Kvarter

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. februar 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Et kvarter til et punkt er et sæt, der indeholder det givne punkt og tæt (i en vis forstand) på det. I forskellige grene af matematikken er dette begreb defineret på forskellige måder.

Definitioner

Matematisk analyse

Lad et vilkårligt fast tal. $\varepsilon >0$

Nabolaget til et punkt på den reelle linje (nogle gange kaldet et kvarter) er det sæt af punkter, der er mindre end , det vil sige . $x_{0}$ $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$ $O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}$

I det flerdimensionale tilfælde udføres nabofunktionen af en åben kugle centreret i punktet . $\varepsilon$ $x_{0}$

I et Banach-rum kaldes et kvarter centreret i et punkt et sæt . $(B,\|\cdot\|)$ $x_{0}$ $A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}$

I et metrisk rum kaldes et kvarter centreret i et punkt et sæt . $(M,\rho)$ $y$ $A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepsilon\}$

Generel topologi

Lad et topologisk rum være givet , hvor er et vilkårligt sæt og er en topologi defineret på . $(X,{\mathcal {T}})$ $x$ $\mathcal{T}$ $x$

Et sæt kaldes et kvarter til et punkt, hvis der findes et åbent sæt , således at . $V\undersæt X$ $x\i X$ $U\in \mathcal{T}$ $x \i U \undersæt V$
På samme måde er et kvarter til et sæt et sæt , således at der eksisterer et åbent sæt , som . $M\delsæt X$ $V\undersæt X$ $U\in \mathcal{T}$ $M \delmængde U \delmængde V$

Noter

Ovenstående definitioner kræver ikke, at et kvarter er et åbent sæt, men kun at det indeholder et åbent sæt . Nogle forfattere insisterer på, at ethvert kvarter er åbent. [1] Så er et kvarter til et sæt ethvert åbent sæt, der indeholder det. Dette er ikke en grundlæggende forskel for udviklingen af yderligere topologisk teori. Men i hvert enkelt tilfælde er det vigtigt at fikse terminologien. $V$ $U$
Et kvarter til et sæt af punkter er et sæt således, at der er et kvarter til ethvert punkt . $M$ $V$ $V$ $x\i M$

Eksempel

Lad en reel linje med standardtopologi gives . Så er et åbent kvarter, og er et lukket kvarter af punktet . $(-1,2)$ $[-1,2]$ $0$

Variationer og generaliseringer

Pierced Neighborhood

Et punkteret kvarter til et punkt er et kvarter til et punkt, hvorfra dette punkt er udelukket.

Strengt taget er et punkteret kvarter ikke et kvarter til et punkt, for ifølge definitionen af et kvarter skal et kvarter inkludere selve punktet.

Formel definition: Et sæt kaldes et punkteret kvarter (punkteret kvarter) af et punkt if $\dot{V}$ $x\i X$

\dot{V} = V \setminus \{x\},

hvor er kvarteret . $V$ $x$

Se også

Ordliste over generel topologi

Noter

↑ Rudin, 1975 , s. 13.

Litteratur

Matematisk encyklopædi. — M .: Soviet Encyclopedia , 1984 . - T. 4.
W. Rudin. Funktionel analyse. — M .: Mir , 1975 .