Torricellis punkter

Torricelli-punkter  er to punkter, hvorfra alle sider af en trekant er synlige enten i en vinkel på 60° eller i en vinkel på 120°. Disse punkter i trekanten er "parret". Disse punkter kaldes nogle gange Fermat -punkter eller Fermat-Torricelli-punkter .

• De to Torricelli-punkter  er skæringspunkterne for linjestykkerne, der forbinder trekantens toppunkter:
  • med de tilsvarende frie hjørner af ligesidede trekanter bygget på modsatte sider af trekanten (udad) - det første punkt af Torricelli
  • med de tilsvarende frie hjørner af regulære trekanter bygget på modsatte sider inde i trekanten - det andet Torricelli-punkt .

Egenskaber

• Det første punkt på Torricelli  er punktet i trekanten , hvorfra alle sider ses i en vinkel på 120° (per definition).
• Det første Torricelli-punkt har den mindste sum af afstande til trekantens hjørner. Den findes kun i trekanter med vinkler mindre end 120°; desuden er det unikt og er derfor et specialtilfælde af Fermat-punktet, der findes i enhver trekant.
• De to Torricelli-punkter og Lemoine-punktet ligger på samme linje.
• Torricelli-punkterne er isogonalt konjugeret med Apollonius-punkterne .
• Vi konstruerer to linjer, som hver går gennem Apollonius - punktet og Torricelli-punktet, som er forskelligt fra dets isogonale konjugat . Sådanne linjer vil skære i skæringspunktet mellem medianerne (ved trekantens tyngdepunkt ).
• Lesters sætning [1] . I enhver skala-trekant ligger de to Torricelli-punkter , midten af ​​de ni punkter og midten af ​​den omskrevne cirkel på den samme cirkel ( cirklen af ​​Leicester ).

En Kiepert hyperbel  er en afgrænset hyperbel, der passerer gennem et tyngdepunkt og et ortocenter . Hvis vi bygger lignende ligebenede trekanter på siderne af en trekant (udad eller indad), og derefter forbinder deres hjørner med de modsatte hjørner af den oprindelige trekant, så vil tre sådanne linjer skære hinanden på et punkt, der ligger på Kiepert-hyperbelen. Især på denne hyperbel ligger Torricelli-punkterne og Napoleon -punkterne (Cevian skæringspunkter, der forbinder toppunkterne med centrene af regelmæssige trekanter bygget på modsatte sider) [2] .

Bemærk

I den første figur til højre er centrene i de tre ligesidede trekanter i øvrigt selv hjørnerne af en ny ligesidet trekant ( Napoleons sætning ). Derudover .

Litteratur

• Point Farm
• Peg Torricelli
• Praktisk eksempel på at konstruere Fermat's point  (engelsk)
• Bemærkelsesværdige punkter i trekanten
• Fermat-Torricelli-problemet og dets udvikling// http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri
• * Dm. Efremov. Ny trekantgeometri 1902
• Protasov V. Yu Maxima og minima i geometri . — M. : MTsNMO. — 56 s. - (Bibliotek "Matematisk uddannelse", hæfte 31).

Se også

• Bemærkelsesværdige punkter i trekanten
• trekant geometri
• Cirkel
• Leicester omkreds
• retvinklet trekant
• Andet Farm Point
• Van Obels sætning
• Point Farm
• Apollonius peger
• Trekant
• Segmenter og cirkler forbundet med en trekant

Noter

1. ↑ Yiu, 2010 , s. 175-209.
2. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 125-126.

Litteratur

• Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry og deres generaliseringer  // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .