De Rham kohomologi

De Rham kohomologi er en kohomologiteori baseret på differentielle former og anvendt i teorierne om glatte og algebraiske varianter .

Opkaldt efter den schweiziske matematiker de Rham . Den dimensionelle de Rham kohomologigruppe af en manifold betegnes normalt . $k$ $M$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{k}(M)$

Glatte manifolder

Definitioner

Gennem cochain-komplekset

Et de Rham -kompleks er et cochain-kompleks af udvendige differentialformer på en glat manifold med en udvendig differential som differentialet. $M$ $d\,^{k}$

0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{ \to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots

Her er rummet af glatte funktioner på , er rummet af 1-former , det vil sige er rummet af -former. Bemærk at . -dimensionel kohomologigruppe af dette cochain-kompleks er dets nøjagtighedsmål i det -th term og er defineret som $\Omega ^{0}(M)$ $M$ $\Omega ^{1}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ $k$ $d^{k+1}d^{k}=0$ $k$ ${\displaystyle H^{k))$ $k$

H^{k}(\Omega ^{\bullet},\;d^{\bullet})=\operatørnavn {Ker} d^{k}/\operatørnavn {Im} d^{k-1} .

Formularen kaldes lukket hvis , i dette tilfælde . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $d^{k}\alpha =0$ $\alpha \in \operatørnavn {Ker} d^{k}$
En form kaldes eksakt , hvis for nogle , dvs. $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $\alpha =d^{k-1}\gamma$ ${\displaystyle \gamma \i \Omega ^{k-1))$ $\alpha \in \operatørnavn {Im} d^{k-1}$

Bemærk, at hver eksakt formular er lukket.

Som en ækvivalensklasse af former

Mere geometrisk er ideen om de Rham-kohomologi at klassificere lukkede former på en mangfoldighed: to lukkede former og siges at være kohomologiske , hvis de adskiller sig med en nøjagtig form, dvs. deres forskel er en nøjagtig form. Denne definition genererer en ækvivalensrelation på sættet af lukkede former i . $\alfa$ $\beta$ $\Omega ^{k}(M)$ $\alpha -\beta =d\gamma$ $\Omega ^{k}(M)$

Den kohomologiske klasse af en form er mængden af alle lukkede former, der adskiller sig fra ved en nøjagtig form, det vil sige formens sæt af former . $[\alpha]$ $\alfa$ $\alfa$ $\alfa +d\gamma$

$k$ Den -dimensionelle de Rham kohomologigruppe er kvotientgruppen af alle lukkede former i undergruppen af eksakte former. $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$

Bemærk, at for en manifold med tilsluttede komponenter , $M$ $N$

H_{{\mathrm {dR}}}^{0}(M)\cong {\mathbf {R}}^{N}.

Faktisk er former for grad 0 skalarfunktioner. Lukkethed betyder, at funktionerne har en nul-afledt, det vil sige, at de er konstante på hver tilsluttet komponent i manifolden.

De Rhams sætning

Stokes' teorem er et udtryk for dualiteten mellem de Rham-kohomologi og kædekomplekshomologi . Den vigtigste konsekvens af sætningen er nemlig, at " integralerne af en lukket form over homologe kæder er ens": hvis er en lukket -form, og og er homologe -kæder (det vil sige er grænsen for en -dimensionel kæde ) , derefter $\omega$ $k$ $M$ $N$ $k$ $MN$ $(k+1)$ $W$

\int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,

da deres forskel er en integral

\int \limits _{{\partial W}}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.

Således definerer parringen af differentielle former og kæder gennem integration en homomorfi fra de Rham-kohomologien til den singulære kohomologigruppe . De Rhams teorem , bevist af Georges de Rham i 1931, siger, at på glatte manifolds er denne kortlægning en isomorfi : $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$

H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;{\mathbf R}).

Det ydre produkt giver den direkte sum af grupper strukturen af en ring . En lignende struktur i singular kohomologi er givet ved -multiplikation . De Rhams teorem siger også, at disse to kohomologiringe er isomorfe som graderede ringe . $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$ $\smil$

Algebraiske varianter

Definition

Helt analogt med det glatte tilfælde er enhver algebraisk variation over et felt forbundet med et kompleks af regulære differentialformer . $x$ $k$

De Rham-kohomologigrupperne af en række kaldes kohomologigrupperne . $x$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/k)$

Særlige tilfælde af de Rham-kohomologi

Hvis er en glat og komplet mangfoldighed, og karakteristikken er et felt , så er de Rham -kohomologien en Weil-kohomologi . $x$ ${\mathrm {char}}\,k=0$
Hvis manifolden er en glat affin manifold , og feltet er, så er følgende analog til de Rhams sætning sand : $x$ $k=\mathbb {C}$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{{en}},\;{\mathbb {C}}),$

hvor er den komplekse analytiske variant svarende til den algebraiske variant .

X_{{an}}

x

For eksempel, hvis er komplementet til en algebraisk hyperflade ved , så kan kohomologien beregnes ved hjælp af rationelle differentialformer på med poler på denne hyperflade. $x$ $P^{n}(\mathbb {C} )$ $H^{p}(X,\;\mathbb {C} )$ $P^{n}(\mathbb {C} )$

Relative de Rham cohomology

For enhver morfisme kan man definere det såkaldte relative de Rham-kompleks $f\kolon X\til S$

\sum _{{p\leqslant 0}}\Gamma (\Omega _{{X/S}}^{p}),

fører til relativ de Rham-kohomologi . $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$

Hvis sorten er ringens spektrum , og så falder det relative de Rham-kompleks sammen med . $x$ ${\mathrm {Spec.}}\,A$ $S={\mathrm {Spec}}\,B$ $\Lambda \Omega _{{A/B}}^{1}$

Kohomologien af et kompleks af skiver på kaldes skiver af relativ de Rham kohomologi . Hvis det er en ordentlig morfisme, så er disse skiver sammenhængende på . ${\mathcal {H}}_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$ $\sum _{{p\leqslant 0}}f_{*}\Omega _{{X/S}}^{p}$ $S$ $f$ $S$

Litteratur

Bott, R., Tu, L. V. Differentialformer i algebraisk topologi. — M .: Platon, 1997. — 336 s. - ISBN 5-80100-280-4 . .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: metoder til homologiteori. — M .: Nauka, 1984. — 343 s.
de Ram, J. Differentiable sorter = Varietes differentiables. — M.: KomKniga, 2006. — 250 s. — ISBN 5-484-00341-5 . .