Kaluza-Klein teori

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. april 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Kaluza-Klein-teorien er en af de multidimensionelle teorier om tyngdekraft , som giver dig mulighed for at kombinere to grundlæggende fysiske interaktioner: tyngdekraft og elektromagnetisme . Teorien blev første gang udgivet i 1921 af den tyske matematiker Theodor Kaluza , som udvidede Minkowski-rummet til 5-dimensionelt rum og udledte fra ligningerne i hans teori ligningerne for generel relativitet og Maxwells klassiske ligninger . Begrundelsen for den femte dimensions uobserverbarhed (dens kompakthed) blev foreslået af den svenske fysiker Oscar Klein i 1926 [1] .

Denne teori var en af de første succesrige teorier, der lagde grundlaget for den geometriske fortolkning af målefelter (nemlig den eneste velkendte på tidspunktet for dens oprettelse, udover tyngdekraften, det elektromagnetiske felt). Det var også den første vellykkede foreningsteori , som, selv om den ikke førte til eksperimentelt bekræftede opdagelser, var en internt konsistent og ideologisk meningsfuld teori, der ikke var i modstrid med eksperimentet.

Den originale version af teorien indeholdt ikke andre fundamentale interaktioner (stærke og svage), der ikke var kendt på det tidspunkt, og der var heller ikke plads til partikler med halvt heltals spin. Men ideen om multidimensionelle forenede feltteorier med komprimerede komplementære rum har fundet anvendelse i moderne teorier om supersymmetri , supergravitation og superstrenge [2] .

Historie

Den geometriske tilgang i fysik blev lagt af R. Descartes , I. Kant og G. Galileo . I lang tid kunne begrebet rumkrumning ikke opstå i videnskaben på grund af dominansen af ideer om rummets og tidens homogenitet, som var baseret på Euklids femte aksiom og faldt sammen med hverdagserfaring [3] . Afvisningen af aksiomet om parallelitet af lige linjer førte N. I. Lobachevsky til opdagelsen af en ny (ikke-euklidisk) geometri i et rum med negativ krumning . B. Riemann opdagede en anden type ikke-euklidisk geometri med positiv krumning , når der ikke er en enkelt parallel linje parallel med de givne (geodesiske linjer), der passerer gennem et punkt, der ikke ligger på denne linje [4] . Riemanns sfæriske geometri beskriver verden med et begrænset volumen. W. Clifford forudsagde nogle konsekvenser af sfærisk geometri, overvejede ideer om en billes verden, der kravlede på en kugle og stillede et spørgsmål om vores univers geometri og dens forbindelse med fysik:

Lad os spørge os selv, om vi ikke på samme måde kan betragte de handlinger, som faktisk skyldes ændringer i vores rums krumning, som en ændring i den fysiske karakter. Vil det ikke vise sig, at alle eller nogle af de årsager, som vi kalder fysiske, stammer fra den geometriske struktur i vores rum? [5]

Cliffords væsentlige antagelse var forbindelsen mellem det elektriske felt og rummets geometri [6] . Men videnskabsmænd, der var engageret i søgen efter en geometrisk beskrivelse af verden, kunne ikke komme til konstruktionen af en generel relativitetsteori før inklusion af tid som en af koordinaterne for vores rum, hvilket blev fremmet i værker af H. Lorentz , A. Einstein , G. Minkowski [7] . I 1913 foreslog M. Grossman og A. Einstein, at gravitationsinteraktionen skyldes krumningen af det 4-dimensionelle rum-tid. Ved overgangen til 1915 og 1916, næsten samtidigt, dukkede ligninger for gravitationsfeltet op i værker af A. Einstein og D. Hilbert [8] .

Teoretisk fysik beskriver verden gennem matematik, søger at finde universalitet i dens love. Newton bemærkede, at tyngdekraften, der virker på et æble, er den samme tyngdekraft, som styrer himmellegemernes bevægelse. I dag kendes fire fundamentale interaktioner, og moderne teori overvejer muligheden for at beskrive alle interaktioner på en samlet måde ved at påberåbe sig højere dimensioner [9] . I denne sammenhæng er kvantefeltteori i femdimensionelt rum (5D) en naturlig forlængelse af Einsteins generelle relativitetsteori (GR) [10] .

Gunnar Nordström forsøgte først at kombinere tyngdekraftsteorien med elektromagnetisme, idet han påberåbte sig den femte dimension, i 1914. Men i dette tilfælde blev den femte komponent tilføjet til det elektromagnetiske vektorpotentiale, som er det Newtonske gravitationspotentiale, da hans teori dukkede op tidligere end den generelle relativitetsteori, og han antog ikke gravitationspotentialets tensorkarakter [11] , og tillod at skrive Maxwells ligninger i fem dimensioner [12 ] [13] .

Udviklingen af den femdimensionelle (5D) teori er opdelt i tre faser. Den oprindelige formodning skyldes Theodor Kaluza , som sendte sine resultater til Einstein i 1919 [14] og offentliggjorde dem i 1921 [15] . Kaluza præsenterede en rent klassisk 5D-udvidelse af generel relativitetsteori med en metrisk tensor på 15 komponenter. 10 komponenter er identificeret med en firedimensionel rum-tid-metrik, fire komponenter med et elektromagnetisk vektorpotentiale og en komponent med et uidentificeret skalarfelt , som Kaluza ikke overvejede, nogle gange kaldet en " radion " eller "dilaton". Følgelig giver 5D Einstein-ligningerne 4D Einstein-ligningerne for feltet , Maxwells ligninger for det elektromagnetiske felt og ligningen for skalarfeltet. Kaluza introducerede også hypotesen om "cylindrisk tilstand", ifølge hvilken ingen af komponenterne i den femdimensionelle metriske eksplicit afhænger af den femte koordinat. Uden denne antagelse opstår der termer, der inkluderer afledte felter med hensyn til den femte koordinat, som ligesom skalarfeltet ikke observeres i eksperimenter. Denne yderligere frihedsgrad er sådan, at feltligningerne for den femte koordinat bliver utrolig komplekse. Standardfysik i 4D opstår, når en cylindrisk betingelse pålægges, og den tilsvarende matematik antager en enklere form [16] .

I 1926 gav Oskar Klein den klassiske femdimensionelle Kaluza-teori en kvantefortolkning i overensstemmelse med Heisenbergs og Schrödinger's opdagelser [17] [18] . Klein antog, at den femte dimension er krøllet sammen og mikroskopisk for at forklare den cylindriske tilstand, og cyklisk bevægelse i den femte dimension kan naturligt forklare kvantiseringen af elektronladningen [19] . Klein foreslog, at geometrien af den ekstra femte dimension kunne være cirkulær med en radius på 10-30 cm . Klein bidrog også til klassisk teori ved at levere en korrekt normaliseret 5D-metrik [18] . Arbejdet med Kaluza-feltteorien fortsatte ind i 1930'erne af Einstein og hans kolleger i Princeton [20] .

Den oprindelige Kaluza-Klein teori anses for at være forkert af flere grunde. Især komprimeringen af den femte dimension fører til den konklusion, at de partikler, der vil dominere verden, skal have Planck-masser, hvilket ikke er observeret i eksperimentet. Dette problem er kendt som massehierarkiproblemet . At ignorere det skalære felt i Calucei giver heller ingen mulighed for at forklare tilstedeværelsen af mørk energi i vores univers [19] . Også ifølge Einstein udelukker den cylindriske tilstand, som er årsagen til fremkomsten af masser, den geometriske fortolkning af masser [21] .

I 1940'erne blev den klassiske teori færdiggjort, og de komplette feltligninger, inklusive skalarfeltet, blev opnået af tre uafhængige forskningsgrupper [22] : Thiry [23] [24] [25] , der arbejdede i Frankrig på en afhandling under Lichnerovich ; Jordan, Ludwig og Müller i Tyskland [26] [27] [28] [29] [30] , med kritiske bidrag fra Pauli og Fierz; og Scherrer [31] [32] [33] som arbejdede alene i Schweiz. Jordans arbejde førte til Brans-Dickes skalar-tensor-teori [34] ; Bruns og Dike kendte åbenbart ikke til Tiri og Scherrer. De komplette Kaluza-ligninger med den cylindriske tilstand er ret komplekse, og de fleste engelsksprogede anmeldelser, såvel som Thirys engelske oversættelser, indeholder nogle fejl. Krumningstensorerne for de komplette Kaluza-ligninger blev beregnet ved hjælp af tensoralgebra-computersystemet i 2015 [35] , under kontrol af resultaterne af Ferrari [36] og Coquero og Esposito-Farese [37] . Den 5D-kovariante form af kilden (energimomentum-tensor) blev overvejet af Williams [38] .

Kaluzas hypotese

I sit papir fra 1921 [15] brugte Kaluza alle elementerne i den klassiske femdimensionelle teori: metrikken, feltligninger, bevægelsesligninger, energi-momentum-tensoren og den cylindriske tilstand. Uden at bruge frie parametre udvidede han den generelle relativitetsteori til fem dimensioner.

Lad os starte med en hypotese om formen af den femdimensionelle metrik. , hvor latinske indekser dækker fem dimensioner. Vi introducerer også en firedimensionel rum-tid-metrik , hvor de græske indekser dækker de sædvanlige fire dimensioner af rum og tid; 4-vektoren er identificeret med det elektromagnetiske vektorpotentiale; og skalarfelt [39] . Derefter opdeler vi 5D-metrikken, så 4D-metrikken er indrammet af et elektromagnetisk vektorpotentiale med et skalarfelt i den femte position på diagonalen. Dette kan repræsenteres som: ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu))$ ${\displaystyle A^{\mu ))$ $\phi$

{\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^ {2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu}&\phi ^{2}\end{bmatrix}}\,.

Mere præcist kan man skrive

{\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu}+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu},\qquad {\widetilde { g))_{5\nu }\equiv {\widetilde {g))_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu},\qquad {\widetilde {g))_{55 }\equiv \phi ^{2}\,,

hvor indekset angiver den femte koordinat efter konvention, mens de første fire koordinater har indeks 0, 1, 2 og 3. Den tilsvarende inverse metrik er $5$

{\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu}&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\ alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{1 \over \phi ^{2}}\end{bmatrix}}\,.

Denne udvidelse er ret generel, og alle termer er dimensionsløse. Kaluza anvender derefter apparatet for almindelig generel relativitetsteori på denne metriske værdi . Feltligningerne er afledt af de femdimensionelle Einstein-ligninger , mens bevægelsesligningerne er afledt af den femdimensionelle geodætiske hypotese. De resulterende feltligninger giver både generelle relativitetsteori og elektrodynamiske ligninger; bevægelsesligningerne giver den firedimensionelle ligning for den geodætiske og loven for Lorentz-kraften [40] , og det viser sig, at den elektriske ladning er identificeret med bevægelse i den femte dimension.

Den metriske hypotese antyder, at der er et invariant femdimensionelt længdeelement [39] : $\operatørnavn {d} \!s$

\operatørnavn {d} \!s^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\operatørnavn {d} \!x^{a}\operatørnavn {d} \!x^{ b}=g_{\mu \nu }dx^{\mu}\operatørnavn {d} \!x^{\nu}+\phi ^{2}\left(A_{\nu}\operatørnavn {d} \ !x^{\nu}+\operatørnavn {d} \!x^{5}\right)^{2}\,.

Feltligninger fra Kaluzas formodning

Feltligningerne i 5D-teorien blev aldrig korrekt defineret af Kaluza eller Klein, fordi de ignorerede det skalære felt. Udledningen af de komplette Kaluza-feltligninger tilskrives normalt Thiry [24] , som opnåede feltligningerne i et vakuum. Kaluza [15] skrev oprindeligt energi-momentum-tensoren til sin teori, og Thiry inkluderede energi-momentum-tensoren i sin afhandling. Men, som Gonner [22] beskrev , arbejdede flere uafhængige grupper på feltligninger i 1940'erne og tidligere. Thiry er måske kun bedst kendt, fordi Applequist, Chodos og Freund udgav en engelsk oversættelse af hans arbejde i deres anmeldelsesbog [41] . Applequist et al udgav også en engelsk oversættelse af Kaluzas artikel. Jordans værker er ikke oversat til engelsk [26] [27] [29] . De første korrekte Kaluza-feltligninger på engelsk, inklusive skalarfeltet, blev opnået af Williams [35] .

