Liouvilles fasevolumenbevarelsesteorem

Liouvilles sætning , opkaldt efter den franske matematiker Joseph Liouville , er en nøglesætning inden for matematisk fysik , statistisk fysik og Hamiltoniansk mekanik . Sætningen hævder bevarelsen i tid af fasevolumenet eller sandsynlighedstætheden i faserummet.

Ordlyd

Fordelingsfunktionen af et Hamilton-system er konstant langs enhver bane i faserummet .

Liouvilles ligning

Liouville-ligningen beskriver tidsudviklingen af fordelingsfunktionen ( sandsynlighedstæthed ) af et Hamilton-system i -dimensionelt faserum ( er antallet af partikler i systemet). Overvej et Hamilton-system med koordinater og konjugeret momenta , hvor . Så bestemmer fordelingen i faserummet sandsynligheden for, at systemet vil være i volumenelementet af sit faserum. $6N$ $N$ $q_{i}$ $p_{i}$ $i=1,\dots ,d,$ $d=3N$ $\rho (p_{i},q_{i})$ $\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ $\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$

Liouville-ligningen beskriver udviklingen i tid i henhold til reglen for at finde den samlede afledte af en funktion under hensyntagen til strømmens inkompressibilitet i faserummet: $\rho (p_{i},q_{i};t)$ $t$

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^ {d}\venstre({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\mathrm {d} t))+{\ frac {\partial \rho }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right)=0.

Tidsafledte fasekoordinater for Hamilton-systemer er beskrevet i henhold til Hamiltons ligninger :

{\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\ delvis p_{i}}},

{\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{ \partial q_{i}}}.

Et simpelt bevis på sætningen er observationen af, at evolution er bestemt af kontinuitetsligningen (kontinuitetsligningen) : $\rho$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\ rho \operatørnavn {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatørnavn {grad} \rho =0,

hvor er bevægelseshastigheden af det undersøgte volumen af faserummet: $\mathbf{v}$

\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q))_{ i})}{\partial q_{i))}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p))_{i})}{\partial p_{i))}\right)

og observationen, at forskellen mellem dette udtryk og Liouville-ligningen kun bestemmes af udtrykket, der beskriver divergensen, nemlig dets fravær, hvilket betyder fraværet af kilder eller dræn af sandsynlighedstætheden:

\rho \operatørnavn {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q))_{i} }{\partial q_{i))}+{\frac {\partial {\dot {p))_{i)){\partial p_{i))}\right)=\rho \sum _{i= 1}^{d}\venstre({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i))}-{\frac {\partial ^{2}H }{\partial p_{i}\,\partial q_{i}}}\right)=0,

hvor er Hamilton , og Hamiltons ligninger blev brugt . Dette kan repræsenteres som bevægelsen gennem faserummet af "væskestrømmen" af systemets punkter. Sætningen betyder, at Lagrange-afledningen eller den væsentlige afledte af tætheden er lig med nul. Dette følger af kontinuitetsligningen , da hastighedsfeltet i faserummet er divergensløst, hvilket igen følger af Hamiltons ligninger for konservative systemer. $H$ $d\rho /dt$ $({\dot {p)),{\dot {q)))$

Geometrisk fortolkning

Overvej banen for en lille plet (et sæt punkter) i faserummet. Når man bevæger sig langs et sæt af baner, strækkes stedet i én koordinat, f.eks. - - men komprimeres i en anden koordinat , så produktet forbliver konstant. Pletområdet (fasevolumen) ændres ikke. $p_{i}$ $q_i$ ${\displaystyle \Delta p_{i}\,\Delta q_{i))$

Mere præcist bevares fasevolumenet på tværs af tidsforskydninger. Hvis en $\Gamma$

\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,

og er det sæt af punkter i faserummet, som sættet kan udvikle sig til på et tidspunkt , så $\Gamma (t)$ $\Gamma$ $t$

\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C

til alle tider . Volumenet af faserummet i et Hamilton-system er bevaret, fordi tidsevolutionen i Hamilton-mekanikken er en kanonisk transformation , og alle kanoniske transformationer har en enhed Jacobian . $t$

