Kontinuitet ifølge Scott

Kontinuitet ifølge Scott  er en egenskab ved funktioner over delvist ordnede mængder , hvilket kommer til udtryk i bevarelsen af ​​den nøjagtige øvre grænse i forhold til den partielle ordensrelation .

Scotts topologi  er en struktur over et komplet gitter eller mere generelt over et komplet delvist ordnet sæt , hvor øvre sæt anses for åbne , der er utilgængelige for direkte forbindelser, eller tilsvarende en topologi, inden for hvilken fungerer over delvist ordnede sæt , der bevarer nøjagtig øvre grænse , er kontinuerlige [1] .

Koncepterne blev udviklet i 1970'erne af Dana Scott , takket være dem blev den første konsistente model af den ikke -typebestemte λ-regning og denotationel semantik bygget . Især anvendelsen og karryfunktionerne er kontinuerlige i Scotts forstand [2] .

Definitioner

Hvis og  er delvist ordnede sæt, så er funktionen mellem dem Scott-kontinuerlig , hvis der for en hvilken som helst rettet delmængde er en mindst øvre grænse for dets billede , og følgende betingelse er opfyldt: .

Scott-topologien på et komplet poset introduceres ved at definere et åbent sæt som havende følgende egenskaber:

  1. fra det følgende ;
  2. hvis , hvor og rettet , så [3] .

Scotts topologi blev først introduceret for komplette gitter [4] , efterfølgende generaliseret til fuldstændige delvist ordnede sæt [3] .

Den kategori, hvis objekter er komplette delvist ordnede sæt, og hvis morfismer  er afbildninger kontinuerlige i Scotts forstand, er betegnet med .

Egenskaber

Scott-kontinuerlige funktioner er altid monotone med hensyn til den partielle ordensrelation .

En delmængde af et delvist ordnet mængde er lukket i Scott-topologien, hvis og kun hvis det er et lavere sæt og inkluderer de mindste øvre grænser af alle dets undermængder [5] .

Et komplet delvist ordnet sæt udstyret med Scott-topologien er altid et T 0 -rum , og et Hausdorff  et, hvis og kun hvis ordensrelationen er triviel [5] .

For enhver Scott-kontinuerlig funktion, der kortlægger en komplet poset på sig selv, gælder Kleenes sætning , ifølge hvilken enhver sådan kortlægning har et unikt mindste fikspunkt . Derudover er afbildningen defineret på sættet af Scott-kontinuerlige funktioner og returnerer for hver funktion værdien af ​​dets fikspunkt ( ), selv Scott-kontinuerlig [6] .

Kategorien er kartesisk lukket [7] .

Analoger

En konstruktion tæt på Scotts topologi er den kategori af -rum udviklet af Yuri Ershov i 1975 [8]  - den kan også bruges til at konstruere en konsistent model af λ-regningen. Som dens fordel bemærkes [9] , at kategorien af ​​-rum er kartesisk lukket, hvert objekt i det er et topologisk rum, topologien på produktet er produktet af topologierne af faktorer, og topologien i rummet af funktioner viser sig at være topologien for punktvis konvergens . Scott-topologien har ikke sådanne bekvemme egenskaber; især er produktet af Scott-topologier på komplette delvist ordnede sæt ikke, i det generelle tilfælde, en Scott-topologi på et produkt af sæt.

Noter

  1. ↑ Barendregt, 1985 , Sætning 1.2.6, s. 23.
  2. ↑ Barendregt, 1985 , Theorems 1.2.13, 1.2.14, s. 25.
  3. ↑ 1 2 Barendregt, 1985 , s. 24.
  4. ↑ Scott, 1972 .
  5. ↑ 1 2 Abramsky, 1995 .
  6. ↑ Barendregt, 1985 , Sætning 1.2.17, s. 25-26.
  7. ↑ Barendregt, 1985 , Sætning 1.2.16, s. 25.
  8. ↑ Ershov, Yuri . Nummereringsteori. — M .: Nauka , 1977. — 416 s.
  9. ↑ Barendregt, 1985 , s. 22.

Litteratur