For at opnå 5D-feltligningerne beregnes 5D Christoffel-forbindelsessymbolerne ud fra 5D-metrikken , og 5D Ricci-tensoren beregnes ud fra 5D Christoffel-forbindelsessymbolerne. ${\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}$ ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

De klassiske resultater af Thiry og andre forfattere blev opnået ved hjælp af den cylindriske tilstand:

{\partial {\widetilde {g}}_{ab} \over \partial x^{5}}=0

Uden denne antagelse bliver feltligningerne meget mere komplekse, hvilket fører til mange flere frihedsgrader, der kan identificeres med forskellige nye felter. Paul Wesson og hans kolleger forsøgte at svække den cylindriske tilstand for at opnå yderligere termer, der kan identificeres med stoffelter [42] , for hvilke Kaluza [15] manuelt indsatte energimoment-tensoren.

Indvendingen mod Kaluzas oprindelige idé var at bruge den femte dimension, men uden dens dynamik. Thiry hævdede imidlertid [22] at fortolkning af loven for Lorentz-kraften i form af en 5-dimensionel geodætisk stærkt modsiger eksistensen af en femte dimension, uanset den cylindriske tilstand. Derfor brugte de fleste forfattere den cylindriske tilstand, når de udledte feltligningerne. Derudover antages normalt vakuumligninger for hvilke

{\widetilde {R}}_{ab}=0

hvor

{\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\ Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\ Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}

{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {1 \over 2}{\widetilde {g}}^{ad}\left(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}\right)

Vakuumfeltligningerne opnået på denne måde af Thiry [24] og Jordans gruppe [26] [27] [29] er skrevet nedenfor.

Feltligningen for er hentet fra ${\displaystyle A^{\nu ))$

{\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={1 \over 4}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }

hvor , , og er den standard firedimensionelle kovariantafledte. Ligningen viser, at det elektromagnetiske felt er kilden til skalarfeltet. Bemærk, at det skalære felt ikke kan antages at være konstant uden at pålægge det elektromagnetiske felt en passende begrænsning. Tidligere fortolkninger af Kaluza og Klein beskrev ikke tilstrækkeligt skalarfeltet og tog ikke højde for den resulterende begrænsning på det elektromagnetiske felt, idet man antog et konstant skalarfelt. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha ))$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu ))$ $\nabla _{\mu }$

Feltligningen for den firedimensionelle Ricci-tensor fås fra $R_{\mu \nu }$

{\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={1 \over 2}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }\left(\phi ^{3}F_ {\alpha \beta }\right)

Hvis skalarfeltet er konstant, har det form af Maxwells vakuumligninger.

{\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu}-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R} }&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu}-{1 \over 2}g_{\mu \nu}R&={1 \over 2}\phi ^{2}\left(g^{\ alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{1 \over 4}g_{\mu \nu}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right) +{1 \over \phi }\left(\nabla _{\mu}\nabla _{\nu}\phi -g_{\mu \nu}\Boks \phi \right)\end{aligned))

hvor er standard 4D Ricci-skalaren. $R$

Et bemærkelsesværdigt resultat følger af denne ligning, kaldet af A. Salam "miraklet af Kaluza" [43] - den nøjagtige form af energi-momentum-tensoren af det elektromagnetiske felt opstår fra 5D vakuumligninger som en kilde i 4D-ligninger - feltet fra vakuum. Et andet mirakel involverer forklaringen af gauge-invarians [44] . Formen af energi-momentum-tensoren af det elektromagnetiske felt giver os mulighed for endelig at identificere det med det elektromagnetiske vektorpotentiale. For at gøre dette skal feltet skaleres ved hjælp af transformationskonstanten : . Ovenstående relation viser, at konstanten skal være af formen ${\displaystyle A^{\mu ))$ $k$ ${\displaystyle A^{\mu}\rightarrow kA^{\mu ))$

{k^{2} \over 2}={8\pi G \over c^{4}}{1 \over \mu _{0}}={2G \over c^{2}}{ 4\pi \epsilon _{0}}

hvor er gravitationskonstanten og er det frie rums magnetiske permeabilitet . I Kaluzas teori kan gravitationskonstanten forstås som en elektromagnetisk koblingskonstant i en metrik. Der er også en energi-momentum-tensor for et skalarfelt. Det skalære felt opfører sig som en variabel gravitationskonstant med hensyn til at modulere forbindelsen mellem energi-moment-tensoren af det elektromagnetiske felt med krumningen af rum-tid. Tegnet i metrikken er fastsat i overensstemmelse med 4D-teorien, således at de elektromagnetiske energitætheder er positive. Det antages ofte, at den femte koordinat er rumlignende i sin signatur i metrikken. $G$ $\mu_{0}$ $\phi ^{2}$

I nærvær af stof er 5D-vakuumtilstanden overtrådt. Kaluza forventede faktisk ikke dette. De komplette feltligninger kræver beregning af 5D Einstein-tensoren

{\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R }}

set fra rekonstruktionen af energi-momentum-tensoren af det elektromagnetiske felt ovenfor. 5D-kurvaturtensorer er komplekse, og de fleste engelsksprogede anmeldelser indeholder fejl enten i eller det samme som deres engelske oversættelser [24] . Se Williams [35] for et komplet sæt af 5D-krumningstensorer med en cylindrisk tilstand beregnet med et tensoralgebraprogram. ${\widetilde {G}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Bevægelsesligninger fra Kaluzas hypotese

Bevægelsesligningerne er afledt af den femdimensionelle geodætiske hypotese [15] i form af 5-hastigheden : ${\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds$

{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla}}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={d{\widetilde {U}}^{a } \over ds}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0

Denne ligning kan transformeres på flere måder og er blevet undersøgt i forskellige former af forfattere, herunder Kaluza [15] , Pauli [45] , Gross og Perry [46] , Hegenberg og Kunstatter [47] og Wesson og Ponce de Leon [48 ] . men for en bedre forståelse er det nyttigt at konvertere det tilbage til det sædvanlige 4-dimensionelle længdeelement , som er relateret til det 5-dimensionelle længdeelement , som ovenfor: ${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu}dx^{\mu }dx^{\nu))$ $ds$

ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}+\phi ^{2}\left(kA_{\nu}dx^{\nu}+dx^{5}\right )^{2}

Derefter kan den 5D geodætiske ligning skrives [49] for de spatiotemporale komponenter af 4-hastigheden,

{\begin{aligned}&U^{\nu}\equiv {dx^{\nu} \over d\tau }\\&{dU^{\nu} \over d\tau }+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu } U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }\left(U^{5}\right)^{2}+U^{\mu }{d \over d\tau }\ln \left({cd\tau \over ds}\right)=0\end{aligned}}

Et term kvadratisk i , resulterer i en 4D geodætisk ligning plus nogle elektromagnetiske udtryk: ${\displaystyle U^{\nu))$

{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{1 \over 2}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}\left(A_{\alpha }F_{\beta \nu}+A_{\beta }F_{\alpha \nu}-A_{\alpha }A_{ \beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Udtrykket, lineært i , fører til loven for Lorentz-kraften : ${\displaystyle U^{\nu))$

{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={1 \over 2}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}\left(F_{\ alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Dette er endnu et udtryk for "Kaluzas mirakel". Den samme hypotese for 5D-metrikken, der producerer det elektromagnetiske felts energi-momentum-tensor i Einstein-ligningerne, giver også Lorentz-kraftloven i bevægelsesligningen sammen med den 4D-geodætiske ligning. Overholdelse af Lorentz kraftloven kræver imidlertid, at 5-hastighedskomponenten langs den femte dimension identificeres med den elektriske ladning:

kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\højrepil {q \over mc}

hvor er partiklens masse og er partiklens elektriske ladning. Således forstås elektrisk ladning som bevægelse langs den femte dimension. Det faktum, at Lorentz' kraftlov kan forstås som en geodætisk i 5 dimensioner, var Kaluzas hovedmotivation for at overveje den 5-dimensionelle hypotese selv i nærvær af den æstetisk ubehagelige cylindriske tilstand. $m$ $q$

Men der er et problem: Udtrykket, som er kvadratisk i , fører til ligningen $U^{5}$

{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{1 \over 2}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}

Hvis der ikke er nogen gradient i det skalære felt, så forsvinder udtrykket kvadratisk i . Men ellers følger det af ovenstående udtryk $U^{5}$

{\displaystyle U^{5}\sim c{q/m \over G^{\frac {1}{2))))

Til elementære partikler . Udtrykket kvadratisk i må dominere i ligningen, muligvis i modstrid med de eksperimentelle fakta. Dette var den største mangel ved den 5-dimensionelle teori som set af Kaluza [15] , som han betragtede i sit originale papir. Yu. S. Vladimirov fremhæver følgende mangler ved teorien: den fysiske betydning af den femte komponent og -komponent af den metriske tensor er ikke klar; årsagen til den cylindriske tilstand er ikke klar; en sådan forening er formel og giver ikke nye eksperimentelt verificerbare forudsigelser og andre [50] . $U^{5}>{\rm {10}}^{20}c$ $U^{5}$ $G_{55}$

Bevægelsesligningen for er især forenklet under den cylindriske tilstand. Lad os starte med en alternativ form for den geodætiske ligning skrevet for en kovariant 5-hastighed: $U^{5}$

{d{\widetilde {U}}_{a} \over ds}={1 \over 2}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{ \partial {\widetilde {g}}_{bc} \over \partial x^{a}}

Dette betyder, at under hensyntagen til den cylindriske tilstand , er konstanten for 5-dimensionel bevægelse: ${\widetilde {U}}_{5}$

{\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{cd\tau \over ds}\left(kA_{\nu}U^{\nu}+U^{5}\right)={\rm {konstant))

Kaluzas hypotese om stoffets energi-momentum-tensor

Kaluza [15] foreslog at bruge 5D-stof-energi-momentum-tensoren i formen ${\widetilde {T}}_{M}^{ab}$

{\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {dx^{a} \over ds}{dx^{b} \over ds}

hvor er densiteten og længdeelementet defineret ovenfor. $\rho$ $ds$

Så giver rum-tid-komponenten en typisk energi-momentum-tensor af støvet stof :

{\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}

Den blandede del tjener som en 4-strømkilde til Maxwells ligninger:

{\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{5} \over ds}=\rho U^{ \mu }{q \over kmc}

Ligesom en femdimensionel metrisk indbefatter en 4-dimensionel metrik indrammet af et elektromagnetisk vektorpotentiale, indbefatter en 5-dimensionel energi-momentum-tensor en 4-dimensionel energi-momentum-tensor indrammet af en vektor 4-strøm.

Kleins kvantefortolkning

Kaluzas oprindelige hypotese var rent klassisk og udvidet generel relativitetsteori. På tidspunktet for Kleins bidrag tiltrak opdagelserne af Heisenberg, Schrödinger og de Broglie megen opmærksomhed. Kleins papir i Nature [18] antyder, at den femte dimension er lukket og periodisk, og at identifikationen af elektrisk ladning med bevægelse i den femte dimension kan fortolkes som stående bølger med en bølgelængde svarende til elektroner omkring en kerne i Bohr-modellen af et atom. Så kunne kvantiseringen af elektrisk ladning godt forstås i form af heltalsmultipler af det femdimensionelle momentum. Ved at kombinere Kaluzas tidligere resultat med hensyn til elektrisk ladning og de Broglies momentumforhold , udledte Klein et udtryk for den 0. tilstand af sådanne bølger: $\lambda ^{5}$ $U^{5}$ $p^{5}=h/\lambda ^{5}$

mU^{5}={cq \over G^{\frac {1}{2}}}={h \over \lambda ^{5}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5} \sim {hG^{\frac {1}{2}} \over cq}

hvor er Plancks konstant. Klein fandt cm, og dermed en forklaring på den cylindriske tilstand ved så lille en værdi. $h$ $\lambda ^{5}\sim {\rm {10}}^{-30}$

Kleins artikel i Zeitschrift für Physik af samme år [17] giver en mere detaljeret diskussion, som eksplicit bruger Schrödinger og de Broglies metoder. Hun gengav meget af Kaluzas klassiske teori beskrevet ovenfor og gik derefter videre til Kleins kvantefortolkning. Klein løste en bølgeligning svarende til Schrödingers ved at bruge en udvidelse i form af femdimensionelle bølger, der resonerede i en lukket, kompakt femte dimension.

Fortolkning af gruppeteori

I 1926 foreslog Oskar Klein, at den fjerde rumlige dimension er pakket ind i en cirkel med en meget lille radius , så en partikel, der bevæger sig et lille stykke langs denne akse, vil vende tilbage til udgangspunktet. Den afstand, som en partikel kan tilbagelægge, før den når sin udgangsposition, kaldes størrelsen af dimensionen. Denne ekstra dimension er et kompakt sæt , og konstruktionen af denne kompakte dimension kaldes kompaktering .

