Kolmogorov-Chapman ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. juli 2019; checks kræver 2 redigeringer .

Kolmogorov - Chapman-ligningen for en én-parameter familie af kontinuerlige lineære operatorer i et topologisk vektorrum udtrykker semigruppeegenskaben : $\mathbf {P} (t),\;t>0$

\mathbf {P} (t+s)=\mathbf {P} (t)\mathbf {P} (s).

Oftest bruges dette udtryk i teorien om homogene Markov tilfældige processer , hvor er en operator, der transformerer sandsynlighedsfordelingen i det indledende tidspunkt til sandsynlighedsfordelingen på tidspunktet ( ). $\mathbf {P} (t),\;t\geq 0$ $t$ $\mathbf {P} (0)=\mathbf {1}$

For inhomogene processer betragtes to-parameter familier af operatorer, der transformerer sandsynlighedsfordelingen på et tidspunkt til en sandsynlighedsfordeling på et tidspunkt. For dem har Kolmogorov-Chapman-ligningen formen $\mathbf {P} (t,h),\;h>t>0$ $t>0$ $h>t>0.$

\mathbf {P} (t,s)=\mathbf {P} (t,h)\mathbf {P} (h,s),\;s>h>t>0.

For systemer med diskret tid tager parametrene naturlige værdier . $t,h,s$

Kolmogorovs direkte og omvendte ligninger

Formelt differentierer Kolmogorov-Chapman-ligningen med hensyn til , får vi den direkte Kolmogorov-ligning : $s$ $s=0$

{\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {P}}(t){\mathbf {Q}},

hvor

\mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {1} }{h)).

Formelt differentierer Kolmogorov-Chapman-ligningen med hensyn til , får vi den omvendte Kolmogorov-ligning $t$ $t=0$

{\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {Q}}{\mathbf {P}}(t).

Det skal understreges, at for uendelig-dimensionelle rum er operatoren ikke længere nødvendigvis kontinuert og kan ikke defineres overalt, for eksempel til at være en differentiel operator i distributionsrummet. ${\mathbf {Q}}$

Eksempler

Overvej homogene Markov tilfældige processer, hvor operatøren af overgangssandsynligheder er givet af overgangstætheden : sandsynligheden for overgang fra region til region i tid er . Kolmogorov-Chapman-ligningen for tætheder har formen: $\mathbb {R} ^{n},$ ${\mathbf {P}}(t)$ $p(t,x,y)$ $U$ $W$ $t$ $\int \limits _{U}dx\,\int \limits _{V}dy\,p(t,x,y)$

p(t+s,x,y)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y)\,dz.

Ved , tenderer overgangstætheden til δ-funktionen (i betydningen den svage grænse for generaliserede funktioner ): . Det betyder, at Lad der være en grænse (også en generaliseret funktion) $t>0,\,t\to 0$ $p(t,x,y)$ $\lim _{t\to 0}p(t,x,y)=\delta (xy)$ $\lim _{t\to 0}\mathbf {P} (t)=\mathbf {1} .$

q(x,y)=\lim _{h\to 0}{\frac {p(h,x,y)-\delta (xy)}{h)).

Så handler operatøren på funktioner defineret på as og Kolmogorovs direkte ligning tager formen ${\mathbf {Q}}$ $f(x)$ $\mathbb {R} ^{n},$ $(\mathbf {Q} f)(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,y)f(y)\,dy,$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))p(t,x,z)q (z,y)\,dz,

og den omvendte Kolmogorov-ligning

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))q(x,z)p(t ,z,y)\,dz.

Lad operatoren være en andenordens differentialoperator med kontinuerte koefficienter: ${\mathbf {Q}}$

(\mathbf {Q} f)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f} {\partial x^{i}\partial x^{j))}+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial f}{\partial x^{j))} .

(det betyder, at der er en lineær kombination af første og anden afledte med kontinuerte koefficienter). Matrixen er symmetrisk. Lad det være positivt bestemt på hvert punkt ( diffusion ). Den direkte Kolmogorov-ligning har formen $q(x,y)$ $\delta (xy)$ ${\displaystyle a^{ij))$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))={\frac {1}{2))\sum _{i,j}{\frac {\partial ^ {2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\sum _{j}{\frac { \partial }{\partial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).

Denne ligning kaldes Fokker-Planck-ligningen . Vektoren i den fysiske litteratur kaldes driftvektoren, og matrixen er diffusionstensoren . Den omvendte Kolmogorov-ligning i dette tilfælde $b^{j}$ ${\displaystyle a^{ij))$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))={\frac {1}{2))\sum _{i,j}a^{ij}(x ){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}p(t,x,y)+\sum _{j}b^{j}( x){\frac {\partial }{\partial x^{j))}p(t,x,y).

Se også

Litteratur

A. D. Wentzel ', Et kursus i teorien om tilfældige processer. — M.: Nauka, 1996. — 400 s.

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk