Forbundet kolon

Et forbundet kolon ( Alexandrovs kolon ) er et endeligt topologisk rum af to punkter af en bestemt type; det enkleste meningsfulde eksempel på et ikke -Hausdorff topologisk rum i generel topologi .

Det er defineret som et topologisk rum dannet af et sæt af to elementer ("åben") og ("lukket"), hvor topologien er givet af følgende liste med tre åbne undermængder : $\cirk$ $\kugle$

$\varnothing$ - tomt sæt ;
$\{\cirkel \}$ - et sæt af ét element er "åbent";
$\{\cirkel ,\bullet \}$ - al plads.

Ud over det tomme sæt og hele kolon er dens åbne undergruppe kun , og dens lukkede undergruppe er kun . Vi ser, at et punkt ikke har andet naboskab end hele rummet; derfor, rummet overtræder T1 aksiom , i særdeleshed, er ikke Hausdorff. Vi ser også, at punktet ikke er en lukket delmængde. $\{\cirkel \}$ $\{\bullet \}$ $\kugle$ $\cirk$

En kortlægning fra et topologisk rum til et forbundet kolon er kontinuerlig , hvis og kun hvis forbilledet af punktet er åbent i (eller tilsvarende, forbilledet af punktet er lukket i ). Denne egenskab retfærdiggør navnene på de sammenkædede kolonpunkter. Et forbundet kolon er et forbundet og også stiforbundet rum . $F$ $x$ $F^{{-1}}(\cirkel)$ $\{\cirkel \}$ $x$ $F^{{-1}}(\bullet)$ $\{\bullet \}$ $x$

Alexanderterningen , kraften i et forbundet kolon , er et universelt rum for vægtrum ved , det vil sige, at ethvert vægtrum er homøomorfisk til et underrum [1] . $F^{m}$ $T_{0}$ $m$ ${\displaystyle m\geqslant \aleph _{0))$ $T_{0}$ $m$ $F^{m}$

Noter

↑ Engelking, 1986 , Sætning 2.3.26, s. 138.

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. — ISBN 5-354-00822-0 .
Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.