I moderne geometri kan den ekstra femte dimension forstås som U(1) -gruppen , da elektromagnetisme i det væsentlige kan formuleres som en gauge-teori på et bundt , et bundt på en cirkel , med en gauge-gruppe U(1). I Kaluza-Klein-teorien antager denne gruppe, at målesymmetrien er symmetrien af cirkulære kompakte rum. Når først denne geometriske fortolkning er accepteret, er det relativt nemt at ændre, at U(1) er en generel Lie-gruppe . Sådanne generaliseringer kaldes ofte Yang-Mills teorier . Hvis der skelnes, så opstår Yang-Mills teorier i flad rumtid, mens Kaluza-Klein betragter det mere generelle tilfælde af buet rumtid. Grundrummet i Kaluza-Klein teorien behøver ikke at være firedimensionel rumtid; det kan være enhver ( pseudo ) Riemannmanifold , supersymmetrisk manifold, orbifold eller endda et ikke-kommutativt rum .

Konstruktionen kan groft beskrives som følger [51] . Vi starter med at betragte et hovedbundt P med en gauge-gruppe G over en manifold M. Givet en forbindelse på bundtet, en metrik på basismanifolden og en gauge-invariant metrik på tangenten til hver fiber, kan vi konstruere et bundt metrik defineret på hele bundtet. Ved at beregne den skalære krumning af denne bundtmetrik finder vi, at den er konstant på hvert lag: dette er "miraklet af Kaluza". Der var ikke behov for eksplicit at pålægge en cylindrisk tilstand eller komprimere: ved antagelse er målergruppen allerede kompakt. Derefter tages denne skalære krumning som tætheden af Lagrangian , og ud fra dette konstrueres Einstein-Hilbert-handlingen for bundtet som helhed. Bevægelsesligningerne, Euler-Lagrange-ligningerne , kan opnås på den sædvanlige måde ved at overveje en stationær handling med hensyn til variationer af enten metrikken på den underliggende manifold eller målerforbindelsen. Variationer med hensyn til basismetrikken giver Einstein-feltligningerne på basismanifolden, hvor energi-momentum-tensoren er givet ved krumningen af målerforbindelsen . På den anden side er handlingen stationær med hensyn til variationer i gauge-relationen, netop når gauge-relationen er en løsning af Yang-Mills-ligningen . Ved at anvende en enkelt idé: princippet om mindste handling på en enkelt størrelse: den skalære krumning på bundtet (som helhed), kan man således samtidig opnå alle de nødvendige feltligninger for både rum-tid og målefeltet.

Som en tilgang til at forene kræfter er det let at anvende Kaluza-Klein teorien i et forsøg på at forene tyngdekraften med stærke og elektrosvage kræfter ved hjælp af SU(3) × SU(2) × U(1) symmetrigruppen i standardmodellen . Forsøget på at gøre denne interessante geometriske konstruktion til en fuldgyldig model af virkeligheden mislykkes dog på grund af en række vanskeligheder, herunder det faktum, at fermioner skal indføres kunstigt (i ikke-supersymmetriske modeller). Ikke desto mindre forbliver Kaluza-Klein-teorien en vigtig prøvesten i teoretisk fysik og er ofte inkorporeret i mere komplekse teorier. Det studeres i sig selv som et objekt af geometrisk interesse i K-teori .

Selv i mangel af et fuldt tilfredsstillende fundament for teoretisk fysik, er ideen om at udforske ekstra, kompakterede dimensioner af betydelig interesse i de eksperimentelle og astrofysiske samfund . Mange forudsigelser kan laves med reelle eksperimentelle implikationer (i tilfælde af store ekstra dimensioner og forvrængede modeller ). For eksempel ville man ud fra de enkleste principper forvente stående bølger i en yderligere komprimeret dimension eller dimensioner. Hvis den ekstra rumlige dimension har en radius R , vil den invariante masse af sådanne stående bølger være M n = nh / Rc, hvor n er et heltal , h er Plancks konstant , og c er lysets hastighed . Dette sæt af mulige masseværdier omtales ofte som Kaluza-Klein-tårnet . På samme måde fører komprimeringen af den euklidiske tidsdimension i kvantefeltteori ved ikke-nul temperaturer til Matsubara-frekvenser og dermed til et diskret termisk energispektrum.

Kleins tilgang til kvanteteori er dog fejlagtig og fører for eksempel til en beregnet elektronmasse af størrelsesordenen Planck-massen [52] .

Eksempler på eksperimentelt verificerbare implikationer af teorien omfatter arbejdet med CDF-samarbejdet , som genanalyserede partikelkolliderdata for at identificere effekter forbundet med store ekstra dimensioner og deformerede modeller .

Brandenberger og Wafa foreslog, at i det tidlige univers fik kosmisk inflation tre rumlige dimensioner til at udvide sig til kosmologiske dimensioner, mens de resterende dimensioner af rummet forblev mikroskopiske.

Rum-tid-stofteori

En særlig variant af Kaluza-Klein teorien, kendt som rum-tid-stof- teorien eller induceret stof-teori , er hovedsageligt blevet udforsket af Paul Wesson og andre medlemmer af Space-Time-Matter Consortium [53] . Denne version af teorien bemærker, at løsninger til ligningen

{\widetilde {R}}_{ab}=0

kan omformuleres, så disse løsninger i fire dimensioner ville tilfredsstille Einstein-ligningerne

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

med den nøjagtige form T μν, der følger af betingelsen om Ricci-tensorens forsvinden i det femdimensionale rum. Med andre ord bruges den cylindriske tilstand ikke, og nu opnås energimoment-tensoren fra derivaterne af 5D-metrikken i forhold til den femte koordinat. Da energimoment-tensoren sædvanligvis betragtes i firedimensionelt rum med stof, kan ovenstående resultat fortolkes som firedimensionelt stof induceret af geometrien af femdimensionelt rum.

Især soliton - løsninger indeholder Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-metrikken både i strålingsdominerede former (tidligt univers) og i stofdominerede former (sen univers). Det kan påvises, at de generelle ligninger stemmer tilstrækkeligt overens med de klassiske test af generel relativitet til at være acceptable med hensyn til fysiske principper, mens de stadig tillader et betydeligt spillerum til at vælge interessante kosmologiske modeller . ${\widetilde {R}}_{ab}=0$

Geometrisk fortolkning

Kaluza-Klein-teorien har en særlig elegant fremstilling med hensyn til geometri. I en vis forstand svarer dette til almindelig tyngdekraft i frit rum , bortset fra at det udtrykkes i fem dimensioner i stedet for fire.

