Rees-Fischer teorem

Ries-Fischer-sætningen er en funktionel analyseerklæring om isometrien og isomorfien i Lebesgue -rummet og Hilbert-rummet . $L_{{2}}\venstre(a,b\højre)$ $l_{{2}}$

Bevist i 1907 uafhængigt af Frigyes Ries og Ernst Fischer ( Ernst Sigismund Fischer ) .

Bevis

Lad os tage et komplet ortonormalt system ind i rummet . Så for enhver , vi har , og i kraft af Parsevals lighed . Således kan sekvensen af Fourier-koefficienter af en funktion ses som et element i et Hilbert-rum . I dette tilfælde er korrespondancen klar. Lad derimod få et element af Hilbert-rummet . Lad os formelt overveje serien , hvor er det samme komplette ortonormale system. Sekvensen af delsummer af denne serie konvergerer i gennemsnit i sig selv, fordi for og på grund af konvergensen af serien . Da rummet er komplet, betyder det, at serien konvergerer, dens sum har Fourier-koefficienter , og vi sætter denne sum i overensstemmelse med elementet . Igen er korrespondancen klar. Så vi har etableret en en-til-en-korrespondance mellem rumelementerne og . Da, naturligvis, og , det følger af , det vil sige, korrespondancen etableret af os er en isomorfisme. Endelig, for alle to elementer , har vi i kraft af Parseval-ligheden , og korrespondancen etableret af os vil bevare afstanden, det vil sige, de er isometriske . $L_{{2}}\venstre(a,b\højre)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $x(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t),\xi _{{i}} =\venstre(x,\varphi _{{i}}\højre)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}^{{2}}=\left\|x\right\|^{{2}}<\infty$ $x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $x\in l_{{2}}$ $l_{{2}}$ $x=\venstre\{\xi _{{1}},\xi _{{2}},...,\xi _{{n}},...\right\}$ $x(t)\højrepil x$ ${\bar {y}}=\venstre\{\eta _{{1}},\eta _{{2}},...,\eta _{{n}},...\right\}$ $l_{{2}}$ $L_{{2}}\venstre(a,b\højre)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $s_{{n}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{n}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\|s_{{n+p}}-s_{{n}}\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}^{{2}}\højrepil 0$ $n \højrepil \infty$ $p>0$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}^{{2}}$ $L_{{2}}\venstre(a,b\højre)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\eta _{{i}}$ $y(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ ${\bar {y}}$ ${\bar {y}}\højrepil y(t)$ $L_{{2}}\venstre(a,b\højre)$ $l_{{2}}$ $x(t)+y(t)=\sum _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)+\sum _ {{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty } }\left(\xi _{{i}}+\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)$ $\lambda x(t)=\lambda \sum _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{ {i=1}}^{{\infty }}\lambda \xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $x(t)\venstrehøjrepil x,y(t)\venstrehøjrepil y$ $x(t)+y(t)\venstrehøjrepil x+y,\lambda x(t)\venstrehøjrepil \lambda x$ $x(t),y(t)\i L_{{2}}\venstre(a,b\højre)$ $\left\|x(t)-y(t)\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=1}} ^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)^{{2}}=\left\|xy\right\|^{{2 }}$ $L_{{2}}\venstre(a,b\højre)$ $l_{{2}}$

Litteratur

Sobolev VI Forelæsninger om yderligere kapitler af matematisk analyse. - M .: Nauka, 1968 - s. 218.