Kinetisk Boltzmann-ligning

Boltzmann-ligningen ( kinetisk Boltzmann-ligning ) er en ligning opkaldt efter Ludwig Boltzmann , som først overvejede den, og som beskriver den statistiske fordeling af partikler i en gas eller væske . Det er en af de vigtigste ligninger af fysisk kinetik (et felt af statistisk fysik , der beskriver systemer, der er langt fra termodynamisk ligevægt, for eksempel i nærværelse af temperaturgradienter og et elektrisk felt ). Boltzmann-ligningen bruges til at studere transporten af varme og elektrisk ladning i væsker og gasser, og transportegenskaber såsom elektrisk ledningsevne , Hall-effekt , viskositet og termisk ledningsevne er afledt af den . Ligningen er anvendelig for sjældne systemer, hvor interaktionstiden mellem partikler er kort ( molekylær kaoshypotese ).

Ordlyd

Boltzmann-ligningen beskriver tidsudviklingen af fordelingsfunktionen i et enkelt-partikelfaserum , hvor , og er henholdsvis koordinat , momentum og tid . Fordelingen er defineret således, at $f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$ $t$

f({\mathbf {x}},{\mathbf {p}},t)\,d^{3}x\,d^{3}p

er proportional med antallet af partikler i faserummet til tiden . Boltzmann ligning $d^{3}x\,d^{3}p$ $t$

{\frac {\partial f}{\partial t))+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} ))\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m ))+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\venstre.{\frac {\partial f}{\partial t))\right|_ {\mathrm {coll} }.

Her er feltet af kræfter, der virker på partikler i en væske eller gas, og er massen af partiklerne. Udtrykket på højre side af ligningen er tilføjet for at tage højde for kollisioner mellem partikler og kaldes kollisionsintegralet . Hvis det er nul, så støder partiklerne slet ikke sammen. Dette tilfælde omtales ofte som en-partikel Liouville-ligningen . Hvis kraftfeltet erstattes af et passende selvkonsistent felt afhængigt af fordelingsfunktionen , får vi Vlasov-ligningen , der beskriver dynamikken af ladede plasmapartikler i et selvkonsistent felt. Den klassiske Boltzmann-ligning bruges i plasmafysik såvel som i halvleder- og metalfysik (til at beskrive kinetiske fænomener, det vil sige ladning eller varmeoverførsel, i en elektronvæske ). $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $m$ $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $f$

I Hamiltons mekanik er Boltzmann-ligningen ofte skrevet i en mere generel form

{\hat {{\mathbf {L}}}}[f]={\mathbf {C}}[f]

hvor er Liouville-operatoren, der beskriver udviklingen af volumen af faserummet og er kollisionsoperatoren. Operatørens ikke-relativistiske form er som følger $\mathbf{L}$ ${\mathbf {C}}$ $\mathbf{L}$

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t))+{\frac {\mathbf {p} }{m} }\cdot \nabla _{\mathbf {x} }+\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {p} },

og i den generelle relativitetsteori

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=\sum _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\ alpha ))}-\sum _{\alpha \beta \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{ \partial p^{\alpha }}},

hvor er Christoffel-symbolet . $\Gamma$

Kollisionsintegral

Kollisioner mellem partikler fører til en ændring i deres hastigheder. Hvis specificerer sandsynligheden for partikelspredning fra en tilstand med hastighed til en tilstand med hastighed , så skrives kollisionsintegralet for klassiske partikler som $W({\mathbf {v)),{\mathbf {v))^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt$ ${\mathbf {v))$ ${\mathbf {v}}^{\prime }$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{{coll}}=\int _{({\mathbf {v}}^{\prime }}}[f(t ,{\mathbf {r)),{\mathbf {v}}^{\prime })W({\mathbf {v}}^{\prime },{\mathbf {v}})-f(t, {\mathbf {r)),{\mathbf {v}})W({\mathbf {v}},{\mathbf {v}}^{\prime })]d^{3}v^{\prime }

I tilfælde af partikelstatistikkens kvantenatur kompliceres dette udtryk af umuligheden af, at to partikler er i en tilstand med de samme kvantetal, og derfor er det nødvendigt at tage højde for umuligheden af at sprede sig til besatte stater.

Tilnærmelse af afslapningstid

Boltzmann-ligningen er en kompleks integro-differential partiel differentialligning . Derudover afhænger kollisionsintegralet af det specifikke system, af typen af interaktion mellem partikler og andre faktorer. At finde fælles karakteristika ved ikke-ligevægtsprocesser er ikke en let opgave. Imidlertid er det kendt, at i tilstanden af termodynamisk ligevægt er kollisionsintegralet lig nul. Faktisk, i en tilstand af ligevægt i et homogent system i fravær af eksterne felter, er alle derivater på venstre side af Boltzmann-ligningen lig med nul, så kollisionsintegralet skal også være lig med nul. For små afvigelser fra ligevægt kan fordelingsfunktionen repræsenteres som

{\displaystyle f=f_{0}+f_{1))

hvor er ligevægtsfordelingsfunktionen, som er kendt fra termodynamikken og kun afhænger af partikelhastigheder, og er en lille afvigelse. $f_{0}({\mathbf {v}})$ $f_{1}$

I dette tilfælde kan man udvide kollisionsintegralet i en Taylor-serie med hensyn til funktionen og skrive det på formen: $f_{1}$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }=-{\frac {f_{1}}{\tau }}=-{ \frac {f-f_{0}}{\tau }}

hvor er afslapningstiden . En sådan tilnærmelse kaldes afslapningstidstilnærmelsen eller Bhatnagar-Gross-Krook kollisionsintegralmodellen . Relaksationstiden inkluderet i Boltzmann-ligningen afhænger af partikelhastigheden og følgelig af energien. Relaksationstiden kan beregnes for et specifikt system med specifikke partikelspredningsprocesser. $\tau$

Boltzmann-ligningen i afslapningstidstilnærmelsen skrives som

{\frac {\partial f}{\partial t))+{\mathbf {v))\cdot \nabla f+{\frac ({\mathbf {F))}{m))\cdot \nabla _{{ {\mathbf {v}}}}f=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}

Afledning af Boltzmann-ligningen

Den mikroskopiske udledning af Boltzmann-ligningen fra de første principper (baseret på den nøjagtige Liouville-ligning for alle partikler i mediet) udføres ved at afslutte kæden af Bogolyubov-ligninger på niveauet for parkorrelationsfunktionen for klassisk [1] og kvante [2 ] ] systemer. Regning i kæden af kinetiske ligninger for korrelationsfunktioner af højere orden giver dig mulighed for at finde korrektioner til Boltzmann-ligningen [3] .

Se også

Noter

↑ Bogolyubov N. N. Kinetic Equations (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1946. - T. 16 (8) . - S. 691-702 .
↑ Bogolyubov N. N. , Gurov K. P. Kinetiske ligninger i kvantemekanik (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1947. - T. 17 (7) . - S. 614-628 .
↑ Shelest A. V. Bogolyubovs metode i den dynamiske teori om kinetiske ligninger. — M.: Nauka, 1990. 159 s. ISBN 5-02-014030-9 .

Litteratur

Cherchinyani K. Teori og anvendelser af Boltzmann-ligningen. — M .: Mir, 1978. — 495 s.
udg. Liebovitz JL, Montroll EW Ikke-ligevægtsfænomener: Boltzmann-ligningen. — M .: Mir, 1986. — 272 s.
Carleman T. Matematiske problemer i den kinetiske teori om gasser. - M. : IL, 1960. - 120 s.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk stor kinesisk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NKC : ph548971