Einsteins ligninger

Ligninger, der beskriver almindelig tyngdekraft i frit rum, kan opnås fra handlingen ved at anvende variationsprincippet på en bestemt handling . Lad M være en ( pseudo ) Riemann-manifold , der kan opfattes som rum-tid for generel relativitet . Hvis g er en metrik på denne manifold, er handlingen S ( g ) defineret som

S(g)=\int _{M}R(g)\mathrm {vol} (g)\,

hvor R ( g ) er den skalære krumning og vol( g ) er volumenelementet . Anvendelse af variationsprincippet til handling

{\frac {\delta S(g)}{\delta g))=0

vi får præcis Einstein-ligningerne for frit rum:

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0

hvor R ij er Ricci-tensoren .

Maxwells ligninger

I modsætning hertil kan Maxwells ligninger , der beskriver elektromagnetisme , forstås som Hodge-ligningerne for et primært U(1)-bundt eller cirkelbundt med en fiber U(1) . Det vil sige, at det elektromagnetiske felt er en harmonisk 2-form i rummet af differentierbare 2-former på manifolden . I mangel af ladninger og strømme har Maxwells ligninger i et frit felt formen $\pi :P\to M$ $F$ $\Omega ^{2}(M)$ $M$

\mathrm {d} F=0\quad {\text{og))\quad \mathrm {d} {\star }F=0.

hvor er Hodge-stjernen . $\star$

Kaluza-Kleins geometri

For at konstruere Kaluza-Klein-teorien vælges en invariant metrik på cirklen , det vil sige fiberen i U(1)-bundtet af elektromagnetisme. I denne diskussion er en invariant metrik simpelthen en metrik, der er invariant under cirkelrotationer. Antag, at denne metrik giver cirklen en samlet længde . Derefter betragtes metrikker på bundtet , der stemmer overens med både fibermetrikken og metrikken på den underliggende manifold . Konsistensbetingelser: $S^{1}$ $\lambda$ ${\widehat {g))$ $P$ $M$

Projektionen ind i det lodrette underrum skal være i overensstemmelse med metrikken på laget over punktet på manifolden . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Vert}}_{p}P\subset T_{p}P$ $M$
Projektionen ind i det vandrette underrum af tangentrummet i et punkt skal være isomorf med metrikken på ved . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Hor}}_{p}P\subset T_{p}P$ $p\in P$ $g$ $M$ $\pi (P)$

Kaluza-Klein-handlingen for en sådan metrik er givet af

S({\widehat {g)))=\int _{P}R({\widehat {g)))\;{\mbox{vol))({\widehat {g)))\,

Den skalære krumning skrevet i komponenterne udvides derefter til

R({\widehat {g)))=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}\vert F\vert ^{ 2}\right),

hvor er codifferentialet for projektionen af fiberbundtet . Forbindelsen på laget af bundtet er relateret til den elektromagnetiske felttensor $\pi ^{*}$ $\pi :P\to M$ $EN$

\pi ^{*}F=\mathrm {d} A

At en sådan forbindelse altid eksisterer, selv for bundter af vilkårligt kompleks topologi, er et resultat af homologi og især af K-teori . Ved at anvende Fubini-sætningen og integrere over laget får vi

S({\widehat {g)))=\Lambda \int _{M}\venstre(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2))}\vert F\vert ^{2}\right)\;{\mbox{vol}}(g)

Ved at variere handlingen med hensyn til komponenten kommer vi frem til Maxwells ligninger. Ved at anvende variationsprincippet på basismetrikken får vi Einstein-ligningerne $EN$ $g$

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}

med energimoment-tensoren angivet som

T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}\vert F\vert ^{2},

som undertiden kaldes den Maxwellske stresstensor .

Den originale teori definerer med en lagmetrik og tillader den at variere fra lag til lag. I dette tilfælde er forbindelsen mellem tyngdekraften og det elektromagnetiske felt ikke konstant, men har sit eget dynamiske felt - radionisk . $\lambda$ $g_{55}$ $\lambda$

Generaliseringer

Ovenfor fungerer sløjfestørrelsen som en koblingskonstant mellem gravitationsfeltet og det elektromagnetiske felt. Hvis basismanifolden er firedimensionel, så er Kaluza-Klein-manifolden P femdimensional. Den femte dimension er et kompakt rum , som kaldes den kompakte dimension . Metoden til at indføre kompakte dimensioner for at opnå en flerdimensionel manifold kaldes kompaktering . Kompaktificering udfører ikke gruppehandlinger på chirale fermioner, undtagen i meget specifikke tilfælde: dimensionen af hele rummet skal være 2 mod 8, og G-indekset for Dirac-operatoren for det kompakte rum skal være ikke-nul [54] . $\lambda$

Ovenstående udvikling generaliserer mere eller mindre direkte til generelle principielle G -bundter for nogle vilkårlige Lie-gruppe G , der indtager pladsen U(1) . I dette tilfælde kaldes teorien ofte for Yang-Mills- teorien . Hvis den underliggende manifold er supersymmetrisk , så er den resulterende teori en supersymmetrisk Yang-Mills teori.

Eksperimentel verifikation

Der har ikke været officielle rapporter om eksperimentelle eller observationelle tegn på yderligere dimensioner. Mange teoretiske søgemetoder er blevet foreslået til at detektere Kaluza-Klein-resonanser ved hjælp af masseinteraktionen af sådanne resonanser med topkvarken . Imidlertid er observation af sådanne resonanser ved Large Hadron Collider usandsynlig. En analyse af LHC-resultaterne i december 2010 begrænser teorier med store ekstra dimensioner alvorligt [55] .

Observationen af Higgs- bosonen ved LHC etablerer en ny empirisk test, der kan anvendes til at søge efter Kaluza-Klein-resonanser og supersymmetriske partikler. Loop Feynman-diagrammer , som eksisterer i Higgs-interaktioner, tillader enhver partikel med en elektrisk ladning og masse at bevæge sig langs en sådan sløjfe. Andre standardmodelpartikler end topkvarken og W-bosonen bidrager ikke meget til tværsnittet observeret i H → γγ , men hvis nye partikler dukker op uden for standardmodellen, kan de potentielt ændre forholdet mellem den forudsagte standardmodel H → γγ til det eksperimentelt observerede afsnit. Derfor er måling af enhver pludselig ændring i H → γγ forudsagt af standardmodellen afgørende for studiet af fysik ud over dets grænser.

