Princippet om ensartet afgrænsning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Princippet om ensartet afgrænsethed eller Banach-Steinhaus-sætningen er et grundlæggende resultat af funktionel analyse . Sætningen siger, at punktvis og ensartet afgrænsethed er ækvivalent for familier af kontinuerlige lineære operatorer givet på et Banach-rum .

Historie

Sætningen blev bevist af Banach og Steinhaus og uafhængigt af Hans Hahn .

Ordlyd

Lad være et Banach-rum , vær et normeret vektorrum , og vær en familie af lineære kontinuerte operatorer fra til . Lad os antage, at for evt $x$ $Y$ $F$ $x$ $Y$ $x\i X$

\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .

Derefter

\sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\ |_{{\mathcal {L}}(X,Y)}<\infty .

Konsekvenser

Hvis en sekvens af afgrænsede operatorer på et Banach-rum konvergerer punktvis, så er dens punktvise grænse en afgrænset operator.

Variationer og generaliseringer

Barrel space er den mest generelle type rum, hvor princippet om ensartet afgrænsning er opfyldt.

Afgrænsningsprincippet gælder for familier af kortlægninger fra til hvis er et Baire-rum og er et lokalt konveks rum . $x$ $Y,$ $x$ $Y$

Referencer

Banach, Stefan & Steinhaus, Hugo (1927), Sur le principe de la condensation de singularités , Fundamenta Mathematicae T. 9: 50–61 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm9/fm918 .pdf > (fr.)
Bourbaki, Nicolas (1987), Topologiske vektorrum , Elementer i matematik, Springer, ISBN 978-3-540-42338-6
Dieudonné, Jean (1970), Afhandling om analyse, bind 2 , Academic Press .
Rudin, Walter (1966), Virkelig og kompleks analyse , McGraw-Hill .
Shtern, AI (2001), Banach-Steinhaus-sætning , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
Sokal, Alan (2011), Et virkelig simpelt elementært bevis for ensartet grænsesætningssætning , Amer. Matematik. Månedlig T. 118: 450-452 , DOI 10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .
Weinberg M. M. Funktionsanalyse. - M .: Uddannelse, 1979. - 128 s.