Fokker-Planck ligning

Fokker-Planck-ligningen er en af de partielle differentialligninger, der beskriver tidsudviklingen af sandsynlighedstæthedsfunktionen af partiklernes koordinater og momentum i processer, hvor fænomenets stokastiske karakter er vigtig . Opkaldt efter de hollandske og tyske fysikere Adrian Fokker og Max Planck , også kendt som Kolmogorovs direkte ligning . Kan generaliseres til andre målbare parametre: størrelse (i koalescensteori ), masse osv.

Definition

For første gang blev ligningen brugt til statistisk at beskrive den Brownske bevægelse af partikler i vand. Selvom Brownsk bevægelse er beskrevet af Langevin-ligningerne , som kan løses numerisk ved Monte Carlo eller molekylær dynamik metoder , er problemet i denne formulering ofte svært at løse analytisk. Og i stedet for komplekse numeriske skemaer kan man indføre en sandsynlighedstæthedsfunktion , som beskriver sandsynligheden for, at en partikel har en hastighed i intervallet , hvis den på tidspunktet 0 havde en begyndelseshastighed , og skrive den ned til Fokker-Planck-ligningen . $W({\mathbf {v)),\;t)$ $({\mathbf {v)),\;{\mathbf {v}}+d{\mathbf {v}})$ ${\mathbf {v}}_{0}$ $W({\mathbf {v)),\;t)$

Den generelle form for Fokker-Planck-ligningen for variable: $N$

{\frac {\partial W}{\partial t}}=\venstre[-\sum _{{i=1}}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_ {i}^{1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})+\sum _{{i=1}}^{N}\sum _{{j=1}} ^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}D_{{ij}}^{2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})\right]W,

hvor er driftvektoren og er diffusionstensoren , og diffusion er forårsaget af virkningen af kræfter af stokastisk natur. $D^{1}$ $D^{2}$

Forbindelse med stokastiske differentialligninger

Fokker-Planck-ligningen kan bruges til at beregne sandsynlighedstætheden i stokastiske differentialligninger . Overvej følgende stokastiske differentialligning

d{\mathbf {X}}_{t}={\boldsymbol {\mu }}({\mathbf {X}}_{t},\;t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}( {\mathbf {X}}_{t},\;t)\,d{\mathbf {B}}_{t},

hvor er systemets tilstandsfunktion, og er den standarddimensionelle Brownske bevægelse . Hvis den indledende fordeling er givet som , så er sandsynlighedstætheden for systemets tilstand løsningen af Fokker-Planck-ligningen med følgende udtryk for henholdsvis drift og diffusion : ${\mathbf {X}}_{t}\in \mathbb{R} ^{N}$ ${\mathbf {B}}_{t}\in \mathbb{R} ^{M}$ $N$ ${\mathbf {X}}_{0}\sim W({\mathbf {x}}),\;0)$ $W({\mathbf {x)),\;t)$ ${\mathbf {X}}_{t}$

D_{i}^{1}({\mathbf {x)),\;t)=\mu _{i}({\mathbf {x)),\;t),

D_{{ij}}^{2}({\mathbf {x}},\;t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\sigma _{{ik}}({ \mathbf {x}},\;t)\sigma _{{jk}}({\mathbf {x}}),\;t).

Eksempel

Den standard skalære Brownske bevægelsesligning genereres af følgende stokastiske differentialligning:

{\mathrm {d}}X_{t}={\mathrm {d}}B_{t}.\

Her er drifthastigheden nul og diffusionskoefficienten er 1/2, derfor ser den tilsvarende Fokker-Planck ligning sådan ud:

{\frac {\partial W(x,\;t)}{\partial t))={\frac {1}{2)){\frac {\partial ^{2}W(x,\;t) }{\partial x^{2}}},

det er den enkleste form for den endimensionelle diffusionsligning ( varmeoverførsel ).

Fokker-Planck-ligningen i det endimensionelle tilfælde

I det endimensionelle tilfælde har FPP formen:

{\frac {\partial f}{\partial t))=-{\frac {\partial }{\partial x))(A(x,\;t)f(x,\;t)) +{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {B(x,\;t)}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x ,\;t)\right).

FFP er gyldig for den betingede sandsynlighedstæthed:

f(x,\;t)=p(x,\;t|x_{0},\;t_{0}),

(det vil sige, at værdien af funktionen sandsynligvis falder ind i det plan, der dannes af rumaksen og tidsaksen , i henholdsvis intervallerne og ) for enhver begyndelsesværdi og og startbetingelsen , hvor er Dirac-funktionen.

f(x,\;t)

x\

t\

x-x_{0}\

t-t_{0}\

x_{0}\

t_{0}\

p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})

\delta (x-x_{0})\

Denne betingelse siger, at funktionen samtidig gennemgår et spring. Hvis de rumlige koordinater er ens, så har funktionen en tendens til uendelig. Derfor er det på grund af funktionens afgrænsede karakter nødvendigt at bruge definitionen af en engangssandsynlighedstæthed. Så er FPP gyldig for en sandsynlighed med en begyndelsesbetingelse , som er mindre ental end . En stokastisk proces beskrevet af en betinget sandsynlighed, der opfylder FPP, svarer til Ito SDE $t_{0}\$ $p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_{0},\;t_{0})\,dx_{0}=\int p(x,\;t| x_{0},\;t_{0})p(x_{0},t_{0})\,dx_{0}.$ $p(x,\;t)$ $p(x,\;t)|_{{t=t_{0}}}=p(x,\;t_{0})$ $p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})$

dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+{\sqrt {B(x(t),\;t)}}\,dW(t)

og at de to beskrivelser skal ses som komplementære til hinanden.

Konklusion

Den første konsistente udledning af Fokker-Planck-ligningen på grundlag af nøjagtig mikroskopisk dynamik for klassiske og kvantesystemer blev udført [1] af N. N. Bogolyubov og N. M. Krylov [2] (gentrykt i [3] ).

Se også

Noter

↑ Bogolyubov N. N. (Jr.) , Sankovich D. P. (1993). Nikolai Nikolaevich Bogolyubov. Oversigt over videnskabelig aktivitet Arkivkopi af 4. marts 2016 på Wayback Machine // Fysik af elementære partikler og atomkernen 24 (5): 1224-1293.
↑ Bogolyubov N. N. , Krylov N. M. (1939). Om Fokker-Planck-ligningerne, som er udledt i perturbationsteori ved en metode baseret på de spektrale egenskaber af den forstyrrede Hamiltonian // Noter fra Institut for Matematisk Fysik ved Institut for Ikke-lineær Mekanik ved Videnskabsakademiet i den ukrainske SSR. 4 : 5-80 (ukrainsk) .
↑ Bogolyubov N. N. Samling af videnskabelige værker i 12 bind. - Bind 5: Ikke-ligevægt statistisk mekanik, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. — ISBN 5-02-034142-8 .

Litteratur

Risken H. Fokker - Planck ligning: metoder til løsninger og anvendelser. — 2. udg. - Springer, 1984. - 452 s. — ISBN 3-540-61530-X .
Lifshits E. M., Pitaevsky L. P. Fysisk kinetik. — M .: Nauka , 1979 . — 528 s. — (“Teoretisk fysik”, bind X). — 50.000 eksemplarer.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Stor russer

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner