Funktionel analyse

Funktionel analyse  er en analysegren , der studerer uendelig -dimensionelle topologiske vektorrum og deres kortlægninger. De vigtigste eksempler på sådanne rum er funktionsrum [1] (deraf navnet "funktionel analyse" [2] ).

I forskellige kilder betragtes teorien om mål og integral, funktionsteori , teori om operatorer , differentialregning på uendelig-dimensionelle rum som dele af funktionel analyse . Funktionsanalysen blev i anden halvdel af 1900-tallet suppleret med en række mere specialiserede sektioner bygget med udgangspunkt i de klassiske.

Funktionsanalyse finder anvendelse i mange eksakte videnskaber; mange af de vigtigste teoretiske konstruktioner er beskrevet i funktionsanalysens sprog. Især i begyndelsen af ​​det 21. århundrede er funktionel analyse meget brugt i teorien om differentialligninger , matematisk fysik, teoretisk fysik (herunder kvantemekanik , strengteori ), kontrol- og optimeringsteori , sandsynlighedsteori , matematisk statistik , teorien af tilfældige processer og andre områder. Teorien om Fourier-transformationen , der bruges inden for mange områder af videnskab og teknologi (for eksempel i billedbehandlingsteori), kan også betragtes som en del af funktionel analyse.

Nogle begreber for funktionel analyse

For eksempel - rum med kontinuerlige funktioner , rum med integrerbare funktioner. En vigtig rolle spilles af begreber som mål , metrisk , norm , punktprodukt . For at overveje kortlægninger af rum introduceres termer som " operator " og " funktionel ".

Historie

Udviklingen af ​​funktionel analyse er forbundet med studiet af Fourier-transformationen, differential- og integralligningerne . Et stort bidrag til udviklingen og dannelsen af ​​funktionel analyse blev ydet af den polske matematiker Stefan Banach .

Studiet af repræsentationen af ​​funktioner ved hjælp af Fourier-transformationen var attraktivt, for eksempel, fordi det for visse klasser af funktioner er muligt at karakterisere et kontinuumsæt af punkter (funktionsværdier) ved et tælleligt sæt værdier (et sæt koefficienter) ).

Funktionelle analysemetoder vandt hurtigt popularitet inden for forskellige felter af matematik og fysik som et stærkt værktøj. Teorien om lineære operatorer spillede en væsentlig rolle i dette :

Funktionsanalyse er vokset så meget i løbet af de sidste to årtier, er trængt så bredt og dybt ind i næsten alle matematikkens områder, at det nu engang er svært at definere selve emnet for denne disciplin. Der er dog flere store "traditionelle" retninger inden for funktionsanalyse, som den dag i dag i høj grad bestemmer dens ansigt. Blandt dem er teorien om lineære operatorer , som nogle gange kaldes rygraden i funktionel analyse. Det var gennem operatørteori, at funktionel analyse stødte på kvantemekanik , differentialligninger, sandsynlighedsteori samt en række anvendte discipliner.Kostyuchenko A. G. , forord af redaktøren af ​​oversættelsen til bogen [3] , 1962

I slutningen af ​​90'erne af det XX århundrede. et emne dedikeret til wavelet- transformationer er blevet tilføjet til skatkammeret for funktionel analyse . Dette emne kom fra praksis som et forsøg på at konstruere nye baser af funktionelle rum, der har yderligere egenskaber, for eksempel en god hastighed for konvergens af tilnærmelser. Bidraget til udviklingen blev ydet af I. Daubechies .

Nøgleresultater

• Princippet om ensartet afgrænsning gælder for et sæt operatører med en nøjagtig grænse.
• Princippet om åbent display. Som dens følge - Banachs sætning om afgrænsningen af ​​en lineær operator invers til en bijektiv lineær afgrænset operator, den lukkede grafsætning .
• Hahn-Banach-sætningen om udvidelsen af ​​en funktionel fra et underrum til et komplet rum udvidet med bevarelse af normen. Essensen er en ikke-triviel betydning i konjugerede rum.
• En af spektralsætningerne (som der faktisk er mere end én af) giver en integralformel for en normal operator i et Hilbert-rum . Dette er et teorem af central betydning for kvantemekanikkens matematiske grundlag .
• Gelfand-Naimarks sætning
• Riesz-Fréchets sætning

Retningslinjer for forskning

Funktionel analyse i sin nuværende tilstand omfatter følgende grene:

• Blød Analyse . Approksimation til analyse baseret på topologiske grupper, topologiske ringe og topologiske vektorrum.
• Banach-rums geometri .
• Ikke-kommutativ geometri . Designet af Alain Conn , delvist baseret på George Mackeys tilnærmelse af ergodisk teori.
• Billedteori . Forbundet med kvantemekanik.
• Kvantefunktionsanalyse . Undersøgelse af rum af operatører i stedet for rum af funktioner.
• Ikke-lineær funktionel analyse . Undersøgelse af ikke-lineære problemer, bifurkationer, stabilitet af glatte afbildninger, deformationer af singulariteter osv. inden for rammerne af funktionsanalyse.