Gennem den symbolske form

Lad være en symplektisk manifold og være en glat funktion. Lad der være en symplektisk gradient , det vil sige et vektorfelt, der opfylder relationen $(M,\omega )$ $H\colon M\to \mathbb {R}$ $V$ $H$

dH(X)=\omega (V,X)

for ethvert vektorfelt . Derefter $x$

{\mathcal {L}}_{V}\omega =0,

hvor angiver Lie afledt . $\mathcal{L}$

Fra dette udsagn følger Liouville-sætningen. Det følger faktisk af ovenstående identitet, at

{\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,

og hvis er -dimensional, så er volumenformen på . $M$ $2n$ $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$

Fysisk fortolkning

Det forventede samlede antal partikler er integralet over hele faserummet af fordelingsfunktionen:

N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)

(normaliseringsfaktor udeladt). I det enkleste tilfælde, når en partikel bevæger sig i det euklidiske rum i et felt af potentielle kræfter med koordinater og momenta , kan Liouvilles sætning skrives som $\mathbf {F}$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{ m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,

hvor er hastigheden. I plasmafysik kaldes dette udtryk for Vlasov-ligningen eller den kollisionsfrie Boltzmann-ligning og bruges til at beskrive et stort antal kollisionsløse partikler, der bevæger sig i et selvkonsistent kraftfelt . $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} ))$ $\mathbf {F}$

I klassisk statistisk mekanik er antallet af partikler stort, i størrelsesordenen Avogadro-tallet . I det stationære tilfælde kan man finde tætheden af mikrotilstande, der er tilgængelige i et givet statistisk ensemble . For stationære tilstande er fordelingsfunktionen lig med enhver funktion af Hamiltonian , for eksempel i Maxwell-Boltzmann-fordelingen , hvor er temperaturen , er Boltzmann-konstanten . $N$ $\partial\rho/\partial t = 0$ $\rho$ $H$ ${\displaystyle \rho \sim e^{-H/kT))$ $T$ $k$

Notation gennem Poisson-parentesen

Ved hjælp af Poisson-beslaget , som i kanoniske koordinater er $(q^{i},p_{j})$

\{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\venstre(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i))}{\frac {\ partial B}{\partial p_{i))}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i))}{\frac {\partial B}{\partial q^{i))}\right ),

Liouville-ligningen for Hamilton-systemer tager formen

{\frac {\partial \rho }{\partial t))=-\{\rho ,H\}.

Notation ved hjælp af Liouville-operatoren

Brug af Liouville-operatøren

i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}{\frac {\partial }{\partial q_{i))}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}{\frac {\partial }{\partial p_{i))}\right]

ligningen for Hamilton-systemer har formen

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+i{\hat {L))\rho =0.

Noter

Kanonisk kvantisering giver en kvantemekanisk version af sætningen.

Denne procedure, der ofte bruges til at opnå kvanteanaloger af klassiske systemer, involverer beskrivelse af det klassiske system ved hjælp af Hamilton-mekanik. De klassiske variable genfortolkes så, nemlig som kvanteoperatorer, mens Poisson-parenteserne erstattes af kommutatorer . I dette tilfælde får vi ligningen

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],

hvor ρ er densitetsmatrixen . Denne ligning kaldes von Neumann-ligningen og beskriver udviklingen af Hamilton-systemernes kvantetilstande.

Liouville-ligningen gælder for ligevægts- og ikke-ligevægtssystemer. Dette er den grundlæggende ligning for statistisk mekanik uden ligevægt.

Antagelsen om fasestrømmens inkompressibilitet, det vil sige opfyldelsen af betingelsen

\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\ mathrm {d} t))+{\frac {\partial }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right) =0,

er væsentlig. I det generelle tilfælde af et vilkårligt dynamisk system

{\dot {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\quad {\dot {p}}_{i}=P_ {i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)

ligningen for tidsudviklingen af fordelingstætheden af partikler i faserummet er opnået fra balanceligningen $\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$

\rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\,d \Lambda ,

t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\, dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i)){\partial q_{i ))}+{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{i}}}\right)\right]

(den sidste relation er skaleringen af fasevolumenelementet med en infinitesimal forskydning langs fasebanen). Den endelige ligning har formen

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{ \partial q_{i))}+{\frac {\partial (\rho P_{i})}{\partial p_{i))}\right)=0

(se også Fokker-Planck-ligningen ) og falder i tilfældet sammen med Liouville-ligningen. ${\displaystyle Q_{i}=\partial H/\partial p_{i},\ P_{i}=-\partial H/\partial q_{i))$

Se også

Poincaré-Cartan integral