for et sæt er normalt angivet med .

E

\delvis E

Relativ topologi Samme som induceret topologi . Relativt kompakt sæt En delmængde af et topologisk rum, hvis lukning er kompakt. Sådan et sæt kaldes også precompact .

P

Par mellemrum Et ordnet par hvor er et topologisk rum og er et underrum (med underrumstopologien ).

(X,A)

x

EN

Paracompact rum Et topologisk rum, hvor ethvert åbent dæksel kan indskrives med et lokalt begrænset åbent dæksel (det vil sige sådan, at man for ethvert punkt kan finde et kvarter , der skærer et begrænset antal elementer i dette dæksel). Topologisk rumtæthed Minimumskardinalitet for tætte delmængder af et rum overalt. tæt sæt Et sæt i et topologisk rum , der har et ikke-tomt skæringspunkt med et hvilket som helst naboskab af et vilkårligt punkt .

x

x\i X

Undercover For et cover er undercoveret , hvor if selv er et cover.

\{V_\alpha\}

\alfa\i A

\{V_\beta\}

\beta\i B\undersæt A

\{V_\beta\}

underrum En delmængde af et topologisk rum udstyret med en induceret topologi . Belægning For en delmængde eller et rum er dette dets repræsentation som en forening af sæt , , mere præcist er det et sæt sæt , sådan at . Oftest betragtes åbne dæksler, det vil sige, at de antager, at alle er åbne sæt.

x

\{V_\alpha\}

\alfa\i A

\{V_\alpha\}

\alfa\i A

X\subset\bigcup_{\alpha\in A}V_\alpha

\{V_\alpha\}

Tjekkisk komplet plads Et rum kaldes Cech komplet, hvis der findes en komprimering af rummet , sådan at det er et sæt af typer i rummet .

x

(Y,f)

x

f(X)

G_\delta

Y

Ordre topologi Topologi på et vilkårligt ordnet sæt , introduceret af en præbase af sæt af formen og , hvor løber gennem alle elementer .

\langle X, \sqsubseteq \rangle

\{x\in X\mid x \sqsubseteq a, x\neq a\}

\{x\in X\mid a \sqsubseteq x, x\neq a\}

-en

x

præbase En familie af åbne delmængder af et topologisk rum , således at mængden af alle mængder, der er skæringspunktet mellem et endeligt antal elementer, danner en base .

Y

x

Y

x

grænsepunkt For en delmængde af et topologisk rum , et punkt sådan, at der i et hvilket som helst af dets punkterede kvarter c er mindst ét punkt fra .

EN

x

a\i X

EN

EN

Afledt sæt Sættet af alle grænsepunkter . Simpel kolon Et topologisk rum med to punkter, hvor begge etpunktssæt er åbne. Direkte Aleksandrova Det topologiske rum over det kartesiske produkt af et velordnet sæt og et reelt halvinterval med ordenstopologien under den leksikografiske rækkefølge er et normalt Hausdorff ikke- metriserbart rum, et vigtigt modeksempel i mange topologiske ræsonnementer.

A\gange[0, 1)

Straight Suslin Et hypotetisk (dets eksistens er uafhængigt af ZFC ) komplet lineært ordnet tæt sæt, der har nogle egenskaber af den almindelige linje, men som ikke er isomorf i forhold til det. Pseudkarakter af et topologisk rum Det øverste af pseudokarakterer i et topologisk rum på alle punkter. Pseudkarakter af et topologisk rum i et punkt Minimumskardinalitet af alle familier i kvarterer i et punkt, der skærer hinanden på et punkt.

R

almindelig plads Et topologisk rum, hvor etpunktssæt er lukkede, og for ethvert lukket sæt og et punkt, der ikke er indeholdt i det, eksisterer deres ikke-skærende kvarterer . Trække tilbage En tilbagetrækning af et topologisk rum er et underrum af dette rum, for hvilket der er en tilbagetrækning på .

x

EN

x

EN

tilbagetrækning Tilbagetrækning er en kontinuerlig kortlægning fra et topologisk rum til et underrum af dette rum, identisk med .

x

EN

EN

C

Forbundet kolon Et topologisk topunktsrum, hvor kun et af etpunktssættene er åbent. forbundet rum Et rum, der ikke kan opdeles i to ikke-tomme, ikke-krydsende lukkede sæt. adskilleligt rum Et topologisk rum, hvor der er en tællig overalt tæt mængde . Netværksvægt af topologisk rum Minimumskapaciteten for alle netværk i rummet. Net Et netværk af et topologisk rum er en familie af delmængder af rummet , sådan at der for ethvert punkt og ethvert af dets kvarterer eksisterer , sådan at .

x

N

x

x

U

V\in N

x\i V\undersæt U

Klumpet tyktarm Antidiskret topologisk rum af to punkter. Topologisk rumspredning Det højeste af kardinaliteter af alle diskrete underrum. kontraheret plads Et rum homotopisk svarende til et punkt. Summen af topologiske rum Summen af en familie af topologiske rum er den usammenhængende forening af disse topologiske rum som mængder med topologien bestående af alle sæt af formen, hvor hver er åben i . Udpeget .

\{A_s\}_{s\in S}

\coprod_{s\i S}A_s

\coprod_{s\i S}U_s

Os

Som

\bigoplus_{s\i S}A_s

T

Det topologiske rums tæthed Det højeste af tæthed af et topologisk rum på alle punkter. Topologisk rumtæthed på et punkt Tætheden af et topologisk rum i et punkt er den mindste kardinal , for hvilken hvis , så eksisterer der højst kardinalitet , sådan at .

x

x

\alfa

x\in \bar{A}

B\undersæt A

\alfa

x\i\bar{B}

Tikhonov plads Et topologisk rum, hvor et-punktssæt er lukkede, og for ethvert punkt og ethvert lukket sæt , der ikke indeholder et punkt , eksisterer der en kontinuerlig reel funktion, der er ens på mængden og ved punktet .

x

F

x

0

F

en

x

Topologisk invariant Et kendetegn ved et rum, der er bevaret under en homeomorfisme . Det vil sige, at hvis to rum er homøomorfe, så har de den samme invariante karakteristik. For eksempel er topologiske invarianter: kompakthed , forbundethed , fundamental gruppe , Euler-karakteristik . Topologisk injektiv kortlægning Et kontinuerligt kort, der realiserer en homeomorfisme mellem definitionsdomænet og dets fulde billede. Topologisk rum Et sæt med en given topologi , det vil sige, det bestemmes, hvilke af dets delmængder, der er åbne . Topologi En familie af delmængder af et sæt , der indeholder en vilkårlig forening og en endelig skæring af dets elementer, såvel som den tomme mængde og sig selv . Elementerne i en familie kaldes åbne sæt . Topologien kan også introduceres gennem basen , som en familie bestående af alle vilkårlige foreninger af basens elementer.

x

x

Topologi af kompakt konvergens En topologi givet på et sæt af kontinuerlige reelle funktioner, defineret af en familie af prænormer , kaldes topologien for kompakt konvergens.

p_n(x)=\sup_{-n\leqslant t\leqslant n}|x(t)|,\;n\in\N

Topologi af punktvis konvergens En topologi defineret på et sæt af kontinuerlige funktioner fra et topologisk rum til et topologisk rum , hvis base er alle sæt af formen, hvor - punkter fra - åbne sæt fra , kaldes topologien for punktvis konvergens. Et sæt med en sådan topologi er betegnet med .

C(X,Y)

x

Y

\{f: f(x_1) \i U_1, f(x_2) \i U_2, \dots, f(x_n) \i U_n\},

x_1, x_2,\dots x_n

X, U_1 , U_2,\dots U_n

Y

C(X,Y)

C_p(X,Y)

Topologi af ensartet konvergens Lad en norm defineres på et vektorrum af kontinuerte funktioner på et kompakt topologisk rum . Topologien, der genereres af en sådan metrik, kaldes topologien for ensartet konvergens.

L(K)

f

K

\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|

Scott topologi En topologi over et komplet delvist ordnet sæt , hvor øvre sæt betragtes som åbne, der er utilgængelige for direkte forbindelser. Ophobningspunkt Samme som grænsepunkt . Fuldt akkumuleringspunkt For et sæt , et punkt i det topologiske rum , således at skæringspunktet med ethvert nabolag har samme kardinalitet som hele sættet .

M

x\i M

x

M

x

M

berøringspunkt For et sæt , et punkt, hvor ethvert kvarter indeholder mindst ét punkt fra . Sættet af alle berøringspunkter falder sammen med lukningen .

M

M

\overline{M}

Triviel topologi Samme som antidiskret topologi

Wu

Universel homøomorfisme Forsegle Kontinuerlig bijektion .

F

Faktor plads Topologisk rum på et sæt ækvivalensklasser: For et topologisk rum og en ækvivalensrelation introduceres topologi på et kvotientsæt ved at definere åbne mængder som familien af alle mængder, hvis inverse billede er åbent i kvotientafbildningen (associerer et element med dets ækvivalensklasse ).

x

\sim

X/\!\sim

x

x\i X

[x]_{\sim} = \{y\in X\midt x\sim y\}

Grundlæggende naboskabssystem Det grundlæggende system af kvarterer af et punkt er en familie af kvarterer af punktet , sådan at der for ethvert kvarter af punktet eksisterer , sådan at .

x

B

x

U

x

V\i B

V\undersæt U

X

Karakter af et topologisk rum Det øverste af karakterer i et topologisk rum på alle punkter. Karakter af et topologisk rum ved et punkt Minimum kardinalitet af alle grundlæggende systemer af kvarterer på dette punkt. Hausdorff plads Et topologisk rum, hvor to forskellige punkter har ikke-skærende kvarterer .

C

Cylinder over topologisk rum For et rum , et rum konstrueret som et produkt af .

x

{\mathrm Z}X

X\ gange[0,\;1]

display cylinder Til kortlægning , et kvotientrum konstrueret ud fra summen og ved at identificere et punkt med et punkt for alle .

f:X\til Y

{\mathrm Z}_{f}

X\ gange[0,\;1]

Y

(x,1)\in X\ gange [0,\;1]

f(x)\i Y

x\i X

H

Lindelöf nummer af et topologisk rum Den mindste kardinal er sådan, at et undercover kan udtrækkes fra ethvert åbent låg, med kardinalitet højst .

\alfa

\alfa

Suslin-tallet for et topologisk rum Kardinalitetsoverhøjden for familier af ikke-skærende ikke-tomme åbne sæt.

E

Topologisk rumudstrækning Det højeste af kardinaliteter for alle lukkede diskrete undergrupper.

Litteratur

Bourbaki, N. Elementer i matematik. Generel topologi. Grundlæggende strukturer. — M .: Nauka, 1968.
Aleksandrov, PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J.L. Generel topologi. — M .: Nauka, 1968.
Viro, O. Ya., Ivanov, O. A., Kharlamov, V. M., Netsvetaev, N. Yu. Problemlærebog om topologi .
Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.