Et andet nyere papir fra juli 2018 [56] giver håb til denne teori; i papiret bestrider de, at tyngdekraften trænger ind i højere dimensioner, som i brane-teorien. Artiklen viser dog, at det elektromagnetiske felt og tyngdekraften har samme antal dimensioner, og dette faktum bekræfter Kaluza-Klein-teorien; om antallet af dimensioner faktisk er 3 + 1 eller faktisk 4 + 1 er et spørgsmål om yderligere debat.

Se også

Universelle ekstra dimensioner

Noter

↑ A. A. Starobinsky. Kaluza - Klein teori // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2: Kvalitetsfaktor - Magneto-optik. - 704 s. — 100.000 eksemplarer. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Kalutsy - Klein teori / A. A. Starobinsky // Great Russian Encyclopedia [Elektronisk ressource]. – 2004.
↑ Vladimirov, 2009 , s. elleve.
↑ Vladimirov, 2009 , s. femten.
↑ Vladimirov, 2009 , s. 16.
↑ Vladimirov, 2009 , s. 17.
↑ Vladimirov, 2009 , s. 19.
↑ Vladimirov, 2009 , s. 21-22.
↑ Wesson, 2006 , s. en.
↑ Wesson, 2006 , s. 1-2.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , s. 307.
↑ Nordström, Gunnar (1914). "Om muligheden for at forene gravitations- og elektromagnetiske felter". Phys. Zeitschr . 15 :504-506. arXiv : fysik/0702221 .
↑ Keskinen, Raimo. Gunnar Nordström & Suomen Einstein (fin.) (ikke tilgængeligt link) (25. juni 2007). Hentet 10. juli 2021. Arkiveret fra originalen 3. marts 2016.
↑ Pais, Abraham. Subtil er Herren...: Albert Einsteins videnskab og liv . - 1982. - S. 329-330 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K .
↑ Wesson, 2006 , s. 3-4.
↑ 1 2 Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
↑ 1 2 3 Klein, Oskar (1926). "Elektricitetens atomicitet som en kvanteteorilov." natur . 118 (2971): 516. Bibcode : 1926Natur.118..516K . DOI : 10.1038/118516a0 .
↑ 12 Wesson , 2006 , s. 5.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , s. 308.
↑ Wesson, 2006 , s. 6.
↑ 1 2 3 Goenner, H. (2012). "Nogle bemærkninger om tilblivelsen af skalar-tensor teorier." Generel relativitet og gravitation . 44 (8): 2077-2097. arXiv : 1204.3455 . Bibcode : 2012GReGr..44.2077G . DOI : 10.1007/s10714-012-1378-8 .
↑ Lichnerowicz, A. (1947). "Problèmes de calcul des variations ligger à la dynamique classique et à la théorie unitaire du champ." Compt. Rend. Acad. sci. Paris . 224 : 529-531.
↑ 1 2 3 4 Thiry, Y. (1948). "Les equations de la théorie unitaire de Kaluza". Compt. Rend. Acad. sci. Paris . 226 : 216-218.
↑ Thiry, Y. (1948). "Sur la regularité des champs gravitationnel et électromagnétique dans les théories unitaires". Compt. Rend. Acad. sci. Paris . 226 : 1881-1882.
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1946). "Relativistisk Gravitationstheorie mit variabler Gravitationskonstante". Naturwissenschaften . 11 (8): 250-251. Bibcode : 1946NW.....33..250J . DOI : 10.1007/BF01204481 .
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1947). “Uber die Feldgleichungen der Gravitation bei variabler "Gravitationslonstante " ”. Z. Naturforsch . 2a (1): 1-2. Bibcode : 1947ZNatA...2....1J . DOI : 10.1515/zna-1947-0102 .
↑ Ludwig, G. (1947). “Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven und der vierdimensionalen Relativitätstheorie” . Z. Naturforsch . 2a (1): 3-5. Bibcode : 1947ZNatA...2....3L . DOI : 10.1515/zna-1947-0103 . Arkiveret fra originalen 2020-10-04 . Hentet 2021-07-10 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1948). Funfdimensionale Kosmologie. Astron. Nachr . 276 (5-6): 193-208. Bibcode : 1948AN....276..193J . DOI : 10.1002/asna.19482760502 .
↑ Ludwig, G. (1948). "Ein Modell des Kosmos und der Sternentstehung". Annalen der Physik . 2 (6): 76-84. Bibcode : 1948AnP...437...76L . DOI : 10.1002/andp.19484370106 .
↑ Scherrer, W. (1941). "Bemærkungen zu meiner Arbeit: "Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen " ". Helv. Phys. Acta . 14 (2):130.
↑ Scherrer, W. (1949). "Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld". Helv. Phys. Acta . 22 : 537-551.
↑ Scherrer, W. (1950). "Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld (2. Mitteilung)". Helv. Phys. Acta . 23 :547-555.
↑ Brans, CH (1. november 1961). "Machs princip og en relativistisk gravitationsteori" . Fysisk gennemgang . 124 (3): 925-935. Bibcode : 1961PhRv..124..925B . DOI : 10.1103/PhysRev.124.925 .
↑ 1 2 3 Williams, LL (2015). "Feltligninger og Lagrangian for Kaluza-metrikken evalueret med Tensor Algebra Software" (PDF) . Journal of Gravity . 2015 . DOI : 10.1155/2015/901870 . Arkiveret (PDF) fra originalen 2021-06-30 . Hentet 2021-07-10 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ Ferrari, JA (1989). "Om en omtrentlig løsning for et ladet objekt og det eksperimentelle bevis for Kaluza-Klein-teorien". Gen. i forhold. Gravit . 21 (7). Bibcode : 1989GReGr..21..683F . DOI : 10.1007/BF00759078 .
↑ Coquereaux, R. (1990). "Teorien om Kaluza-Klein-Jordan-Thiry gensyn". Annales de l'Institut Henri Poincare . 52 .
↑ Williams, LL (2020). "Feltligninger og Lagrangian af Kaluza Energy-Momentum Tensor". Fremskridt inden for matematisk fysik . 2020 . DOI : 10.1155/2020/1263723 .
↑ 12 Wesson , 2006 , s. 13.
↑ Wesson, 2006 , s. fjorten.
↑ Appelquist, Thomas. Moderne Kaluza–Klein-teorier / Thomas Appelquist, Chodos, Alan, Freund, Peter GO. — Menlo Park, Cal. : Addison-Wesley, 1987. - ISBN 978-0-201-09829-7 .
↑ Wesson, Paul S. Rum–Tid–Materie, Modern Kaluza–Klein Theory . - Singapore: World Scientific, 1999. - ISBN 978-981-02-3588-8 .
↑ Vladimirov, 2012 , s. 16.
↑ Nugayev Rinat M. Space-Time Dimension Problem as a Stumbling Block of Inflationary Cosmology // Metauniverse, Space, Time / Vadim V. Kazutinsky, Elena A. Mamchur, Alexandre D. Panov & VD Erekaev (red.). - Institut for Filosofi i RAS, 2013. - S. 52-73. (Russisk)
↑ Pauli, Wolfgang. Relativitetsteori . - 1958. - P. Tillæg 23.
↑ Gross, DJ (1983). "Magnetiske monopoler i Kaluza-Klein teorier". Nucl. Phys. b . 226 (1): 29-48. Bibcode : 1983NuPhB.226...29G . DOI : 10.1016/0550-3213(83)90462-5 .
↑ Gegenberg, J. (1984). "Bevægelsen af ladede partikler i Kaluza-Klein rum-tid". Phys. Lett . 106A (9). Bibcode : 1984PhLA..106..410G . DOI : 10.1016/0375-9601(84)90980-0 .
↑ Wesson, PS (1995). "Bevægelsesligningen i Kaluza-Klein kosmologi og dens implikationer for astrofysik." Astronomi og astrofysik . 294 . Bibcode : 1995A&A...294....1W .
↑ Williams, LL (2012). "Fysik af den elektromagnetiske kontrol af rumtid og tyngdekraft" . Proceedings af 48. AIAA Joint Propulsion Conference . AIAA 2012-3916. DOI : 10.2514/6.2012-3916 .
↑ Vladimirov, 1987 , s. 45-46.
↑ David Bleecker, " Gauge Theory and Variational Principles Archived July 9, 2021 at the Wayback Machine " (1982) D. Reidel Publishing (Se kapitel 9 )
↑ Ravndal, F., Oskar Klein og den femte dimension, arXiv:1309.4113 [physics.hist-ph]
↑ 5Dstm.org . Hentet 10. juli 2021. Arkiveret fra originalen 21. august 2013. (ubestemt)
↑ L. Castellani et al., Supergravity and superstrings, bind 2, kapitel V.11
↑ CMS Collaboration, "Search for Microscopic Black Hole Signatures at the Large Hadron Collider", https://arxiv.org/abs/1012.3375 Arkiveret 10. august 2017 på Wayback Machine
↑ Grænser for antallet af rumtidsdimensioner fra GW170817 , https://arxiv.org/abs/1801.08160 Arkiveret 3. november 2019 på Wayback Machine

