Prikket nummer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. september 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Dotti-tallet er en konstant defineret som en reel løsning på ligningen

\cos x=x,

hvor argumentet måles i radianer . I decimalnotation er Dotties tal omtrent lig med . [en] $\cos$ $0.739085133215...$

Af mellemværdisætningen følger, at den angivne ligning skal have mindst én løsning. Funktionens afledte er ens og næsten overalt positiv, hvilket betyder, at funktionen i sig selv er monotont stigende og ikke kan have flere nuller. Således bestemmer ligningen entydigt den betragtede konstant. $x-\cos(x)$ $\sin(x)+1$ $\cos x=x$

Værdier af trigonometriske funktioner

Lad være Dottie-tallet. Derefter: $D$

\mathrm {sin} (D)\ca. 0,673612029183

\mathrm {tg} (D)\ca. 0,911413312094

Egenskaber

Dotti-tallet er et ikke-trivielt tiltrækkende fikspunkt for cosinusfunktionen på et vilkårligt stort reelt (men ikke komplekst ) kvarter af sig selv . Med andre ord, for ethvert reelt tal er det lig med Dottis konstant. Ligningen for det komplekse man har udover det et uendeligt antal løsninger, men ingen af dem er et tiltrækkende fikspunkt . $x$ $\lim \limits _{n\to \infty }(\underbrace {\cos(\cos(\dots \cos(x)\dots ))} _{n})$ $\cos z=z$ $z$

Derudover er Dotti-tallet transcendentalt , hvilket kan bevises ved hjælp af Lindemann-Weierstrass-sætningen . [2]

Ved hjælp af Lagrange-seriens inversionssætning blev det bevist, at Dotti-tallet kan repræsenteres som en række , hvor for ethvert ulige er et rationelt tal defineret som følger: ${\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{2n-1}\pi ^{2n-1}$ $a_n$ $n$

{\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!\;2^{n))}\lim _{t\to {\frac {\pi }{2} }}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\left({\frac {\cos t}{t-\pi /2}}-1 \right)^{-n}}\end{aligned}}

De første par led i sekvensen er [3] [4] [5] [nb 1] $(a_{n})$ $-{\frac {1}{4)),-{\frac {1}{768)),-{\frac {1}{61440)),-{\frac {43}{165150720)) ,\ldots$

Formel i Excel

Formel for Dotti-nummer i Excel eller LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).

Navnets oprindelse

Navnet på denne konstant blev givet af Samuel Kaplan til ære for en fransklærer ved navn Dottie, som opdagede det ved at trykke på cosinusknappen på en lommeregner igen og igen og fortalte sin mand, en matematiklærer, om det. [3]

Fodnoter

↑ Kaplan giver ikke et eksplicit udtryk for rækkens vilkår, men det følger umiddelbart af Lagranges serieinversionssætning .

Noter

↑ OEIS A003957 . oeis.org . Dato for adgang: 26. maj 2019. (ubestemt)
↑ Eric W. Weisstein. Dottie nummer . (ubestemt)
↑ 1 2 Kaplan, Samuel R. The Dottie Number // Mathematics Magazine : magazine . - 2007. - Februar ( bind 80 ). — S. 73 .
↑ OEIS A302977 Tællere for den rationelle faktor i Kaplans serie for Dottie-tallet. . oeis.org . Dato for adgang: 26. maj 2019. (ubestemt)
↑ A306254 - OEIS . oeis.org . Hentet: 22. juli 2019. (ubestemt)