Se også

• Operatør algebra
• Vektorregning

Noter

1. ↑ Faktisk kan ethvert lineært rum, inklusive et endeligt-dimensionelt, realiseres som et rum af funktioner. Dette kan gøres på flere måder. For eksempel er et lineært rum lineært isomorft i forhold til mængden af ​​funktioner på Hamel-basis af dette rum (eller ethvert sæt svarende til det), som kun er ikke-nul ved et endeligt antal punkter. En anden mulighed: vi indlejrer det lineære rum V i dets andet algebraisk konjugat, det vil sige i rummet af alle lineære funktionaler over rummet af alle lineære funktionaler over V.
2. ↑ Linnik, Anna Borisovna, Timchenko, Galina Nikolaevna. Historien om udviklingen af ​​funktionsanalyse  // Vestnik Nats. tech. un-ta "KhPI": Lør. videnskabelig tr .. - Kharkov, 2011. - Nr. 20 . - S. 79 . Arkiveret fra originalen den 12. maj 2018. (Russisk)
3. ↑ Dunford N., Schwartz J. Lineære operatorer. — M .: IL , 1962 . - T. 1. Generel teori. - S. 5-6.

Litteratur

• Banach S. Teori om lineære operationer. Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2001. ISBN 5-93972-031-5 .
• Berezansky Yu. M., Us G. F., Sheftel Z. G. Funktionel analyse. Foredragskursus. Kiev. Forskerskole. 1990. 600 s.
• Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Virkelig og funktionel analyse. Universitetskursus. Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", Institut for Computerforskning, 2009. - 724 s. ISBN 978-5-93972-742-6 .
• Dunford N., Schwartz J. T. Lineære operatorer. T. I: Generel teori. — M.: IL, 1962.
• Dunford N., Schwartz J. T. Lineære operatorer. Vol. II: Spektralteori. — M.: Mir, 1966.
• Dunford N., Schwartz J. T. Lineære operatorer. Vol. III: Spektraloperatorer. — M.: Mir, 1974.
• Yosida K. Funktionel analyse. Om. fra engelsk. — M.: Mir, 1967. — 624 s.
• Kantorovich L. V. , Akilov G. P. Funktionel analyse. Moskva: Nauka, 1984.
• Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
• Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 2. udg. M.: Nauka, 1965. 520 s.
• Nirenberg L. Forelæsninger om ikke-lineær funktionel analyse = Emner i ikke-lineær funktionel analyse. — M.: Mir, 1977. — 232 s.
• Om oprindelsen og udviklingen af ​​funktionel analyse. Lør. artikler. // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1973. - Nr. 18 . - S. 13-103 .
• Pugachev V. S. Forelæsninger om funktionel analyse. M.: MAI Publishing House, 1996. - 744 s.
• Læs M., Simon B. Metoder i moderne matematisk fysik. Bind 1. Funktionsanalyse. M.: Mir, 1977. 358 s.
• Rudin W. Funktionsanalyse = Funktionsanalyse. — M.: Mir, 1975. — 443 s.
• Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 496 s.
• Funktionsanalyse / redaktør Crane S. G. - 2., revideret og suppleret. — M .: Nauka , 1972 . — 544 s. — (Matematisk referencebibliotek).
• Helemsky A. Ya. Forelæsninger om funktionel analyse. M.: MTSNMO, 2009. - 304 s.
• Helemsky A. Ya. Kvantefunktionel analyse i koordinatfri præsentation. M.: MTsNMO, 2004. - 552p.
• Hille E., Phillips R. Funktionel analyse og semigrupper. M.: IL, 1962. 830 s.
• Brudno A. L. Teori om funktioner af en reel variabel. — M.: Nauka, 1971. — 119 s.
• Weinberg M. M. Funktionsanalyse. - M .: Uddannelse, 1979. - 128 s.
• Levy P. Funktionsanalyses konkrete problemer. — M.: Nauka, 1967. — 510 s.
• Funktionelle rum  : konto. afregning for universiteter: rec. Undervisningsmetode. Rådet for Moskva Institut for Fysik og Teknologi / G. N. Yakovlev  ; Undervisningsministeriet i Den Russiske Føderation, MIPT (GU). - M. : MIPT, 2000 .- 136 s. - 500 eksemplarer. - ISBN 5-7417-0144-2 .

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk stor kinesisk Stor russer Britannica (online) Britannica (online)
I bibliografiske kataloger BNE : XX525044 BNF : 131627608 GND : 4018916-8 J9U : 987007553159005171 LCCN : sh85052312 NDL : 00564962 NKC : ph120399