Litteratur

Vladimirov Yu. S. Dimension af fysisk rum-tid og association af interaktioner. - M. : Publishing House of Moscow State University, 1987. - 215 s.
Vladimirov Yu. S. Klassisk teori om tyngdekraft. - M . : Knizhny dom LIBROKOM, 2009. - 264 s. - ISBN 978-5-397-00884-6 .
Vladimirov Yu. S. Geometrofysik. - 2. udg., Rev. - M . : Binom. Videnlaboratoriet, 2012. - 536 s. - ISBN 978-5-9963-0303-8 .
Hodos, A. Kaluza-Klein teorier: et generelt overblik // Phys . - 1985. - T. 146 . - S. 647-654 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508d.0647 .
Wesson, Paul S. Femdimensionel fysik: klassiske og kvantekonsekvenser af Kaluza-Klein-kosmologi . — Hackensack, NJ: World Scientific, 2006. — ISBN 9812566619 .
Overduin JM, Wesson PS Kaluza-Klein gravitation // Physics Reports. - 1997. - T. 283 . - S. 303-378 . - doi : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 . - arXiv : gr-qc/9805018 .
Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K . https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
Witten, Edward (1981). "Søg efter en realistisk Kaluza-Klein teori". Kernefysik B . 186 (3): 412-428. Bibcode : 1981NuPhB.186..412W . DOI : 10.1016/0550-3213(81)90021-3 .
Duff, MJ Kaluza–Klein Theory in Perspective // Proceedings of the Symposium 'The Oskar Klein Centenary' / Lindström, Ulf. - Singapore: World Scientific, 1994. - S. 22–35. — ISBN 978-981-02-2332-8 .
Overduin, JM (1997). Kaluza-Klein Gravity. Fysiske rapporter . 283 (5): 303-378. arXiv : gr-qc/9805018 . Bibcode : 1997PhR...283..303O . DOI : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 .
Wesson, Paul S. Femdimensionel fysik: Klassiske og kvantekonsekvenser af Kaluza-Klein-kosmologi . - Singapore : World Scientific, 2006. - ISBN 978-981-256-661-4 .
The CDF Collaboration, Search for Extra Dimensions using Missing Energy at CDF , (2004 )
John M. Pierre Ekstra dimensioner , (2003).
Chris Pope, Forelæsninger om Kaluza-Klein-teori .
Edward Witten (2014). "En note om Einstein, Bergmann og den femte dimension", arXiv : 1401.8048
Lee Smolin problemer med fysik: The Rise of String Theory, the Decline of Science, and Beyond

Teorier om tyngdekraft

Standardteorier om tyngdekraft

Alternative teorier om tyngdekraft

Kvanteteorier om tyngdekraft

Forenede feltteorier

klassisk fysik

Newtons teori om tyngdekraften

Relativistisk fysik

Generel relativitetsteori
- Matematisk formulering
- Hamiltonsk formulering

Principper

Klassisk

Relativistisk

Multidimensionel

Strenge

Andet

Den usædvanligt enkle teori om alting

Fysik ud over standardmodellen
Beviser	Problemet med målerhierarki Mørkt stof mørk energi Problemet med den kosmologiske konstant Stærkt CP problem Neutrinoscillationer
teorier	Technicolor Femte kraft Kaluza-Klein teori Store forenede teorier Teori om alt Strengteori
supersymmetri	MSSM superstrengteori supergravitation
kvantetyngdekraften	Strengteori Sløjfe kvantetyngdekraft Kausal dynamisk triangulering Kanonisk kvantetyngdekraft
Eksperimenter	ANNIE Sasso INO TANK SNO Super-K Tevatron Muon g- NOvA